книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник
.pdfп е р в о й с т е п е н и относительно |
времени |
t |
{k и 6 |
— |
постоянные величины) выражает |
закон |
р |
а в н о м е |
р |
н о г о |
движения. В самом |
деле, возьмем некоторый (лю |
|
бой) момент времени t. Путь, пройденный |
материальной |
||
точкой |
к моменту времени |
t, определится |
соотношением |
(9). Возьмем теперь другой момент времени t\. Путь,
пройденный |
точкой |
к |
моменту |
t\, |
обозначим |
через |
S\. |
|||||||
В силу соотношения |
(9) |
получаем |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
s, = |
Ых + |
Ь. |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, за |
промежуток |
времени t\ — t |
точка |
||||||||||
пройдет |
путь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пли |
|
|
s, — s = |
{kti |
+ b) - {kt + |
b), |
|
|
|
|||||
|
|
|
Si — s = |
k (/, |
— /), |
|
|
|
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как k — величина |
постоянная, то мы приходим |
к |
та |
|||||||||||
кому |
заключению: |
движение, |
заданное законом |
s |
= |
|||||||||
= |
kt |
+ |
b, характеризуется |
тем, |
что |
отношение |
пути, |
|||||||
пройденного |
точкой |
за |
любой |
промежуток |
времени, |
|||||||||
к |
этому |
промежутку времени есть |
величина |
п о с т о я в - |
||||||||||
II а я. А |
это |
и есть |
определение |
р а в н о м е р н о г о |
дви |
|||||||||
жения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разность t\ — t есть приращение At времени, а раз ность Si—s — As — приращение пути (см. § 36). Сле довательно, в силу равенства (10) можем сказать, что скорость' и равномерного движения есть отношение при ращения As пути s к вызвавшему его приращению At времени t:
2. Закон изменения длины / пружины в зависимости от нагрузки Р определяется соотношением
l = kP + lQ, |
(11) |
где k и /о — величины постоянные |
(известный в технике |
закон Гука), Как и для закона равномерного движения, получаем
АР — R -
130
Это отношение, определяет удлинение пружины, прихо дящееся на единицу изменения нагрузки. Следователь но, оно показывает, насколько быстро изменяется длина пружины при изменении нагрузки. Поэтому величина
-£р может быть названа скоростью изменения длины
пружины относительно изменения нагрузки.
Согласно формуле (11) длина I пружины есть функ ция первой степени относительно нагрузки Р. Значит, процесс изменения длины пружины в зависимости от нагрузки есть процесс равномерный. И опять мы видим, что скорость равномерного процесса определяется отно шением приращения А/ функции / к вызвавшему его
приращению АР аргумента |
Р. |
|
3. Возьмем функцию |
|
|
y = |
kx + b. |
(12) |
Если X и у рассматривать как величины математиче ские, т. е. не приписывать им никакого конкретного со держания, то функция первой степени (12) будет выра жать просто процесс изменения переменной величины у в зависимости от изменения величины х.
Отношение ' f f ' = = * определяет тогда изменение
функции у , приходящееся на единицу изменения аргу мента X. По аналогии с понятием скорости равномер ного движения и скорости изменения длины пружины —
отношение |
естественно |
назвать |
скоростью |
измене |
ния функции у |
относительно |
аргумента |
х. |
|
Как известно из аналитической геометрии, графиком |
||||
функции п е р в о й степени |
( 12) служит п р я м а я ли |
|||
н и я . Поэтому |
функцию (12) |
называют также |
линейной |
|
функцией. Коэффициент к называется угловым коэффи
циентом прямой, определяемой уравнением: у = |
kx -f- b. |
|
Будем этот коэффициент называть также угловым |
||
коэффициентом линейной |
функции. Соотношение |
|
показывает, что скорость |
изменения линейной |
функ |
ции (12) |
|
|
у = |
kx - j - b |
|
5* |
|
131 |
относительно аргумента х есть |
величина |
постоянная, |
равная угловому коэффициенту k |
функции. |
|
Установленное таким образом понятие скорости ли нейной функции вполне согласуется с геометрическим представлением: чем больше угловой коэффициент, тем круче поднимается прямая, изображающая функцию (12), и тем быстрее растут ординаты точек прямой, со ответствующие возрастанию абсциссы х.
§ 39. Неравномерное движение и его скорость. 1. В предыдущем параграфе мы установили понятие ско рости всякого р а в н о м е р н о г о процесса изменения.
Однако большинство процессов, которые при-
уходится наблюдать в природе и подвергать на
учному |
исследованию, |
оказывается |
н е р а в |
||||||||
н о м е р н ы м . |
Достаточно |
рассмотреть |
|
хотя |
|||||||
бы |
задачу о падении в пустоте тяжелой |
ма |
|||||||||
териальной точки под действием силы тяже |
|||||||||||
сти. Из физики известно, что закон |
падения |
||||||||||
точки |
в пустоте |
выражается |
формулой |
|
|
||||||
\М' |
|
|
|
* = Т<2> |
|
|
|
|
|
(13) |
|
где |
г —время, |
отсчитываемое |
от |
начала |
паде |
||||||
ния, |
s — пройденный за |
время t |
путь и |
|
g — |
||||||
ускорение силы |
тяжести, |
равное |
9,81 м/с2 . |
||||||||
Рнс. 47. з Т 0 |
д В И Ж е н и е |
неравномерное, |
так как |
закон |
|||||||
его |
выражается |
функцией |
в т о р о й |
степени |
|||||||
относительно |
t, а закон всякого равномерного движе |
||||||||||
ния, как мы видели, есть |
функция |
п е р в о й |
степени |
от |
|||||||
носительно г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нам предстоит теперь рассмотреть вопрос об опреде лении скорости неравномерного процесса изменения. Исследование этого вопроса мы начнем с задачи об определении скорости неравномерного движения. Оста новимся на примере падения материальной точки в
пустоте. |
|
Мы установили, что величина скорости |
равномер |
ного движения может быть определена как |
отношение |
As „
•д^-. Будем и при исследовании вопроса о скорости не равномерного движения исходить из отношения этого вида.
Возьмем некоторый определенный момент времени t. Допустим, что в этот момент времени точка находится
132
в положении M (рис. 47). Величина пути s — ОМ, прой денного точкой за время t, определится из формулы (13)
Пусть время возрастает на величину At, т. е. t получает приращение At. Допустим, что в момент t-j-At точка будет занимать положение М'. Приращение ММ' пути, соответствующее приращению At времени, обозначим
через As. Подставив |
вместо |
t в формулу (13) величину |
t + А^, найдем для |
нового |
значения пути ОМ' выра |
жение |
|
|
s + |
As = f |
(г + ЛО2 . |
Вычитая отсюда почленно равенство (13), найдем As:
s + As=^(t |
+ |
At)2 |
|
|
_§ |
||
~° |
-¥ |
|
|
|
|||
As = |
L [fi + |
2t • At + |
(ДО2 |
- t2] ' |
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
As = |
\ |
[2t • А^ + |
(АО2]. |
|
|||
Разделив As на At, получим |
выражение, |
определяющее |
|||||
às__g_ |
|
2t-At + |
(At)2 |
|
|
||
At |
~ |
2 |
' |
At |
|
|
|
или, сократив на Д^, |
|
|
|
|
|
|
|
|
If = f (2/ + |
АО- |
|
(14) |
|||
Для р а в н о м е р н о г о |
движения |
отношение -^-, |
|||||
определяющее скорость движения, есть величина по стоянная; оно остается неизменным при любом значе нии t и при любом значении А*. Поэтому для нахожде ния величины скорости равномерного движения можно взять любой момент времени / и любое приращение AU
Не |
так обстоит дело для |
случая |
н е р а в н о м е р |
|
н о г о |
движения. На |
примере |
падения |
материальной |
точки мы видим из равенства |
(14), что отношение ~ |
|||
зависит |
и от t и от At. |
При одном и том же значении |
||
і-зз
At различным моментам времени соответствуют различ
ные значения |
отношения |
Так, |
при |
At = 0,1 с мо |
|
менту времени |
t = 1 с соответствует |
значение |
|||
^ - = 1 ( 2 . 1 + 0 , 1 ) = 2 , І . 4 = 1 , 0 5 £ , |
|||||
моменту / = |
3 с — значение |
|
|
|
|
| f - |
= |
f (2 . 3 + 0,І) = |
б , 1 . | = |
3,05g- |
|
и т. д. Поэтому понятие скорости неравномерного движе
ния может |
быть отнесено только |
к |
о п р е д е л е н н о м у |
|||||
м о м е н т у |
времени. Можно |
говорить |
не о |
скорости па |
||||
дения материальной точки |
во'обще, |
а |
лишь |
о скорости, |
||||
с какой точка |
падает |
в д а н н ы й |
м о м е н т |
времени,— |
||||
о мгновенной |
скорости |
падения. |
|
|
|
|
||
Как же определить понятие мгновенной скорости? |
||||||||
Как видим |
из того |
же равенства |
|
(14), при неизмен- |
||||
ном значении / отношение -гг зависит от величины At.
At
Так, например, взяв / = 3, при А' ~ 0,5 получаем
-g- = 4 (2 • 3 + 0,5) = 6,5 • 4 = 3.25£, а при Ar" = 0,1 имеем
| f = 4 (2- 3 + 0,1) = 6,1 - 4 = 3,05£
и т. п.
Допустим на минуту, что из положения M в поло жение М' (рис. 47) точка движется р а в н о м е р н о . Тогда скорость ее падения в течение всего промежутка
времени At была бы равна — =-j |
(2tAt) |
и |
остава |
лась бы п о с т о я н н о й . Подобно |
тому как |
мы, |
напри |
мер, говорим, что поезд, следующий из Москвы в Ле нинград, на участке от ст. Калинин до ст. Бологое идет
со средней |
скоростью |
50 км/ч, так и |
здесь эту |
постоян- |
|
|
As |
, |
скоростью |
падения |
|
ную скорость -дт- назовем средней |
|||||
точки на участке ММ' |
и обозначим |
через |
и с р . |
|
|
Как мы |
установили, средняя скорость |
меняется с из |
|||
менением Д^, и совершенно ясно, что она тем лучше ха рактеризует состояние падающей точки в момент t, чем меньше берется промежуток At, протекший с этого мо мента. .Отсюда естественно заключить, что мгновенную
І34
скорость |
V падения |
точки |
в момент |
времени t |
следует |
|||
определить как предел |
средней |
скорости ѵср |
при |
At—*0: |
||||
|
|
V = |
lim |
vcp. |
|
|
|
|
|
|
|
|
At-*0 |
|
|
|
|
Таким |
образом, |
получаем |
|
|
|
|
||
|
V = lim |
= |
Hm H(2t + |
&tj\ = |
gt. |
|
||
|
At->0 ü f |
|
Д( - Ю |
|
J |
|
|
|
2. Обращаясь к общему случаю неравномерного дви жения, обозначим через s путь, пройденный материаль ной точкой за время t. Так как каждому значению вре мени t соответствует определенное значение пути s, ко торое тело прошло за это время, то величина s является функцией от
|
|
s = |
/(/). |
|
|
|
|
Для определения м г н о в е н н о й |
скорости |
точки в |
|||||
о п р е д е л е н н ы й м о м е н т |
в р е м е н и |
t находим |
сна |
||||
чала с р е д н ю ю |
скорость движения за промежуток |
вре |
|||||
мени от t до t-\- |
At. За время t точка |
прошла |
путь |
s == |
|||
= / ( / ) ; за время |
tAt— |
путь s-\~ As |
= |
f (t-\-At). |
Сле |
||
довательно, путь As, пройденный точкой за промежуток
At, определится |
выражением |
|
|
|
|
As=f(t |
+ |
At)-f(t). |
|
Мы получим |
среднюю |
скорость |
ѵср за промежуток |
|
At, если разделим As на At: |
|
|
||
„ |
— A s |
t(t + |
АО - |
f (О |
|
àt |
|
At |
|
Переходя теперь к пределу при At-+0, находим мгно венную или, как часто говорят, истинную скорость точ ки в момент времени t:
ѵ= hm ü c p = hm -тт = hm - L - L — • — ^ — L - L i .
Итак, |
истинной |
или |
мгновенной |
скоростью |
ѵ мате |
|
риальной |
точки в |
момент времени |
t называют |
предел, |
||
к которому стремится |
средняя скорость иср |
за |
проме |
|||
жуток времени At, |
когда |
At—*0. |
|
|
|
|
3. З а м е ч а н и е |
1. |
Определение |
скорости |
неравно |
||
мерного движения содержит в себе, как частный слу чай, и понятие скорости равномерного движения. В са-
мом деле, так как скорость равномерного движения есть величина постоянная, а предел постоянного равен
135
самому постоянному, то для случая равномерного дви жения
|
|
|
hm |
As |
As |
|
|
|
|
— =-т-г. |
|
||
З а м е ч а н и е |
2. |
Во |
всех |
наших рассуждениях |
мо |
|
мент |
времени t+ |
Д^ мы |
рассматривали как более |
позд |
||
ний |
сравнительно |
с |
моментом |
t, т. е. считали прираще |
||
ние At всегда величиной положительной. Однако ничто •не изменится, если момент / + А/ рассматривать как более ранний сравнительно с моментом t. В самом деле, скорость и была определена нами как предел средней
скорости |
иСр при |
At-*-О, а |
понятие |
предела |
требует, |
|
чтобы |
ѵср |
стремилось к определенному |
числу, |
н е з а в и |
||
с и м о |
от способа |
стремления |
Д^ к 0. |
|
|
|
§ 40; |
Скорость изменения функции |
(основная задача, |
||||
приводящая к понятию производной). 1. В § 38 мы уста новили понятие скорости всякого р а в н о м е р н о г о процесса изменения одной переменной величины, зави сящей от изменения другой. Установим теперь понятие
скорости |
н е р а в н о м е р н о г о |
процесса |
изменения. |
Возьмем функцию y = f(x) |
и будем |
рассматривать |
|
X и у как |
величины математические, т. е. не будем при |
||
писывать им никакого физического содержания. Тогда функция у = f{x) будет выражать просто процесс из менения переменной у в зависимости от изменения пе ременной величины X. Пусть приращение Ах, приданное данному значению аргумента х, влечет за собой прира щение Ау функции у. Отношение ~ показывает, во
сколько раз быстрее или медленнее изменяется у по сравнению с изменением х «в среднем», когда х изме
няется на величину ДА\ Поэтому отношение |
|
можно |
||||||||
назвать |
средней скоростью |
(и с р ) изменения |
у |
по срав |
||||||
нению с X при изменении х |
на |
величину |
Ах. |
Скоростью |
||||||
же |
(ѵ) |
изменения |
функции |
у |
п р и д а н н о м |
з н а ч е |
||||
н и и |
X естественно |
назвать |
п р е д е л |
этого |
отношения |
|||||
при |
Ах—>0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V— |
lim |
Ü c p |
= |
lim ——. |
|
|
|
|
|
|
|
АХ-+0 |
|
|
д*->о û * |
|
|
|
|
Итак, |
скоростью |
изменения |
функции |
у при |
данном |
|||||
значении |
аргумента |
х |
называется |
предел |
отношения |
|||||
приращения Ау функции |
у к |
приращению |
Ах |
аргумента |
||||||
X, когда |
Ах-+0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136
2. Установленное таким образом распространение понятия скорости на всякий процесс изменения приме няется в различных областях знаний. Так, мы уже ви дели, что если под х разуметь время, а под у— путь,
пройденный материальной точкой за время х, то lim
определяет скорость движения точки в данный момент времени х.
|
Само |
собой |
понятно, |
что |
как средняя |
скорость |
|||
|
|
|
|
Ау |
|
|
|
|
|
движения |
точки |
~ , |
так |
и |
ее |
мгновенная |
скорость |
||
,. |
|
Ау |
являются |
уже не |
отвлеченными числами, а |
||||
hm |
|
-т— |
|||||||
дх->о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
именованными величинами. При этом за единицу ско рости принимается скорость равномерного движения, в
котором при изменении времени х |
на единицу |
времени |
|||
Ах длина пути у изменяется на единицу |
длины |
Ау. |
На |
||
пример, если при изменении х на |
ДА: = |
1 с |
значение у |
||
изменяется на Ау = 1 м, то единица |
скорости |
- ^ г = 1 |
—• |
||
Аналогичным образом обстоит дело во всех случаях, когда хну имеют тот или иной физический смысл, т. е. когда речь идет о скорости реального, физического про цесса.
Определение скорости всякого процесса составляет основную задачу, приводящую к понятию производной. Это понятие будет точно сформулировано в следующем параграфе. Пока же мы рассмотрим несколько частных примеров этой основной задачи.
1) Когда твердое тело вращается вокруг оси, то угол ф поворота его есть, очевидно, функция времени /.
Если |
за |
промежуток времени |
от / до |
/ + |
At тело |
по- |
|
|
. |
|
Дш |
|
|
вернулось |
на угол Дф, то отношение |
-дт- |
дает с р е д |
|||
н ю ю |
угловую скорость вращения за |
промежуток |
вре |
|||
мени |
At, |
a lim — — угловую |
скорость |
вращения в м о- |
||
At-*0 At
ме н т в р е м е н и / .
2)Обозначим через m количество вещества, вступив шее в химическую реакцию к моменту времени /. Тогда
Am |
» |
отношение -ду- дает среднюю скорость химической ции за промежуток времени от / до / + Д/, a j ^
скорость химической реакции в момент времени /.
реак
m Q ^ " ~
137
3) |
Обозначим через Т° температуру (в градусах Кель |
||||
вина) |
и через Q — количество тепла |
(в джоулях), |
ко |
||
торое |
нужно сообщить телу при нагревании его от 0° |
||||
до Т°. |
Ясно, что Q есть функция |
от |
T(Q — |
f(T)). |
При |
дадим |
Т приращение Д7\ Тогда |
Q получит |
приращение |
||
AQ. Отношение - ^ - определит среднее приращение ко личества тепла, рассчитанное на единицу приращения AT. Эта средняя скорость изменения количества тепла называется средней теплоемкостью тела при нагревании от Т градусов до (Г + ДГ). Скорость же изменения ко личества тепла при данной температуре Т, т.е. lim
называется теплоемкостью |
тела при |
данной темпера |
|
туре |
Т. |
|
|
4) |
Обозначим через q |
количество |
электричества (в |
кулонах), протекшее за время t через поперечное сече ние цепи. Силой тока / называют предел
Этот предел определяет количество проходящего через сечение цепи электричества, рассчитанное на единицу приращения времени. Таким образом, сила тока есть скорость протекания электричества через сечение про водника.
§ 41. Производная. Общий метод нахождения произ водной. 1. Итак, мы видим, что вычисление предела отно шения вида
|
|
Ау _f{x |
|
+ bx)-l |
(х) |
|
|
|
Ах |
|
Ах |
|
|
при |
Ах-*0 |
существенным |
образом |
связано с установле |
||
нием |
основных понятий |
в |
самых |
различных |
областях |
|
науки и |
техники. Поэтому |
в математическом |
анализе |
|||
указанному пределу уделяется особое внимание и при сваивается специальное наименование. Именно, предел
этот называется |
производной |
функции |
|
y — f(x) |
по |
неза |
||||
висимой |
переменной |
х. |
Точное определение |
производ |
||||||
ной — следующее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Производной |
функции |
y — f{x) |
по |
независимой |
пе |
|||||
ременной |
X при |
данном |
значении |
х |
(в |
данной |
точке х) |
|||
называется предел |
отношения |
приращения Ay |
функции |
|||||||
у к вызвавшему |
его |
приращению |
Ах |
независимой |
пере |
|||||
менной X при стремлении |
Ах к 0,, |
|
|
|
|
|
||||
138
Для |
|
обозначения |
производной |
применяется символ |
||||
у' или 1'{х). |
Таким |
образом, |
|
|
|
|||
У |
/ |
tf |
I \ |
t. |
au |
,. |
f (х + |
Ах) — f (х) |
|
= / ( * ) = |
lim - r f = |
hm |
^ |
' — |
|||
|
|
|
|
Дл:-»0 а * |
Дх->0 |
|
а Л |
|
Пользуясь только что введенным понятием производ |
||||||||
ной, все |
результаты, |
установленные в |
предыдущем па |
|||||
раграфе, молено сформулировать теперь следующим об разом:
1) |
скорость |
изменения |
|
функции |
y = |
f(x) |
при |
дан |
||||||
ном значении |
х |
есть производная |
от функции |
у |
по |
х в |
||||||||
данной |
|
точке; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
мгновенная |
скорость |
движения |
есть |
производная |
|||||||||
от пройденного |
пути s по |
времени |
і; |
|
|
|
|
|
||||||
3) |
угловая |
скорость |
вращения |
тела |
около оси |
есть |
||||||||
производная |
от угла |
ср поворота |
тела относительно |
оси |
||||||||||
по времени |
і; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
скорость |
химической |
реакции |
есть |
производная |
|||||||||
от количества |
m |
вещества, |
вступившего |
в реакцию, |
по |
|||||||||
времени |
Т; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
теплоемкость |
тела |
есть производная |
от |
количе^ |
|||||||||
ства Q |
тепла, |
поглощенного |
телом, |
по |
температуре {У; |
|||||||||
6) |
сила |
тока |
есть производная |
от количества |
q |
про |
||||||||
текшего |
электричества по времени |
t. |
|
|
|
|
|
|||||||
Вычисление производных, изучение и использование их свойств для исследования функций и составляют
главный предмет |
дифференциального |
исчисления. |
диф |
|
2. Процесс вычисления |
производной |
называется |
||
ференцированием. |
Поэтому |
сказать: «продифференциро |
||
вать данную функцию» — это то же самое, что сказать: |
||||
«вычислить (или найти) производную данной функции». |
|
Для |
того чтобы продифференцировать функцию у от |
X, надо, |
согласно определению производной, проделать |
следующие операции |
(общее |
правило |
вычисления |
про |
|
изводной) : |
|
|
|
|
|
1) вычислить значение функции у, |
соответствующее |
||||
данному значению аргумента |
х; |
|
|
|
|
2) придать данному значению аргумента |
прираще |
||||
ние Ад: и вычислить новое значение у + |
А/у функции; |
||||
3) вычесть прежнее значение функции из |
нового и |
||||
тем самым определить приращение Ау |
функции; |
|
|||
4) составить отношение |
т. е. разделить |
вычис |
|||
ленное приращение Ау |
на Ах; |
|
|
|
|
139