Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

102

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 4411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Положим			X— —	Z.	Когда		л: —> — со,	то		z->-f-oo.
Далее	X1	' =	—і-г- =	—!— =		— .	В примере		3	мы	уже
показали,		что — есть			величина		бесконечно		малая		при
			2
z - > - f - ° ° .		Следовательно,				переменная — при				х->	— со
есть также величина бесконечно малая.
Следует		заметить, что			термин «бесконечно			малая		величина»

весьма неудачен и часто приводит к недоразумениям: с этим тер

мином	связывается	представление	о размере величины, между тем
как на	самом деле	он должен служить только описанию х а р а к
т е р а и з м е н е н и я		переменной	величины.

Причиной сохранения в науке такой неудачной терминологии является исторически сложившаяся традиция, истоки которой от

носятся к тому времени,	когда в понятие бесконечно малой вели
чины вкладывался совсем	иной смысл, чем теперь.

2. Когда холодная вода нагревается до кипения, то температура воды, постепенно повышаясь, является ве личиной переменной до того момента, пока вода не начинает кипеть; с этого момента в течение всего вре мени, пока вода кипит, температура ее не изменяется, оставаясь равной 100° С. Если затем вода станет охлаж даться, то температура ее начнет понижаться, т. е. ста нет опять изменяться.

Здесь мы имеем пример величины, которая то изме няется, то становится постоянной, а затем опять изме няется. Такую величину естественно рассматривать во обще как переменную.

Если мы будем принимать во внимание только чис ленные значения температуры, отвлекаясь от физиче ского смысла рассматриваемого процесса, то перед нами будет уже математическая величина, которую так же естественно считать переменной.

Больше того, математическую величину, остающуюся всегда постоянной, часто оказывается целесообразным рассматривать как переменную, принимающую лишь одно единственное значение.

Если это единственное численное значение есть нуль, то такую постоянную следует отнести к классу беско нечно малых величин, так как для нее выполняется определение бесконечно малой: какое бы положитель ное число е ни было задано, всегда

|0 1 = 0 < в . "

100

Постоянная величина а, отличная от нуля, не яв ляется бесконечно малой величиной, так как никакая постоянная величина а ф О не может по абсолютной величине оказаться меньше л ю б о г о , сколь угодно ма лого положительного числа е. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять в качестве е какое-нибудь положи

тельное число, меньшее \а\.
§ 29.	Основные свойства бесконечно малых величин.
1 . П е р в о е		с в о й с т в о б е с к о н е ч н о					м а л ы х .		Алге
браическая		сумма	любого	(но	постоянного)			числа	бес
конечно	малых		слагаемых	есть		величина		бесконечно
малая.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Ради	простоты		докажем		эту
теорему	для	суммы д в у х		бесконечно малых: a + ß = a.
Пусть	в — любое, сколь угодно					малое	положительное

число. Нам нужно показать, что в процессе изменения переменной о наступит такой момент, когда станет и в дальнейшем будет оставаться справедливым нера венство

| f f | < 8 .

Хотя переменные а и ß, вообще говоря, изменяются по-разному, но так как обе они бесконечно малые, то каждая из них рано или поздно станет и впредь будет

оставаться по абсолютной величине меньше у . Следо вательно, при изменении а и ß наступит такой момент, начиная с которого уже одновременно станут и в даль нейшем будут выполняться неравенства

	\| а \| < - § -	и	\| ß j < \| .
	Тогда будем, иметь
	I а \| = \| а + р К \| а \| + \| ß ] < -§• + 1 = е,
т.	е.
	\|<г \| <		е,
a это как раз и нужно было доказать.
	Доказательство остается таким же и для суммы
любого числа бесконечно		малых, если		число слагаемых
в	рассматриваемом процессе		остается	постоянным.

З а м е ч а н и е . Доказанное свойство бесконечно малых не рас пространяется на случай, когда число слагаемых рассматриваемой суммы бесконечно малых не остается постоянным, а неограниченно возрастает одновременно с приближением каждого слагаемого

101

к нулю: может случиться,		что такая сумма уже			не будет	величиной
бесконечно малой.
Возьмем,	например,	отрезок	прямой	длины	единица	и	будем
делить его на	2, 3, 4,	10,	100,	вообще на		гс	равных

частей. Каждая часть будет равна — , а сумма всех частей равна единице. Будем теперь безгранично увеличивать число п делений. Тогда каждая часть, равная — , будет величиной бесконечно малой

(см., пример 3 § 28). Однако						сумма всех частей для любого
значения п остается всегда равной единице								и вовсе	не	бесконечно
мала.
2.	Переменная			величина		называется			ограниченной,
если	при	своем		изменении		она по абсолютной				величине
никогда		не	превосходит			некоторого		положительного
числа.			при изменении х переменная величина sin х
Например,
есть	величина		ограниченная, так				как	всегда	\| s i n x \| ^ 1.
3. В т о р о е с в о й с т в о б е с к о н е ч н о м а л ы х .											Про
изведение		ограниченной			величины		на	бесконечно			малую
есть величина			бесконечно			малая.	у — ограниченная
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Пусть						вели

чина, а а—бесконечно малая; обозначим произведение этих величин через z:

• z = г/а.

Нам нужно доказать, что z есть величина бесконечно малая, т. е. что, начиная с некоторого момента и при дальнейшем изменении величины z, будет оставаться справедливым неравенство

	\| z \| < e ,
где е — любое	наперед	заданное сколь	угодно малое
положительное	число.
Так как у — величина		ограниченная,	то найдется	та
кое положительное число N; что \y\<iN.			Величина	а —

бесконечно малая; поэтому наступит такой момент,	что
станет и впредь будет выполняться неравенство \|	а \| <

<. Тогда получим

\z\ =

\y.a\=\y}-\a\<NJr=z.

Очевидно, постоянные и бесконечно малые величины суть вместе с тем величины ограниченные. Поэтому из доказанного свойства бесконечно малых вытекают след^ ствия:

102

С л е д с т в и е				1.	'Произведение		постоянной			величи
ны	на	бесконечно			малую	есть	величина			бесконечно
малая.					Произведение		двух	бесконечно			ма
С л е д с т в и е				2.
лых	величин		есть величина			бесконечно		малая.
Наконец, на основании второго свойства									бесконечно
малых нетрудно доказать такое следствие:
С л е д с т в и е				3.	Произведение		любого		постоянного
числа сомножителей,					среди	которых хотя бы				один	есть
величина		бесконечно			малая,	а	остальные		—	величины
ограниченные			(или,		в частности,		постоянные),			есть ве
личина		бесконечно			малая.
§	30. Предел			переменной величины.				При		изучении

элементарной геометрии и алгебры мы встречались с переменными величинами, изменение которых происхо дит таким образом, что переменная величина прибли жается к некоторому определенному числу так, что раз ность между ними становится как угодно малой.

Например, разность между площадью круга и пло щадью вписанного в круг правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа сторон многоуголь


ника становится сколь угодно малой.
О п р е д е л е н и е .					Число		А	называется пределом		ne-,
ременной величины				у,	если		разность
					у — А =			а
есть величина			бесконечно				малая.
Говорят также,				что		переменная у			стремится к	пре
делу	А	(А — постоянное				число), если			разность у — А =
= а	есть величина			бесконечно				малая.
Тот		факт,	что	число А является пределом перемен
ной у,		записывают		так:
					lim у —			А,

где lim — это первые три буквы латинского слова limes (французского limite), что по-русски означает «предел». Говорят еще, что переменная у стремится к Л и пишут: t

у->А.

Из равенства у — А = а получаем

	у =	А +	а,
т. е.	переменная величина	у,	имеющая	своим пределом
число	А, может быть представлена в			виде суммы двух

103


слагаемых:	постоянного			'А	(т. е. предела)			и	бесконечно
малой а.		если	переменная величина				у	является		сум
Обратно,
мой числа	А	и бесконечно			малой	а, то А		есть предел		у.
Действительно, из				равенства:		у =	А + а		получаем:
у — А = а,		где	а — бесконечно			малая		величина.		Но

тогда по определению предела заключаем, что число А

есть предел

переменной

у.

Из

определения

понятия

предела

следует,

что

Предел

бесконечно

малой

величины

есть

нуль*

самом

деле,

разность

а — 0 =

есть

бесконечно

ма

лая величина.

•

Если

lim а =

то а

есть величина

бесконечно

малая.

самом

деле,

из

равенства

lima =

следует,

что

разность

a — 0

есть

величина

бесконечно

малая.

Но

а — 0 =

а;

значит,

есть

величина

бесконечно малая.

Постоянную

с мы

условились

рассматривать

как

переменную величину у, принимающую всегда лишь единственное значение с; вспоминая, что в § 28 (пункт 2) мы постоянную, равную нулю, отнесли к классу величин бесконечно малых, получаем

у— с —с — с = О,

т.е. разность у — с есть величина бесконечно малая; от

сюда следует, что limy —с,		т. е. lim с = с.
Таким	образом, предел	постоянной	величины с ра
вен самой	постоянной с.
Исходя	из определения	бесконечно	малой величины,

можно приведенное выше определение предела перемен ной величины выразить в такой форме:

Число

называется

пределом переменной

величины

у, если

разность

у — А

процессе

изменения

стано

вится

при

дальнейшем

изменении

остается

по

аб

солютной

величине меньше

любого

наперед

заданного

положительного

числа

е,

как

бы

мало

это число

ни

было:

I у — А | <

е.

Отнюдь не следует думать, что

всякая

переменная

величина

имеет

предел.

y =

smx,

Возьмем,

например,

переменную

изменяю

щуюся в зависимости от изменения х. Пусть х	возрас
тает, пробегая в с е вещественные значения (*	-»•,.+0 0 )•

104

Тогда	переменная у =	sin х	будет неограниченное			число
раз колебаться между		значениями		—1 и	+ 1 .	Вслед
ствие	этого разность у — А		ни при	каком	числе	А не

может оказаться величиной бесконечно малой. Следова

тельно,	в рассматриваемом случае переменная у —
. = sinx	предела не имеет.

Несколько позднее в § 32 и § 61 мы еще встретимся

спримерами переменных, не имеющих пределов.

4.В математическом анализе постоянно приходится иметь дело с переменными величинами, изменение ко

торых обусловлено изменением других переменных. Пусть переменная у изменяется в зависимости от изме нения переменной х. Когда речь идет о пределе пере

менной у при неограниченном приближении			(стремле
нии) переменной х к числу	а (х—*а),	то само число а
из значений, принимаемых	переменной	х,	исключается.

Это условие имеет очень важное значение в теории пределов.

5. Приведем теперь примеры, поясняющие определен


ние предела	переменной		величины.
1) Исследуем		изменение		переменной			величины
		У-	х 2 +	Зх — 4
			х - 1			'
меняющейся	вместе с изменением				х, полагая, что х—* 1<
Давая X последовательно				значения:
х = 1 , 1 ;	х =	1,01;	х = 1 , 0 0 і ;			х =	1,0001,	. . . ,
находим соответствующие значения						у:
»/ = 5,1;	# =	5,01;	г/ =	5,001;		у =	5,0001; . . .
Рассмотрение		этих значений			переменной у			наводит
на мысль, что пределом			ее при х—* 1 является					число 5;<

однако, чтобы утверждать это, надо доказать, что раз ность

X2 + Зх - 4	с
— 7 ^ 1	5 = а >

есть величина бесконечно малая. Покажем, что это дей ствительно так.

	Для этого выражение, определяющее величину а,
преобразуем следующим						образом:
а =	X2	+ Зх - 4		с	X2 + Зх - 4 - 5* + 5
а =		1	;	5 =	•	;	- — =
		X — 1				X — 1
						х 2 — 2 х + 1		( х - 1 ) 2	,

105

'{сокращение

на

разность

х — 1 допустимо,

так как зна-1

чение X =

из

значений,

принимаемых

переменной

при

X —* 1, и с к л ю ч а е т с я ,

и разность х—1

при

* - > 1

не может стать равной нулю).

х-*

х—1

Совершенно

ясно, что

при

разность

есть

величина бесконечно

малая. 'А

если

разность

х°- +

Зх

5 =

х-

есть

величина

бесконечно

малая,

то,

по

определению

X2 -4- Зх

предела, число 5 есть предел переменной у=———:

при

х—>\.

Полученный

результат

записывают

такі

lim

;

= 5 .

* - >i

' _ 1

Покажем,

что предел

переменной

величины

У-

\-V\-X

при X-+0

равен

Для доказательства того, что число 2 есть предел

переменной у,

надо показать, что разность

у — 2 =

— 2 =

есть величина бесконечно малая. Сделаем для этого следующие преобразования:

_ _	*	о _	х(і+ѴГ^7)			9	_
		=	х(1+ут=х-)_2	=	ѵ т	— : - _ и
(сокращение на		х допустимо, потому что при				х-*0,	по
условию	пункта	4, переменная х		не может	стать равной
0) ; итак,		а =	у і - х -	_
				1.
По мере приближения х к нулю значения						] / 1 — х
приближаются к		1, а	разность У і — х—1=а			прибли

жается к 0; значит, а есть величина бесконечно малая. Следовательно,

lim	J	—2.
х->о	l - y	i - j c

106

Уже рассмотренные примеры показывают, что при отыскании пределов переменных величин могут встре

титься трудности	и иногда весьма значительные, в чем
мы неоднократно	будем убеждаться впоследствии.

Заметим при этом следующее: если при помощи вы числения ряда численных значений переменной мы об

наружим,	что переменная при своем		изменении	прибли
жается к	некоторому	числу (см. пример 1),		то	этого
еще недостаточно для		утверждения,	что это число		есть

предел переменной: необходимо доказать, что разность менаду переменной и этим числом бесконечно мала. Так, периодическая дробь 0,989898... по мере увеличения числа десятичных знаков увеличивается, все время при ближаясь к единице. Однако, если мы сделаем отсюда вывод, что единица есть предел этой дроби, то мы оши бемся, ибо разность между единицей и данной дробью,

сколько бы мы ни взяли в последней		десятичных зна
ков, всегда больше	Ѵээ: как известно	из арифметики,
предел данной дроби	есть 9 8 ( 9 Э .
В следующем параграфе мы дадим		ряд теорем, об

легчающих нахождение пределов переменных величин. Однако далеко не во всех случаях нахождение преде лов переменных осуществляется только путем непосред ственного применения этих теорем, а поэтому, вообще говоря, задача нахождения пределов переменных вели

чин остается			весьма	трудной.
§ 31. Основные теоремы						о пределах.			П р е д в а р и
т е л ь н о е з а м е ч а н и е .					Во	всех		доказываемых		ниже
теоремах		предполагается			существование				пределов	всех
отдельных		переменных,			входящих			в ' рассматриваемые
выражения.			1. Предел		алгебраической				суммы	посто
Т е о р е м а
янного	числа		переменных		равен		алгебраической			сумме
пределов		слагаемых.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Ради		краткости		докажем эту
теорему для двух переменных: у								и z. Доказательство
остается таким же и для суммы								любого постоянного
числа	слагаемых.
Пусть		lim у — А и limz =				ß . Отсюда,			на основании
определения предела				(§ 30), имеем
			г/ =	Л +	а,	z =	ß + ß,

где а и ß —величины бесконечно малые.

107

Следовательно,

у + г = (А + В) + (а+&.

В полученном равенстве сумма у + z есть величина пе ременная, Л + 5 — величина постоянная (число) и a-f-ß (как сумма бесконечно малых)—величина бесконечно малая (§ 29, свойство 1). А раз переменная у -f- z пред ставлена как сумма постоянного A -f- В и величины бес

конечной

малой,

то

отсюда сразу

вытекает,

что

число

А +

В есть предел переменной

у + z

(см. §

30):

пли

lim {у +

z) =

Л +

lim (/у + г) =

lim у +

lim z.

Теорема

доказана.

Т е о р е м а

Предел

произведения

постоянного

чис

ла

переменных

величин

равен

произведению

их

пре

делов.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ради

краткости докажем

тео

рему для двух переменных у и г.

Пусть

lim у =

и limz =

ß .

На

основании опреде

ления предела

(§

30)

у =

Л +

а,

z =

ß,

где а и ß — бесконечно малые величины. Отсюда

	г/г =	(Л + а) (ß +		ß) = АВ + Лß +			ßa-f- aß.
Каждое из слагаемых Лß) Sa,					aß	есть	величина			беско
нечно	малая		(§ 29, свойство 2), а			потому		и	сумма		их
есть величина			бесконечно малая		(§ 29, свойство					^ . П р о
изведение AB			есть число.
Следовательно,					AB
или			lim (г/г) =
			lim (yz)	= lim у	• lim z.

Т е о р е м а			3. Предел	частного		двух	переменных				ве
личин	равен		частному	пределов	делимого			и	делителя
если предел		делителя не		равен	нулю.
Пусть у			и z — две	переменные и			пусть		lim у =		Л,
lim г =	В, причем В Ф 0.

Теорема утверждает, что при выполнении этих усло вий, во-первых, существует предел частного ~ и, во-

108

вторых, предел частного равен частному пределов пере менных у и z. Доказательство первого утверждения до вольно сложно и поэтому мы его опускаем.

Исходя из предположения, что предел частного су ществует, второе утверждение можно доказать следую щим образом:

Положим — = ѵ, откуда y = z-v. Так как пределы lim 2 и lim V существуют, то, по теореме 2,

lim(2 • t>) = limz • limy

и, следовательно,

lim у = limz • lim ѵ,

т. е.

А = В • lim о.

Так как В Ф 0, то можем разделить обе части по следнего равенства на В; получаем

іітѵ	= 4
или	а
или
,. V	lim il
г	lim г
что и требовалось доказать.

Приведем, наконец, еще одну, совершенно очевид ную, теорему о пределах, доказательство которой мы

опускаем.
Т е о р е м а 4. Если переменные				и, у,	ѵ в	процессе
изменения	удовлетворяют		неравенствам		и<.у	<ѵ	и
переменные	и и	ѵ имеют общий		предел	L , то у стре
мится к тому же		пределу	L .

Рассмотрим ряд примеров на применение теорем о пределах.

П Р И М Е Р

Найти

lim

х 2

Р е ш е н и е .

Так как

(теоремы

1 и

lim

{х2 +

7) =

lim X2

lim 7 =

( lim х)2 +

7 =

l 2

+ 7 =

8 Ф

х - И

* - >l

x-> 1

то, применяя

теоремы

1, 2

и 3,

находим:

•

„

. -

lim

(х2

— 2х

б)

lim х2

—

lim

(2х)

lim

— 2х + 5

*->і

*->1

у->1

Ä ™

л 2 +

lim (х 2

х-*і

(lim

х)2—

lim 2 - lim .v -fr 5

l 2 -

2 • 1

2 '

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 4411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ