книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

65. s = sin V1 - t2.

Отв. s' = — -

cos Vi — t2.

68.

// =

— | - c t g 5 j

+ dg3j

— 3 c t g - | - - x .

Ors. r/' = c t g 6 - | .

69.

у = У \ +

t g ( x

+

Ore. r/'

2 x 2 c o s 2 ( x + l )

j /

" l + t g ( . v + i - )

70.

f{u)

= sm2u.

Найти

f

^

j .

Отв. I .

7 1 -

' «

= Т + ^ І Т -

Н

а Й

™

Г

(т);

Г (0).

Ore. 2; 0.

72. Под какими

углами

пересекает ось Ох касательные к сину­

соиде в точках с абсциссами

х = 0, х =

я? В каких точках на от­

резке — п ^ х < + я

касательная к синусоиде параллельна оси Ох?

я

Зя

я

я

Отв. -^;

g-;

+ " 2 -

К §§ 55 - 57 .

Найти

производные

следующих

функций:

83.

у —

'Уг\ +

In2

X.

Отв.

=

— - 7 = = = -

J

хУ

1 +

In 2

к

84.

у =

X In л.

Ore.

tf =

In л; +

1.

8 5 . „

e

l

n

O

r

e

.

У' =

- ^ -

J

a — X

a' — X

A (x — 1)

86.

j /

=

In (2x2 -

4л- + 3).

Ore.

//' =

2

t

* L . 4 ; c

+

3 '

87.

y = I n / x 2

+

4x +

3.

Ore.

у' =

л

,

2 ^

|

Д

3 .

К § 58.

Найти производные

следующих

функций:

•

x

п

,

1

115.

</ = arcsin—.

Ore. у

=

,

.2

а

F а 2

— х:

А

2х

'

^

116.

у =

arctg - t

_

^ .

Ore.

г/ =

1

+ х

г

117.

у =

a r c t g / F + 2 x .

Ore. y' =

^

+

1

) f

^

+

^

•

,

1

118.

r, =

arcctg y

_

— -

•

Ore. y

-

у ^ Г ^

'

x2

_ а 2

,

2а

119.

y =

arccos-; e 2 +

a

2 - .

Отв. y

—

хг

+

a t

•

_

_ .

Ore.

y -

2 L

^

T

7

2

'

e* -

e~x

121.

y =

arctg

2

.

Ore. y = —

+

e

— .

ex

л

— e - *

Отв. y =

2

122.

y =

arccos—

— .

;

- .

e

+

e

e

+ e

*

іА^

5

•

о

/•

x arcsin x

123.

y—V 1 - х 2

arcsin x — x.

Отв. y =

,

—.

У 1 — x 2

124.

y =

x / а 2

— x 2 + a2

arcsin

Ore. y" =

2 / а 2

— x 2 .

125. y =

x arcsinK l — x 2

— У 1 — x2 .

Ore. y' =

arcsinVl

— x-

183

§

59. Ход изменения

функции. Как

было установлено

в §

35, геометрическим

изображением

функции являет­

график

некоторой функции

y = f(x),

заданной на

от­

резке

[а, Ь]. Показанная на

чертеже

кривая дает

на­

У

1

Ъ

/*'

/

О

а

с ,

V

сг

1

J?

V

1

Сч b

/4

Рис.

54.

Мы видим,

что

при

возрастании х от а до b кривая

на отдельных

участках

поднимается,

на других — опус­

Так, рис.

54

наглядно

показывает,

что в

промежутках

{a, Ci),

(с2,

с

3 ),

(с4 , Ь)

функция возрастает, а в проме­

жутках

(Ci, сг),

(сз, Ci)

убывает. В

точках

Мі и М3 кри-

функция

y

= f{x)

имеет наибольшие значения

по срав­

нению с ее

значениями в соседних точках отрезка [а,Ь];

при

тех

значениях аргумента, где график опускается

наиболее

низко

(х = с2 и

х = с4 на рис. 54),

функция

y==f(x)

имеет наименьшие значения по сравнению с ее

значениями

в соседних точках.

Возрастание и убывание функции, наибольшие и наи­

меньшие

значения, достигаемые функцией во внутрен­

них

точках

того

отрезка,

где она определена,

состав­

задача решается

при помощи понятия

производной.

§ 60. Возрастание и убывание функции в промежутке.

О п р е д е л е н и е .

Если

в промежутке

изменения

аргу­

мента X от а до

b(a<.b)

значения функции y —

f(x)

возрастают

с

возрастанием

х,

то

функция

называется

возрастающей

в этом промежутке.

Аналогично, если в промежутке от а до b значения

функции y =

f(x)

с возрастанием аргумента

лмубывают,

то функция

называется

убывающей

в этом

промежутке.

Из определения следует,

что

график

функции,

в о з ­

р а с т а ю щ е й

в промежутке

(а, Ь),

изобразится кривой,

(рис. 55).

График

функции, у б ы в а ю щ е й в промежутке

(а, Ь), представляет собой

кривую,

опускающуюся в на­

правлении

возрастающих

абсцисс

(рис. 56)*).

Т е о р е м а ( д о с т а т о ч н ы й п р и з н а к

в о з р а с ­

т а н и я ф у н к ц и и ) .

Если

производная

данной

функ­

ции

положительна

для всех

значений

х

в

промежутке

(а,Ь),

то функция

в

этом промежутке

возрастает^

t 1

/ \

/

/

1

1

)

1

!

1

1

1

1

1

1

1

I

1

t

—

1

t

О а

' О . а

. b

1

>х

Рис. 55.

Рис.

56.

положительном знаке

производной

касательная,

обра­

зуя о с т р ы е

углы

с

осью

Ох,

остается

в промежутке

(а, Ь)

наклоненной

кверху,

а с

нею

идет

вверх

и сама

кривая

(рис.

57).

Т е о р е м а

( д о с т а т о ч н ы й

п р и з н а к

у б ы в а ­

н и я

ф у н к ц и и).

Если

производная

данной

функции

отрицательна

для

всех

значений

х

в

промежутке

(а,Ь),

то функция

в этом промежутке

убывает.

В самом деле, при отрицательном

знаке

производной

в

промежутке

(а, Ь)

касательная

к

графику

функции,

образуя

т у п ы е

углы

с

осью

Ох,

остается

наклоненной

вниз,

а

вместе

с

нею

идет

вниз

и

у

сама

кривая

(рис.

58).

і

П Р И М Е Р .

Определить

промежутки

возрастания

и убывания функции

/

\

/

у =

х*-Зх*

+

5.

•

I

\

I

Р е ш е н и е .

Находим

производную дан-

/

\

/

ной

функции

у'

=

З * 2

-

6*.

Теперь надо определить, при каких зна­

чениях аргумента х производная положи­

тельна

и

при

каких

отрицательна.

Для

этого

разложим

двучлен

ЗА 2

— 6*

на

мно­

жители:

уг

=

Зх(х-2).

Рис.

59.

Теперь легко усмотреть, что произведение

ЗА (je — 2)

при

всех

значениях

х < 0 положительно, так

как

при этом

х и разность

х— 2

стает,

в промежутке

от

0 до

2 убывает и в промежутке от 2 до

-{-со

возрастает. На

рис.

59

показан график данной функции.

межутков возрастания и убывания функции мы

решили

в предыдущем параграфе. Переходим теперь к

вопросу

функция f(x)

достигает наибольших

и наименьших

зна­

чений сравнительно

со значениями

ее

в ближайших

точ­

ках (см. §

59).

Функция f(x)

имеет

в точке

х=с

О п р е д е л е н и е .

максимум

(или минимум),

если

эту

точку

можно

окру-

окить такой

окрестностью,

что

для

всех

значений

х в

•) По-латыни maximum и minimum

означают,соответственно,

«наибольшее»

и

«наименьшее»,

этой

окрестности. выполняется

неравенство

f(x)<.f(c)'

(или,

соответственно,

f(x)

>

f(c)).

Рис. 54 дает наглядную иллюстрацию к этому опре­

делению. Ясно, что, например, в точке С\ функция,

гра­

фик

которой изображен на рисунке, имеет максимум:

для

всех значении х Ф си

содержащихся в

промежутке

(а,с2),

выполняется

неравенство f(c\)>f(x).

В

точке

мая функция достигает наибольшего значения не

в точ­

ке максимума, а при х =

Ь, т. е. в конце отрезка

[а,Ь].

Мало того, в точке

х =

с* функция имеет минимум, и

в то же время значение

/(с4 )

функции в

этой

точке

больше значения f(ci)

функции

в точке С\,

где функция

называют относительным максимумом и

относительным

минимумом; в точках

максимума

и минимума

функция

имеет наибольшее

и

наименьшее значения л и ш ь по

с р а в н е н и ю с с о с е д н и м и ее

з н а ч е н и я м и .

Поэтому, когда

в

задаче требуется

найти

наиболь­

резке

[а, Ь], то к

значениям функции в точках, где

она

имеет

максимумы

(минимумы),

надо

добавить ее

зна­

чения

на концах

отрезка и из

всех

этих значений

вы­

виде следующей теоремы (оставляя ее

без строгого

до­

казательства).

Т е о р е м а . Если

функция

f(x), непрерывная

на

от­

резке

[а, Ь], имеет

на

концах

отрезка

значения

разных

знаков,

то внутри

этого отрезка найдется хотя

бы

одно

*)

По-латыни extremum означает

«крайнее»,

значение

аргумента

х — х\, при котором функция обра­

щается

в нуль (f(x\)

= 0).

Предположим,

что

про­

изводная

f'(x)

ни

при

каком

Рис. 60.

значении

х

в

промежутке

что

указанной

теоремы,

хотя

бы

при одном

значении

X =

х0 между

хі и х2 обратиться

в

нуль. Но

этого

быть

не

может, так

как

х0

лежит внутри промежутка

(а,

Ь),

а мы предположили, что производная

не обращается

в

нуль во всем промежутке

(а, Ь).

Если

производная

f'(x)

сохраняет неизменный знак в промежутке

- (а, Ь),

то

функция

y = f(x)

в

этом

промежутке либо

все

время

возрастает, либо все время убывает

(см. §

60),

а по­

тому экстремума не имеет.

f(x)

Следовательно, если функция

имеет

экстремумы

в промежутке

(а,Ь),

то только

в таких точках,

где про­

изводная f'{x)

обращается

в нуль.

Предположим теперь,

что f'(x)

обращается

в нуль

в

промежутке

(а, Ь),

но при

этом

лишь

в конечном

числе

точек, например в точках

с\ <

с2

<

с3

. . , <

Сь. Тогда

в

каждом

из

промежутков

(a,Ci),

(сис2),

(ch, b) про­

изводная

f'{x),

по

доказанному,

сохраняет

неизменный

знак. Возьмем какую-нибудь из точек

С\, с2,

Ck, на­

пример Ci.

f(x)

[а, Ь],

Так как

функция

непрерывна

на отрезке

то

в точке

Ci она имеет

определенное

значение, именно