Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4424 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Вместо (dx)2 пишут проще	dxz*)\ Таким образом,
dhj =	f"(x)dx2.

Аналогично определяются дифференциалы третьего, четвертого и т. д. порядков. По определению дифферен

циал третьего порядка,				обозначаемый		d3y	(читается:
«дэ	три игрек»), есть		d(d2y).		Так как	d2y =	f"(x)dxz,
то		d3y	=	[f//(x)dx2Ydx.

При	дифференцировании			множитель dx2, как			величина
не зависящая		от х, является постоянным,				следовательно,
17" (x) dx2}' =		/'" (x) dx* и, зн ачит,
		d?y =		f'"(x)dx*
(здесь символ dx3 есть условная запись куба							dx).
Далее,
		d*y =	fiV(x)dx*		и т. д.

Из формул

dy = Y (x) dx, d2y = Y' (x) dx\ dhj = Y"(x)dx3,

получаем

Y (x) = (читается: «дэ игрек по дэ икс»),

d2u

Y' (x) = - ^f - (читается: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»),

d3u

Y" (x) — (читается: «дэ три игрек по дэ икс куб»).

В дальнейшем, наряду с прежними обозначениями производных при помощи штрихов, будем пользоваться и обозначением производных через дифференциалы.


§ 73. Дифференциал		длины дуги.	Пусть		уравнением		у = f (х)
задана	некоторая кривая. Фиксируем на			ней	точку	А и	наряду
с этой	неподвижной точкой станем рассматривать переменную точ-
*)	Поэтому под символом dx* нельзя			разуметь		дифференциал
от функции x2. Желая указать, что речь				идет о вычислении диф
ференциала от функций хг		надо писать:	d(x*).

230

ку M, перемещающуюся по кривой. Смещение точки M по кривой будет определять дугу кривой, ограниченную начальным и конечным положениями точки М. Длине s этой дуги условимся приписывать положительное значение, если направление смещения точки M соот ветствует возрастанию ее абсциссы х и отрицательное значение в противоположном случае. Каждому зна

чению абсциссы X точки M соответствует определенное положение точки на дуге и, следовательно, длина дуги, образуе мая смещением точки M (рис. 83).

Можно считать, что положение точ ки M на кривой определяется значением абсциссы X точки. В силу этого и длина

дуги AM, отсчитываемая от неподвиж ной точки А, также будет определяться значением х; иными словами, длину s

дуги AM можно считать функцией пере

менной X. Найдем дифференциал этой функции.

Мы знаем, что дифференциалом функции называется произве дение ее производной на дифференциал аргумента (§ 68) г поэтому можем написать

ds •= s' dx.

Следовательно, наша задача сводится к нахождению производной s' дуги.

Придадим с этой целью выбранному значению х приращение Ax^.dx, вследствие чего точка M переместится в положение М'

и дуга s =		AM получит		приращение			As «= ММ'.		Производная		дуги
есть	предел	отношения		- ^ - при Дл;-*-0. Чтобы					найти	предел	этого
отношения, преобразуем его, умножив и								разделив на		длину	хор
ды ММ'І
			As		д	As	MM'
			Ах		в	ЖМ'	Ах	'
	Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство! из ус
ловия определения			знака		длины дуги		кривой следует,			что As а Ах
									As . „
имеют всегда знаки			одинаковые; поэтому всегда " д ^ ^ " »							и м ы	м о "
		As	As
жем	написать: Ах		Ах
	Далее, из рис. 83 имеем
			ММ' =Ѵ(.Ах)2-т-				(Ay)2'.
Таким образом, равенство (А) можно представить в виде
As	As	lAsj				ІДвІ		V(Ах)2	+ (Ay)2		(Б)
Д *	Ах	I M									(Б)
Д *	Ах	I M

231

Прежде чем перейти к отысканию предела этого выражения, заметим,

l A

1- •

l A S l

I Г-

что, оказывается,

lim

',• =

lim

' Г . т р п г о е

Дх->о ММ'

д.ѵ-»о У

(Ах)2

(Ау)2

обоснование этого факта несколько сложно для

элементарного

кур

са,

между

тем как

сам результат

достаточно

очевиден:

когда

точ

ка М' приближается вдоль кривой

к точке М, отрезок дуги ста

новится все более похожим на отрезок хорды

ММ'.

Для

случая

окружности

это

предложение

было

установлено

совершенно

строго

в § 52,

где

было доказано равенство

sin X

і.

Теперь

из (Б)

находим

х-*о

1 As

V(Ax)2

(Ay)2

—

lim

Ддс

lim

У(Ах)2+

(Ау)г

— —

— •

Дл--*о

д*-»о

Дх-»о

I Дл: |

lim

Ах->0

и,

предполагая,

что

производная у'

существует,

lim

^ І ^ Ѵг

^ Т Т Р ,

àx+0

Ах

т.

е.

(6)

что дает

ds=

] / l +

i/2

dx.

(6*)

Если

возвести это

равенство

во

вторую

степень и

умножить

пра

вую

часть

почленно

на

dx1,

то

получим интересную формулу

ds2 =

dx2 + (У'

dx)2,

или

ds2 = dx2 +

dy2.

Эта формула (рис. 84)

являет

ся

своего рода

теоремой

Пифагора

для

дифференциалов dx,

dy и ds,

т. е. для главных частей прира

Рис.

84.

щений Ах, Ау и As.

§ 74. Кривизна

линии.

Одним

из

элементов,

характеризующих

кривую, является степень ее изогнутости или искривленности в раз ных точках.

Если мы		будем переходить от одной точки M кривой к другой
точке М',	то	вместе с этим будет меняться положение касательной
к кривой;	касательная будет поворачиваться. Это отличает кріі-

232

вуго от прямой, касательная к которой совпадает с прямой во всех точках и, следовательно, всегда имеет одно и то же направление.

Очевидно, «ем больше будет угол поворота касательной

при

пере

ходе

от точки

M кривой к точке М',

тем

больше

дуга

кривой

будет

отличаться

от

прямой, тем больше будет ее искривление.

Но степень искривленности дуги не может быть полностью оха

рактеризована

только

углом

поворота

касательной

при

переходе

с одного

конца дуги

к другому: на рис. 85

показаны

две

дуги

mm'

и ММ',

степень

искривленности

которых,

очевидно,

различна

для

которых

угол

поворота

касатель

ной один и тот же. Необходимо

для

установления

меры

искривления

дуги

кривой принять во внимание также ее

длину. Как ясно видно из рис. 85, чем

меньше

длина

дуги

при

одном и

том

же

угле

поворота

касательной,

тем

Рис. 85. Рис. 86.

степень искривленности или, короче, кривизна дуги будет больше.

Поэтому за	среднюю кривизну дуги естественно принять отношение
угла между	касательными, проведенными в концах дуги, к длине

этой дуги, или, иначе, угол поворота касательной, отнесенный к еди

нице длины дуги: средняя кривизна дуги ММ',			равна — - — . Угол а
			ММ'
мы будем предполагать всегда	выраженным в радианах.
Вычислим для примера среднюю		кривизну	окружности радиу
са R. Для любой ее дуги угол	а между	касательными к окружности,

проведенными в концах дуги, равен углу между радиусами, прове

денными	в точки	касания	(рис.	86). Длина	дуги	AB	равна	aR}
следовательно, средняя кривизна				окружности	во всех	ее частях		одна
	а	1	„
и та же	и р а в н а — g - » - g - .		Средняя кривизна		окружности		есть	вели-

чина, обратная ее радиусу. Она, следовательно, тем больше, чем меньше радиус окружности.


	Средняя	кривизна	характеризует степень			искривленности			дуги
в	целом. Но в различных частях одной и				той же дуги эта степень
искривлённости может быть различна; например, на							рис.	85 на глаз
видно, что		часть MN	дуги ММ'	искривлена	больше,		чем	часть	NM'.
Из	сказанного ясно,		что средняя	кривизна	тем	лучше характеризует

степень искривления дуги кривой в различных ее точках, чем меньше длина этой дуги. Естественно поэтому за кривизну К кривой в точке

233

M принять предел средней кривизны дуги ММ', когда длина дуги ММ' стремится к нулю, т. е.

	К=		um	—
			лш'->о	ММ'
Как	видит читатель,	переход от		с р е д н е й		кривизны	к к р н-
в и з н е	в т о ч к е вполне	аналогичен переходу			от средней		скорости
движения тела к скорости в данный момент времени.
Мы установили понятие кривизны кривой					в	точке, исходя из
чисто геометрических соображений.				Поэтому до		сих пор	не возни

кал и вопрос о возможности рассматривать кривизну кривой как величину, могущую принимать не только положительные, но и отри цательные значения, что в приложениях часто бывает полезным.

Аналитическая формула для вычисления указанной характери стики кривых, которую мы сейчас выведем, даст возможность осу ществить это требование.

Пусть кривая задается уравнением y = f(x). Если мы ищем кривизну в точке, то, значит, мы должны считать заданными, кроме уравнения кривой, еще координаты этой точки кривой. Поэтому вы вести формулу для вычисления кривизны — это значит выразить

lim — - — через координаты х и у точки M кривой, помня при этом

ММ'
что у =	/(*).
Пусть	нам задана кривая y = f(x). Допустим, что точка М,

в которой мы вычисляем кривизну, имеет координаты х, у. При

дадим	X приращение Ах; значению		абсциссы х + ДА' будет		соответ
ствовать точка М'		кривой. Проведем в точках M и М'		касательные
МТ и	М'Т' {рис.	87). Если угол	наклона касательной	в	точке M

Рис. 87.

обозначим через <р, то при переходе от точки M к М' этот угол получит приращение Дф. Приращение Дф является также углом по ворота касательной. Пусть дуга AM = s и дуга ММ' = ДА, Таким образом, получаем

Я = lim	. £ £ . .
д*-»0	Да

234

Разделим

числитель

знаменатель дроби

на

Дд: и

переидем

к пределу

при.Дл;->0:

Дф

lim

Ах

Ах-+0

Ах

lim

— г —

Ах->0

lim

Ах

АХ-+0

Ах

Выше (§ 73) мы нашли, что

s1 ==У \-\-tf

Что

касается

ср', то

эту производную

вычислим так.. Нам известно,, что tg ф =

у'

(§ 42);

отсюда

ф = arc tg у'.

Производная у' есть

функция

от х,

следова

тельно,

arctg*/'

есть

сложная

функция

от

х.

Дифференцируя

ее

no x, найдем: ф

и"

—

Подставляя

ф' в

выражение

для

кривизны,

получаем

(7)

Таким

образом, наша

цель — получить

формулу,

позволяющую

вычислять К по дайной функции у = f(x)

и значению

х—достиг

нута. Так как в этой формуле в знаменателе

перед радикалом

всегда

выбирается знак + , то кривизна может быть

положительной или отрицательной в зависи

мости от знака у". Это показывает, что кри

визна положительна в точках,

где кривая

вы

пукла, и отрицательна в точках, где кривая

вогнута

книзу.

§ 75. Круг кривизны и радиус кривизны.

Пусть дана некоторая кривая AB, имеющая в

точке M кривизну, равную

К (рис. 88). Про

ведем касательную и нормаль к кривой в точ

ке M * ) . Будем теперь

проводить через точку ЛІ

окружности, имеющие центры на нормали в

направлении

вогнутости кривой. Все эти

окружности

имеют

с кри

вой AB общую касательную в точке M и направлены своей вогну тостью около этой точки в ту же сторону, что и кривая. Среди этих

окружностей				найдется такая, которая				имеет ту же кривизну К, что
и кривая в точке М. Из соотношения								между кривизной окружности
и	ее радиусом (§ 74) следует, что радиус рассматриваемой										окруж
ности должен равняться абсолютной величине									-гг.
								А
	Построенный указанным образом круг носит наименование круга
кривизны		кривой в точке М. Величина, обратная кривизне									кривой
в	точке	М,	т. е. величина			R=-rr,	называется		радиусом		кривизны,
а	центр	С	круга кривизны — центром					кривизны	кривой в точке М.
	Подобно			тому	как касательная			характеризует		подъем	кривой
в	данной		ее	точке,	круг	кривизны		дает наглядное		представление

о степени искривления кривой в рассматриваемой точке. Окруж ность круга кривизны примыкает к кривой теснее, чем любая из

*) Нормалью к кривой в точке M называется прямая, прове денная через эту точку перпендикулярно к касательной к кривой в той же точке.

235

других окружностей, касающихся кривой в точке М, и на небольшом участке около точки M с большой степенью точности приближенно воспроизводит кривую.

Формула для вычисления радиуса кривизны получается очень просто из равенства

так

как

то

(8)

§ 76. Примеры вычисления радиуса

кривизны.

Найти

радиус

кривизны равносторонней гиперболы

ху

12 в точке

(3;

4).

Р е ш е н и е .

у' =

{Л =

При

значе-

г / = — ;

--^-;

^ г .

ння

первой и второй

производных будут

_24

следовательно,

R =

125

2. Найти радиус кривизны эллипса

Ь2хг

+ агу2

= а2Ь*

в точке (0; Ь).

Р е ш е н и е .

Продифференцируем

обе

части

уравнения

эллипса

по

x, рассматривая

у как

функцию от

степень уг

как

сложную

Уфункцию от x. Мы получим тогда

		2s		2уу'	= 0;
		а2 +		Ьг	= 0;
	отсюда	определяем	производную			у':
				Ъ2х
		*	= -		W
	Дифференцируем это равенство по х,						помня,
	что у есть функция от х:
\0	.	У—К			ху
Рис.	89.				ху
Рис.	89.		а2
		J	а2
Полагая в найденных для первой и второй производных х =							0, у~Ь,
получаем	у' — 0, у" =	Теперь	по	формуле		(8)	находим

236

радиус кривизны эллипса в точке (О, Ь):

* ~ — г .

3. Найти радиус кривизны в любой точке цепной линии (рис. 89)

Р е ш е н и е . Имеем

X \

/ l + / « - l ( . : + . ' - ) - f

Дифференцируя первую производную, получаем

X •

У=

Следовательно,

У П Р А Ж Н Е Н И Я
К	§ 70.
Найти		дифференциалы		следующих функций:
1.	0 =	2х3 .		Ore. dy =		6x*dx.
2.	1/ =	Ѵх.		Отв. dy		d x
						d x
						2УТ*
3.	1/ =	Зх2 -	<	Ore. dy =		6(x— 1)
4.	У =	Зх* +	-	Отв. dym={6x — ~jdx.
6.	У =	< х 3 - <		Отв.	dy =	6 х 2 ( х э — а) dx.
6.	У =	а х 3 —		Отв.	dy =	(Зад:2 — 2Ьх + с) dx-

7. У =	2 х 2 -
Отв.	dy = ( б х 2 — 2х~ 3 - 6 х - 2 ) dx.

*) Форму этой кривой принимает гибкая нерастяжимая нить', подвешенная за два конца.

237

	8.	у = (а 2 — * 2 ) 4 .		Отв. dy =	- 8 х (а 2 -			* 2 ) 3	Л ь
	9.	y = lnVï	— х 3 .	Ore. dy = -	^Х	**Х
					2 (л;3		- 1)*
	10. у = (е* +		е - * ) 2 .	Ore. rf// = 2 (е 2 * — е - 2 * )				dx.
	К	§ 71.
	11.	ВЫЧИСЛИТЬ приращение п дифференциал				функции у =			2х г — х
при	переходе от значения			х = 1 к значению х =		1,01.
	Отв. Ау = 0,0302; dy = 0,03.							у=х3
	12. Вычислить приращение и дифференциал					функции		у=х3	+ 2л:
при переходе от значения х = —1 к значению х =							—0,98.
	Отв. Ау = 0,098808; dy = 0,1.							у = х 3 —
	13. Вычислить приращение и дифференциал					функции		у = х 3 —
— Ъх- + 80 при переходе				от значения х = 4	к	значению		х =	4,001.
	Отв. Ау = 0,008007001; dy = 0,008.
	14. Период колебания маятника выражается						формулой
где	I — длина маятника			и g — ускорения силы		тяжести. Найти ма

ксимальную относительную погрешность при вычислении периода Т колебания, обусловленную максимальной погрешностью 67, получае

мой при измерении длины / маятника.
	ОГ	1 6 /
15. Сторона квадрата, измеренная с точностью до 0,1 м, ока
залась	равной	4,2 м. Каковы	максимальные погрешности — абсо
лютная и относительная—для			площади квадрата?
Отв. 0,84 м 2 ; округленно 4,8%.
16. Та ж е		задача, что задача 15		для объема	куба со сторо
ною 4,2 м.
Отв. 5,292 M s ; округленно 7,1%.				X
				X	- при х — 4 2
17.	Найти	приближенное значение		дроби	- при х — 4 2
				/ х 2 +	9

Ore. 0,8144.

У к а з а н и е . Вычислить сначала дифференциал этой дроби при X = 4 и dx = 0,2. Приближенное значение дроби получим, сложив

еезначение при х = 4 с вычисленным дифференциалом,

18.Найти приближенное значение дроби

					•х+	1
			X 2	+	X +	1
при X =	0,3.
Отв: 0,7.
19.	Зная, что	l g 200 = 2,30103,			найти		lg 200,4. Сравнить' полу
ченный	результат	с данными	таблицы. (Модуль \|л =					Ig е =	0,43429.)
Отв. lg 200,4 = 2,30190.			Это	значение			совпадает	со значением,
приводимым в пятизначных таблицах.
У к а з а н и е . Положим у =				lgх . Тогда
l g (х +	Ах) = у 4- Ау » у + dy =			lg X +		d (lg x) — l g x + ~			lg e dx.

i238

Показать, что при малых по абсолютной величине значениях h имеют место следующие приближенные формулы:

20.

e f

t « 1 +

Л.

21.

t g A * A ,

22.

arcsin h «

А.

23.

arctg 2А « 2Л.

24.

In (1 +V1Ï)

» V %

25.

Доказать,

что при малых по абсолютной величине значе

ниях а

имеет место следующая приближенная формула:

In (1 +

sin а) «* а.

§§ 74, 75.

26.

Найти

кривизну и радиус

кривизны

параболы

у2 = 4х

точке

(4; 4) .

Отв.

- 1 0 / 5 .

1 0 / 5

27. Найти кривизну и радиус кривизны равносторонней гипер

болы хі/ =

12 в точке (4; 3).

„

125

0 т

125

Ж-

28.

Найти

радиус

кривизны

кривой

у — х1

— 4 х 3 — 1 8 х 2

в точ

ке

(0;

0).

29.

какой

точке

кривая

у =

ех

имеет

наименьший

радиус

кривизны?

о™. (-4, п 2 : иг).

30. В какой точке кривая у = In х имеет наименьший по абсо лютному значению радиус кривизны?

31. Показать, что абсолютная величина радиуса кривизны в лю-

	2		2	2
бой точке (х; у)	кривой х3	+	г / 3 = а 3 в три раза		больше длины
перпендикуляра,	опущенного	из	начала координат на			касательную,
проведенную к кривой в точке			(х; у)	(т. е. в точке,	в	которой рас
сматривается радиус кривизны).

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4424 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20235.06 Mб27Тарасевич Р.М. Методы и средства проверки герметичности узлов, отсеков и систем летательных аппаратов учеб. пособие.pdf
#
29.10.2023956.29 Кб8Тарасов А.Г. Новое в расчетах и эксплуатации червячных фрез.pdf
#
29.10.20238.6 Mб7Тарасов А.И. Газы нефтепереработки и методы их анализа.pdf
#
22.10.202313.04 Mб9Тарасов, В. П. Загрузочные устройства шахтных печей.pdf
#
19.10.20232.65 Mб1Тарасов, Г. М. Памятка-пособие аппаратчика-отливщика основы кинофотопленки.pdf
#
22.10.202312.62 Mб63Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
20.10.20237.86 Mб6Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf
#
23.10.20235.37 Mб8Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf
#
20.10.20238.68 Mб4Тарлинг, Д. Движущиеся материки.pdf
#
19.10.20234.2 Mб5Тарновский, Ю. К. Механизированная разработка грунта в зимнее время.pdf
#
29.10.20233.46 Mб36Тарусов Б.Н. Сверхслабое свечение биологических систем.pdf