книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник
.pdfопределяющее |
|
первую |
производную, |
значение |
х = |
— I , |
получаем |
||||||
|
|
|
|
У І — і - ( - 0 ( - 1 + 2 ) = • - . ! . |
|
|
|
||||||
Отсюда |
следует, |
что |
в |
указанной |
точке касательная |
образует |
|||||||
|
|
|
|
Зя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с осью |
Ох угол |
—с |
радианов |
(135°). |
|
|
|
|
|
||||
Наконец, для большей точности вычисляем координаты еще не |
|||||||||||||
скольких |
точек |
графика функции, например точек с абсциссами, |
|||||||||||
х ~ ~2 и |
X = |
1. |
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
_ |
1 |
• 1 |
_ |
7 |
_ |
1 , , _ 4 |
|
||
|
|
^ |
1 - 2 |
4 + |
Т |
~ " |
2 4 ' |
у*=*1 |
~"3 + |
1 |
~Т' |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построив найденные точки и касательную к |
графику в его |
||||||||||||
точке |
перегиба |
и |
принимая |
во внимание |
результаты исследования |
||||||||
первой и второй производных данной в примере функции, вычер
чиваем |
окончательно ее |
график. |
|
|
||
§ |
67. |
Построение |
и исследование графика функции у = ах2 +' |
|||
+ Ьх + |
с. |
В алгебре |
была |
подробно |
исследована |
квадратичная |
функция |
|
у = |
ах2 + Ьх + |
с |
(1) |
|
|
|
|
||||
и построен ее график. Посмотрим, как то же самое, но значительно проще, можно сделать с помощью дифференциального исчисления, применяя только что установленную схему построения графиков функций.
Данная нам функция (1) определена на всей числовой оси. Вычисляем первую производную этой функции:
у' =2ах + Ь.
Как это следует из решения уравнения Чах + 6 = 0,
производная у обращается в нуль в единственной точке х = —
Этой |
точкой весь |
промежуток ( — о о , + о о ) делится |
на две |
части: |
оо, — ^ г ) ' |
{~~2~а~' + ° ° ) " Определяем знаки |
первой |
производной в каждом из указанных промежутков. Пусть а > 0. Представив производную в виде
'-••("+£)—H-è)]-
легко устанавливаем, что |
в |
промежутке |
оо, — |
она |
отрица |
||
тельна, а в |
промежутке |
|
-^, + |
ooj — |
положительна. |
|
|
Отсюда |
вытекает, что |
в |
первом |
промежутке |
функция |
(1) убы- |
|
|
|
|
|
|
Ъ |
|
|
вает, а во втором возрастает, |
и в точке х— |
— |
имеет минимум. |
||||
210
Вычислим |
теперь значение |
функции |
при |
|
х~~~2^і |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аас — Ъг |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положив |
x |
= 0 , |
найдем |
точку |
N{0} |
с) |
пересечения |
графика |
|||||
с осью ординат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем, далее, точки пересечения графика с осью абсциссу по |
|||||||||||||
лагаем для этого у = |
0 и решаем |
уравнение |
|
|
|
|
|||||||
имеем |
|
|
|
ах2 |
+ |
Ьх + |
с = |
0; |
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
— Ъ±У"Ь~2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 ас |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2а |
|
|
|
|
|
|
Если |
Ьг — 4ас > |
0, то |
уравнение |
имеет |
два различных веще |
||||||||
ственных |
корня; |
это |
означает, |
что |
график |
пересекает |
ось |
абсцисс |
|||||
в двух точках |
|
(рис. 77)*) . |
Если |
Ъ2 — Аас<0, |
то корни |
уравне |
|||||||
ния (3)—комплексные; это |
значит, |
что график вовсе |
не пересекает |
||||||||||
Рис. 78.
оси Ох (рис. 78). Наконец, если Ьг — 4ас = 0, то уравнение (3) имеет два одинаковых вещественных корня; это означает, что кривая
имеет с осью Ох только одну общую точку |
M ^— - ^ ; oj |
(это |
||||||||||||||||
видно |
также |
из |
соотношения |
(2)). |
В |
этом |
случае |
касательная |
||||||||||
в точке M совпадает с осью |
Ох |
(рис. 79). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Если |
с = |
0, |
то кривая |
проходит через начало координат. Если |
|||||||||||||
6 = |
0 |
и |
с = |
0, то |
функция |
(1) |
имеет |
вид у |
= |
ах2 |
и |
изображается |
||||||
параболой с вершиной в начале координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Случай а < |
0 |
читатели |
легко |
исследуют |
сами |
и |
построят |
соот |
|||||||||
ветствующие |
графики. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
З а м е ч а н и е . |
В § |
24 |
была |
рассмотрена |
парабола, |
выражаю |
|||||||||||
щаяся |
уравнением |
у = |
ахг |
+ |
Ьх + с. Таким |
образом, |
графиком |
|||||||||||
|
*) |
На этом |
рисунке |
и на рис. 78 |
и 79 |
изображен |
случай, |
когда |
||||||||||
b < |
0 и с> |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
211
функции (1) является парабола. Мы теперь имеем новый способ нахождения вершины этой параболы; именно, абсцисса вершины есть то значение х, при котором функция (1) имеет экстремум,
а ордината вершины равна значению функции при х— — (на рис. 77, 78 и 79 вершина обозначена точкой М).
Рис. |
79. |
|
Рис. |
80. |
П Р И М Е Р . |
Найти координаты |
вершины параболы |
||
|
у = — хг |
+ Ах. |
|
|
Р е ш е н и е . |
Находим производную |
функции |
у — —хг + Ах: |
|
|
у'-=-2х |
+ |
4. |
|
Приравнивая у' = 0 и решая уравнение
-2х + 4 = О,
находим |
абсциссу |
х = |
2 вершины |
параболы. |
Подставив |
теперь в |
||||||
уравнение |
параболы |
значение х — |
2, |
вычисляем |
ординату |
вершины |
||||||
у = 4. |
Итак, вершиной |
параболы |
служит точка |
ЛІ (2; 4) |
рис. 80. |
|||||||
У П Р А Ж Н Е Н И Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
К |
§ |
60. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить промежутки возрастания и убывания следующих |
||||||||||||
функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
у |
= |
X1 + 6х — |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. |
|
Убывает |
в |
промежутке |
( — о о , — 3 ) ; |
возрастает |
в |
проме |
||||
жутке |
( — 3 , + о о ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
у = |
X3 — Зх2 |
+ |
7. |
|
|
|
|
|
|
||
Отв. Возрастает |
в |
промежутках |
(—оо, 0) |
и |
(2, + о о ) ; |
убывает |
||||||
впромежутке (0, 2).'
3.у = х* + 4х — 6.
Отв. Возрастает |
в |
промежутке |
(—1, + о о ) ; |
убывает в |
проме |
||
жутке |
( — о о , —1). |
|
|
|
|
|
|
4. |
у = 2х3 — \Ъх2 |
+ |
36* — 270. |
( — о о , |
|
(3, + о о ) ; |
|
Отв. Возрастает |
в |
промежутках |
2) и |
убывает |
|||
в промежутке (2, 3) . |
|
|
|
|
|
|
|
Ore. Убывает в промежутках (—оо, 0) и |
(0, |
+ о о ) . |
|
||||
212
6. у = 8х2 — In X.
Отв. Убывает в промежутке ^О, - j - j ; возрастает в промежутке
( |
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7. у |
= |
в"*' . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ога. |
Возрастает |
в |
промежутке |
(—со, |
0); |
убывает |
в |
проме |
|||||||||||||
жутке (0, + о о ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
К §§ 61 и 63. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Исследовать |
на максимум |
и |
минимум |
следующие |
функции: |
||||||||||||||||
|
8. у = |
х 2 |
+ |
2х — 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Отв. При X = |
—1 функция имеет |
минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
9. у = |
2JC2 — |
5х + |
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отв. При |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
А = |
-^- функция имеет минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
10. |
у = |
3 + |
8А |
— |
х2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отв. При X = |
4 функция имеет |
максимум. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
11. |
у = |
4 |
— |
ЗА — |
5А2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отв. При |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
А = |
— — |
функция |
имеет максимум. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Ога. |
При |
А = |
— 1 |
функция |
имеет |
максимум |
и |
при |
х = |
2 — |
|||||||||||
минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
13. |
у = |
6 + |
12х — X3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отв. |
При |
А = |
—2 |
функция |
имеет |
минимум |
|
и |
при х = |
+ 2 — |
|||||||||||
максимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
14. |
у = |
2х3 + Зх2 |
— 36А — |
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
||||||
|
Ore. |
|
При |
X = |
—3 |
функция |
имеет |
максимум |
и |
при |
= |
2 — |
||||||||||
минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
15. |
у == 5 + |
36А + |
З А 2 — 4А3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||
|
_ |
|
При |
А = |
2 |
функция |
имеет |
максимум |
и |
при |
х = |
|
|
|||||||||
|
Ore. |
|
— -^-— |
|||||||||||||||||||
минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
16. |
у = |
X3 + |
4А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отв. Функция экстремумов не имеет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
17. |
у = |
2х3 + З А 2 |
+ |
6А — 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ore. Функция экстремумов не имеет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
18. у = |
X* — 2х3 — 2А2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ore. |
При |
А = |
0 |
функция |
|
имеет |
максимум, |
при |
х ~ ~ ~ % |
и |
|||||||||||
А = |
2 — минимумы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
19. |
у = |
ЗА-4 |
— |
4х 3 |
— 6х2 -f- 12х — 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ore. При X — |
—1 функция |
имеет |
минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
20. |
у = |
(Х + |
2 ) 2 ( А |
— 4 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Отв. При |
А = |
—2 |
|
функция |
имеет |
максимум |
и |
при х |
= |
+ 2 — |
|||||||||||
минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
21. |
у = |
( х - |
1)»(х |
— 2 ) 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ore. |
При |
к = |
g |
|
|
|
имеет |
максимум |
и |
при |
х = |
2 — |
|||||||||
|
-=* функция |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
минимум.
213
22. |
tj |
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ore. |
ПриI |
x |
= |
—1 |
функция имеет минимум и ари |
х = |
+ 1 — |
|||||
максимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
23. |
|
x 2 - |
|
Зх + |
2 |
|
|
|
|
|
||
У - - х 2 |
+ |
3 |
] ( |
+ |
2_. |
|
|
|
|
|
||
Отв. При |
x = |
— |
У 2 функция |
имеет максимум |
и |
при |
х • |
|||||
— + Y 2 |
— минимум. |
|
|
|
|
|
|
|||||
24. |
у- |
1 - х |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 + |
|
хУ |
• |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отв. При x = |
3 функция |
имеет |
минимум. |
|
|
|
||||||
25. Разложить число 12 на такие две части, произведение ко |
||||||||||||
торых давало бы наибольшее значение. |
|
|
|
|||||||||
Отв. Каждая часть должна быть равна 6. |
|
|
|
|||||||||
26. |
Разбить число 10 на такие |
две части, чтобы сумма удвоен |
||||||||||
ной одной часта и квадрата другой |
была наименьшей. |
|
|
|
||||||||
Отв. 9 и |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27. |
Какое |
положительное |
число, будучи сложено |
с |
обратным |
|||||||
ему числом, дает наименьшую сумму?
Отв. 1.
28.Показать, что из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.
29.Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, который имеет наименьшую диагональ.
Отв. Квадрат.
30.Показать, что из всех прямоугольников данной площади квадрат имеет наименьший периметр.
31.Показать, что из всех прямоугольников, вписанных в данный круг, квадрат имеет наибольший периметр и наибольшую площадь.
32. Из всех цилиндров данного объема найти тот, который имеет наименьшую полную поверхность.
Отв. Высота цилиндра равна диаметру основания.
33. Из всех цилиндров, вписанных в данный конус, найти тот, который имеет наибольший объем.
Отв. Высота цилиндра равна -5- высоты конуса.
Ö
34. Из всех конусов, описанных около данного шара найти тот, который имеет наименьший объем.
Отв. Высота конуса составляет четыре радиуса шара; объем этого конуса в два раза больше объема шара.
35.Из всех цилиндров, вписанных в данный шар, найти тот, который имеет наибольшую боковую поверхность.
Отв. Высота цилиндра равна диаметру основания.
36.Из всех цилиндров, вписанных в шар радиуса г, найти тот, который имеет наибольший объем.
Отв. Радиус |
основания |
цилиндра |
равен |
у |
— г, |
высота |
ци- |
||||
|
|
2г |
|
|
|
|
' |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
линдра |
равна |
~у= |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
37. |
Окно |
имеет |
форму |
прямоугольника |
с |
полукругом наверху. |
|||||
Дан периметр |
окна. |
Каково |
должно |
быть |
соотношение |
между |
его |
||||
214
шириной и высотой, чтобы количество света, пропускаемого окном, было наибольшее?
Отв. Радиус полукруга равен высоте прямоугольника.
38. Требуется сделать из жести открытый желоб, имеющий в сечении форму равносторонней трапеции, основание которой и
боковые стороны имеют по 4 дм. Какола должна быть |
ширина |
||
желоба |
наверху, чтобы |
он вмещал наибольшее количество |
воды? |
Отв. 8 дм. |
|
|
|
39. Требуется огородить прямоугольный участок земли, |
исполь |
||
зуя в |
качестве одной из |
сторон забора часть стены дома. |
Участок |
должен иметь определенную площадь. Как следует выбрать соотно шение между длинами его сторон, чтобы на постройку забора пошло наименьшее количество материала?
Отв. Сторона забора, параллельная стене дома, должна быть
вдва раза длиннее боковой стороны.
40.Электрическую лампу надо повесить над центром круглой площадки, имеющей 30 м в диаметре. Предполагая, что сила осве
щения изменяется прямо пропорционально косинусу угла падения il обратно пропорционально квадрату расстояния от освещаемой поверхности, определить на какой высоте должна быть повешеналампа, чтобы она наилучшим образом освещала дорожку, проходя щую по краю площадки.
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
Отв. На высоте у— |
м- |
|
|
|
|
|
||
41. |
Требуется |
огородить |
забором |
прямоугольный |
участок |
земли |
||
с таким расчетом, |
чтобы |
площадь участка составляла |
216 м2 |
земли, |
||||
и разделить затем этот участок забором на |
две |
равные |
части. |
|||||
Каковы должны быть размеры участка, чтобы |
на постройку |
забо |
||||||
ров пошло наименьшее количество материала? |
|
|
|
|||||
Отв. Длина 18 м, ширина |
12 м. |
|
|
|
|
|||
42. Проволоку длиной / метров разрезают на -две части; одна |
||||||||
часть |
проволоки |
сгибается |
в форму |
круга, а |
другая — в |
форму |
||
квадрата. Показать, что сумма площадей этих фигур будет иметь наименьшее значение в том случае, когда отношение длин частей
проволоки будет равно - ^ .
43. Бревно имеет форму усеченного конуса; длина бревна 20 м; диаметры оснований 2 м и 1 м. Каковы должны быть размеры балки наибольшего объема, которую можно вырезать из бревна, если поперечное сечение балки есть квадрат, а ось балки совпадает с осью бревна.
Отв. Длина балки 13-—м..
44. Требуется сделать открытый цилиндрический резервуар вместимостью 300 м* воды. Стоимость материала, из которого де лается дно резервуара, в два раза больше стоимости материала, идущего на боковые стенки резервуара. При каких размерах ре зервуара постройка его будет наиболее дешевой?
Отв. Высота резервуара в два |
раза больше радиуса основания. |
||
45. |
Расход угля в час моторным ботом составляет 0,3 + |
0,001 ѵ3 |
|
тонны, |
где V — скорость бота в 1 |
час. Определить наиболее |
эконо |
мичную |
скорость бота. |
|
|
з.
Отв. ѴіЬО км/ч.
215
46. Энергия, затрачиваемая на перемещение парохода, пропор циональна кубу его скорости. Найти наиболее экономичную скорость парохода при движении его против течения, составляющего а км/ч.
Отв. — а.
47. Найти на прямой у = х точку, сумма квадратов расстояний которой от точек (—а; 0), (о; 0) и (0; Ь) имеет наименьшее зна чение.
Ore, |
ІЬ_ |
ьл |
|
• І 6 ; |
6 ) • |
|
|
48. |
Найти |
па оси Ох точку, |
сумма расстояний которой от точек |
(1; 2) н (4; 3) имеет наименьшее |
значение |
||
Отв• № |
• ) • |
|
|
49. Найти на окружности х2 + у2 = а2 точку, сумма квадратов расстояния которой от точек (2а; 0), (0; 2а) имеет наименьшее зна чение.
_ |
|
,'аѴ2 |
|
аѴ2 |
|
|
|
|
|
|
Отв. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
§ 62. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50. |
у = |
хг |
+ Зх — 5. Найти |
у". |
Отв. у" = 2. |
|
||||
51. |
у — З — |
Xs. Найти у'". |
Отв. у'" = |
- 6. |
|
|||||
52. |
у = |
(х3 |
+ |
1)а . Найти у". |
Отв. у" = 6* (5.*3 + |
2). |
||||
53. |
/ (х) = |
(х - 2)\ Найти |
/ " (4). |
Отв. ) " (4) = 160. |
|
|||||
54. |
у — |
е3х~\ |
Найти |
у". |
|
Отв. у" = |
9e 3 * - 2 . |
|
||
55. |
у = |
cos* X. Найти |
у". |
|
Отв. у" = |
— 2 cos 2х. |
||||
56. |
У = ~У. |
Найти у". |
|
Отв. у" = |
~. |
|
||||
57. |
у = |
In (х + У Т + Р ) . Найти |
j / " . Ore. у" -- Ѵ(\ |
+х2у. |
||||||
Скорость точки, движущейся прямолинейно, задается нижесле дующими уравнениями. Определить ускорение точки в указанные моменты времени.
58. V = t2 + 2t; t = 3. 59. V = 3/ — t3; t = 2.
60. |
V = |
A • |
t |
1 |
71 |
4 s m T ; |
t = |
T . |
|||
61. |
V.= |
a cos 3t; |
t = |
—. |
|
62. |
Ü = |
5e2 '; |
* = |
1. |
о |
|
|||||
Отв. j — 8. Отв. j = - 9 .
Отв. j = V T .
Отв. j — - З о .
Отв j = 10e2.
216
Найти в указанные моменты времени длину пути, скорость и ускорение точки; движущейся прямолинейно по закону, заданному следующими уравнениями:
|
63. |
|
s = |
r3 |
+ |
2 i 2 ; |
і = |
2. |
|
|
Отв. s = |
16, о = |
20, |
/ |
= |
|
16. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
64. |
|
s = |
2/ |
- |
|
l*; t |
= |
|
i . |
|
|
отв. |
|
s = |
1, |
о = |
0, |
у = |
- |
|
2. |
|
|
|
|
||||||
|
65. |
|
s = |
2sin/; < = |
~ . |
|
|
Отв. s = |
/ 2 , |
|
v = Vî, |
|
|
j = |
- |
У Х |
||||||||||||||||
|
с „ „ |
= |
a cos |
лі1 |
|
/ = |
1. |
|
Ore. |
s = |
а |
u = |
|
я я ^ З |
. |
|
п 2 а |
|||||||||||||||
|
66. |
|
s |
- g - ; |
|
y , |
|
|
|
^ |
|
, ; = |
|
jg - . |
||||||||||||||||||
|
67. |
|
s = |
2e3 '; |
/ = |
0. |
|
|
|
Отв. s = |
2, |
v = |
6, |
/ = |
18. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
К §§ 64 и 65. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Исследовать |
на |
|
выпуклость |
|
и |
вогнутость |
следующие |
кривые |
|||||||||||||||||||||||
и найти их точки перегиба: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
68. |
|
у |
= |
х3 — Зх + |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— о о < |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ore. |
|
Кривая |
вогнута |
книзу |
в |
|
промежутке |
і |
< |
0 |
и |
вы |
|||||||||||||||||||
пукла |
книзу |
|
в |
промежутке |
0 < |
х |
< |
+ о о ; |
точка |
перегиба |
(0; |
|
3). |
|||||||||||||||||||
|
69. |
|
у |
= |
5 — 2х — |
|
хг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отв. Кривая всюду вогнута книзу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
70. |
у |
= |
x1 |
— 12л-» + |
48Л* — 50. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Отв. |
Кривая |
выпукла |
книзу |
|
в |
промежутках |
— о о < |
х |
< |
2 |
и |
||||||||||||||||||||
4 < |
x < |
|
-(-оо и вогнута |
книзу |
в |
промежутке |
2 < |
х |
< |
|
4; точки пере |
|||||||||||||||||||||
гиба (2; 62) и (4; 206). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
71. |
у ' |
= |
|
х — |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— о о <с х |
<. I |
|
||||||||
|
Ore. |
|
Кривая |
выпукла |
книзу |
|
в |
промежутке |
и |
|||||||||||||||||||||||
вогнута |
|
книзу |
|
в |
промежутке |
1 < |
х |
< |
+°°', |
точка |
перегиба |
( 1 ; 0). |
||||||||||||||||||||
|
72. |
|
|
j / |
= |
X 4+х - |
|
1' |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ore. |
|
Кривая |
вогнута |
книзу |
|
в |
промежутке |
( — о о , 0), |
выпукла |
||||||||||||||||||||||
книзу в промежутке |
^0, |
- |
^ j |
, |
вогнута |
книзу |
в |
промежутке |
|
|
l j , |
|||||||||||||||||||||
выпукла |
книзу |
в промежутке |
|
(1, -f-oo); |
точка |
перегиба |
|
|
0^. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
73. |
|
у |
= |
|
е*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. Кривая всюду выпукла книзу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
74. |
|
у |
= |
|
In x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Отв. Кривая всюду вогнута книзу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
75. |
|
у — sin дс. |
|
|
|
|
|
х = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ors. |
Точки |
перегиба при |
пл,' где |
л = |
0, ± 1 , |
± 2 , . . . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
76. у — хе*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х < |
|
|
|
||||||||
|
Отв. |
Кривая |
вогнута |
книзу |
|
в |
промежутке |
— о о < |
—2 |
и |
||||||||||||||||||||||
выпукла |
|
книзу |
в |
промежутке |
—2 < |
x < |
-f-oo; |
точка |
перегиба |
при |
||||||||||||||||||||||
x = |
—2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
217
|
77. |
у |
|
= |
|
е-*\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
Отв. |
|
Кривая |
выпукла |
книзу |
в |
промежутке |
I — |
оо, — — — J , |
||||||||||
вогнута |
|
книзу |
в |
промежутке ( |
|
|
"тг~~2~и |
выпукла |
книзу |
||||||||||
в |
промежутке |
|
|
|
+ |
|
т о |
ч к и |
перегиба^— ¥1-; |
у=г^, |
|||||||||
(ÏL. |
|
|
J |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
\ |
2 ' |
|
|
Ѵ7Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
К |
§ |
66. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построить графики функций, данных в примерах I , 2, 3, 8, 9, 10, |
||||||||||||||||||
12, |
16, |
18, |
20, |
21, |
|
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Построить графики следующих |
функций: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
73. |
у = |
1 + |
6* - |
ЗлЛ |
|
|
79. |
# ~ 2 х 2 |
+ |
8 х - - І І . |
|
|||||||
|
80. |
у •= г* - |
Зх + |
2. |
|
|
81. |
у |
2х 3 |
+ |
х 2 - |
2. |
|
||||||
|
82. |
у •= 2 — X — X 3 . |
|
|
83. |
у «= Зх4 + |
2х2 |
— 5. |
|
||||||||||
|
84. |
у = |
X 3 - |
9х2 |
+ |
15х - |
20. |
|
85. |
у |
1 - |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 2 ' |
|
|
||
|
86. |
у = |
х + |
- і " . |
|
|
|
|
87. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
88. |
|
|
|
|
+ |
Ж + |
|
|
|
|
89- |
Ѵ~ |
х , |
+ |
\а* |
( а > 0 ) . |
||
ГЛАВА VIII
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
§ 68. Дифференциал как главная часть приращения функции. 1. В § 34 было показано, что отношение двух
бесконечно малых величин а и ß при х-* с может ока заться или бесконечно малой величиной, или бесконечно большой, или ограниченной*). Это происходит в зави симости от характера изменения бесконечно малых.
Например, при х-*0 величины а = х2 и ß = х3 — бесконечно малые.
Будем давать аргументу х значения, приближаю щиеся к нулю, например значения 0,1; 0,01; 0,001; . . .
Бесконечно малая хг |
будет при этом принимать соответ |
|||||||||
ственно значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0,01; |
0,0001; |
0,000001; . . . . |
|
|
|
|||
а бесконечно малая х3— значения |
|
|
|
|||||||
|
ч |
0,001; |
0,000 001; |
0,000000001; . . . |
|
|
||||
Сравнивая эти значения |
величин хг и х3, |
можем |
ска |
|||||||
зать, что я3 стремится к 0 «скорее», чем хъ. |
Поэтому |
от- |
||||||||
ношение |
-хт= х |
стремится |
в данном случае |
к 0 |
при |
|||||
Х-+0, |
т.е. является |
величиной |
бесконечно |
малой |
при |
|||||
х-*0, |
|
|
|
X2 |
1 |
|
|
|
|
|
а |
отношение |
— г « — |
по |
абсолютной |
величине |
|||||
|
' |
|
|
X |
X |
|
|
|
|
|
безгранично возрастает, т.е. оказывается бесконечно большой величиной при х-*0.
Рассмотренные примеры наводят на мысль о целесо образности сравнения бесконечно малых величин друг
*) Как и в § 34, мы не касаемся здесь более сложных случаев отношения двух бесконечно малых.
2 1 9