книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

X2 =

—

2ру.

П Р И М Е Р .

Камень,

брошенный

под острым углом

к горизонту,

описал дугу параболы и

упал

на расстоянии

20 м

от начального

положения. Наибольшая

высо­

та, достигнутая

камнем,

равна

-л

10 м. Определить параметр па-

раболической траектории.

Р е ш е н и е .

Расположив

оси координат так, как пока­

зано на рис. 35, заключаем, что

параболическая

траектория вы­

разится уравнением

X2 — — 2ру.

Точка В падения камня на

Рис.

35.

землю

имеет

координаты

(10, —10). Так как эта точка

лежит на

параболе,

то коорди­

нию.

Таким образом, получим

100 = —2р-(—10),

откуда

находим:

Р =

Ъ.

у = ах2 +

Ъх +

с. 1. Предположим теперь, что

§ 24.

Парабола

вершина параболы находится в какой-нибудь

точке 0 ' ( а ; ß)

и ее

ось симметрии параллельна осп Oy

(рис. 36).

Построим

вспомога­

тельную

систему координат х'О'у',

взяв начало координат в вер­

шине параболы и установив направления на новых

осях

такие

же,

как

и на

осях Ох

и Oy. Тогда

ось

О'у' совпадет с

осью

симметрии

относительно новой системы координат будет

иметь

вид

х'г

=

2p,f.

Наша задача состоит в том, чтобы выразить это уравнение от­

носительно

основной

системы

координат

хОу.

Из

рис. 36

имеем:

х' —

х — а,

y'

— y—ß.

Подставляя эти

значения текущих

коорди­

нат

{х'\ у')

в

написанное выше уравнение, получим

(х-а)*

=

2р(у-Ѵ.

(18)

жена

в точке

(а;

ß)

и осью

которой служит

прямая, параллельная

оси

Oy.

Если парабола обращена ветвями в сторону отрицательного на­

правления осп

Oy,

то,

очевидно,

ее

уравнение

будет

иметь

вид

( * - a ) * =

- 2 p ( 0 - ß ) .

(18*)

2. Покажем теперь, что

кривая,

выражающаяся

уравнением

у =

ах2

+

Ьх +

с,

(19)

есть парабола. Для этого приведем уравнение

(19)

к

виду

(18).

Разделим

обе

части уравнения

(19)

на

а и

перенесем налево

свободный член; получим

—

= X2 Ч

X.

пня по

будем иметь:

f 4а 2

^

= х 2 +

— х + 4а2

Аас -

Ъ2

'

4а

ß

=

4а

2р =

(20)

Рис.

36.

получаем

уравнение вида (18) или

(18*): ±2р(у—ß)

=

(* — а ) 2 .

Рассмотрим

теперь параболу, координаты

(а; ß)

вершины

кото­

рой

и параметр

р определены формулами (20). Как

мы уже знаем,

уравнение такой параболы будет одним из следующих:

( * - a ) 2 = ± 2 p ( y - ß ) .

Эти

уравнения

в точности совпадают с теми,

к которым

мы

при­

вели

уравнение

(19). Следовательно, уравнение (19)

действительно

выражает

параболу,

ось симметрии

которой

параллельна

оси

Oy.

П Р И М Е Р

1.

Построить параболу у = х2

— Ах — 5.

Р е ш е н и е .

Найдем координаты вершины параболы; для этого,

прибавив

к обеим частям уравнения

по 9, приведем уравнение к

виду,

у + 9 =

(х-2)\

Следовательно,

вершина

параболы

(рис.

37)

лежит

в

точке

(2; —9).

Для

построения параболы

найдем

точки

ее

пересечения

с осями координат. Положив х =

0, найдем

у — —5.

Следовательно,

кривая пересекает ось Oy в точке (0; —5). Положив

у =

0 и

решая

квадратное уравнение

X2 -

Ах - 5

=

0,

определим точки пересечения параболы с осью Ох:

(5;

0),

(—1;

0).

Для более аккуратного вычерчивания кривой

найдем еще

несколько

ее

точек.

Положим,

например,

X =

1,

тогда

у

=

—8;

положим

X =

4, тогда

у =

—5

положим

х=

—2,

тогда

у

=

7 и т. д. По­

строив эти точки и соединив их

плавной

линией,

получим

график,

изображенный

на

рис. 37.

З а м е ч а н и е .

Для

определе­

ния

координат

вершины

параболы

можно

было

бы

воспользоваться

уже

готовыми

выведенными

выше

формулами,

однако

лучше

поль­

зоваться

методом,

приведенным

в

настоящем примере.

П Р И М Е Р

2.

Найти

уравне­

ние

параболы,

проходящей

через

точки

(1;

1);

(2;

3);

(0;

0),

если

известно,

что

осью симметрии

ее

7-101

является

прямая,

параллельная

оси

Oy.

Р е ш е н и е .

Берем

уравнение

параболы

в виде

у =

ах2 +

Ъх +

с.

Координаты

данных

точек

должны

удовлетворять

уравнению

параболы.

Подставляя

их

вместо

текущих

координат,

приходим

к

системе

уравнений

1 =

а +

b +

с,

3 =

4а +

2& +

с,

0 = с,

1

f.

1

Л

Следовательно, искомое уравнение

будет: 2у = х2 -fx.

Возьмем

прямой круговой

конус. Пусть

5 — его вер­

шина

и ABCD—

окружность,

служащая направляющей

поверхности

конуса (рис. 38).

Образующие

конуса

продол­

жим

неограниченно

в

обе •

стороны

от

вершины;

тогда

коническая

поверхность

бу­

дет состоять из двух частей,

называемых

полостями:

по­

лость

SABCD

и

полость

SA'B'C'D'.

Возьмем

на

ко­

нической

поверхности

произ­

вольную точку M и прове­

дем через нее и ось конуса

осевое сечение MSCA.

Через

ту же

точку

M перпендику­

лярно

к

осевому

сечению

проведем плоскость F и бу­

дем вращать ее около точки

M так, чтобы она оставалась

перпендикулярной к

осевому

сечению. При положении

Fi

этой

плоскости,

при

котором

она

перпендикулярна

к

оси

конуса, в сечении ее с ко-'

нической

поверхностью

по­

лучается,

как

известно,

о к р у ж н о с т ь .

При

любом

другом

положении

плоско­

Рис.

38.

сти

F, при

котором

мень­

нической

поверхностью п а р а б о л а с вершиной

в

точ­

ке М. При дальнейшем вращении плоскость F будет

образовывать

с осью

конуса

угол

меньший

у

и

пересе­

чет

при

этом

обе

полости

конического

сечения.

На

рис. 38 изображено одно из таких положений

Ft,

при

котором плоскость F образует с осью конуса угол, рав­

ный

0°, т. е. при котором она параллельна

оси

конуса.

В сечении плоскости F с конической поверхностью по­

лучается при этом положении г и п е р б о л а ,

одна ветвь

MBD

которой

располагается

на полости SABCD,

и

дру­

гая

M'B'D'

— на полости SA'B'C'D'.

Вершинами

гипер­

болы яляются

точки

M и М'.

Доказательства

всех

этих

У П Р А Ж Н Е Н ИЯ

Г е о м е т р и ч е с к и е

м е с т а

1. Найти

уравнение

геометрического

места

точек,

каждая

из

которых удалена от оси

Ох на расстояние в 5

раз большее,

чем

от оси Oy.

Отв. у =

± 5 * , X =0 0.

2. Найти

уравнение

геометрического

места

точек,

каждая

из

Отв. у =

2х +

3, X ^

0.

3. Найти уравнение геометрического места точек, равноудален­

ных от точек (2; —3) и (3; 2).

Отв. X +

5у =

0.

4. Точка движения по плоскости таким образом, что ее рас­

стояние от оси Oy

остается все время равным расстоянию от точки

(5; 0). Найти уравнение кривой, описываемой точкой.

Отв. у2—

10* +

25 =

0.

5. Точка

движется

по плоскости таким образом, что квадрат

Отв. . ѵ 2 +

(</ — З ) 2 =

± * 3 .

в. Найти

уравнение

геометрического

места

точек,

расстояние

каждой из

которых от

прямой х = 3 равно расстоянию от точки

(4; - 2 ) .

Отв. у 2

+

4гу — 2х+

11 = 0.

7. Найти

уравнение

геометрического

места

точек,

обладающих

И >

I ) -

Ьу2 + 8х — 6у — 15 =

Ors. 5х2

+

0.

И . Найти

точки пересечения оси Ох с окружностью,

диамет-.

ром которой

служит _отрезок, соединяющий точки

( l j 2) и

(—3;—4).

0 г а . (— 1 ± 2 УЗ

; О).

12. Найти

уравнение окружности, диаметром которой является

отрезок

прямой

Зх — 4 у + 1 2 . = _ 0 ,

содержащийся

между

осями ко­

ординат.

Отв. х2 + у2

+ іх — 3у = 0.

13. Найти

уравнение

окружности, диаметром

которой

является

общая хорда

окружностей

_

х2

+ у2

+ іх — *у — 2 = 0, х2

+ у1 — 2х + 2у — 14 = 0.

Отв. X2 +

у2

+ 2х — 2у — 6 =

0.

а,

оси Oy

14. Найти

уравнение

окружности радиуса

касающейся

в начале координат.

Отв. X2 +

у2 ± 2ах =

0.

15. Найти центр и радиус окружности

X2

+ у2 + 2х + 16# — 42 =

0.

Ore. ( - 1 ; - 8 ) ; УШ,

16.

Найти центр и радиус окружности

2х2

+ 2у2 + Ъх — Зу — 10 =

0.

Ч

-

М

Н

^

-

17. Найти

уравнение

прямой,

проходящей

через центр

окруж­

ности

х2 + у2

— 4х +

2(/ — 5 . = 0 ' и

перпендикулярной

к

прямой

X — 2у -f* 1

= 0 .

Ore. 2х + у — 3 =

0.

18. Найти уравнение окружности, проходящей через точки (0; 2),

(2; 0) и (0; 0),

Ога. X2 + у2

— 2х — 2у = 0.

19. Найти уравнение окружности, описанной около треугольника,

вершинами которого

являются точки {Oj 1), (—2; 0) и (0; —1).

Ors, 2xlj-2y2

+ 3x-*. 2_= 0.

20.

Найти

уравнение окружности, описанной около равнобед­

ренного

треугольника,

высота

которого равна 5 единицам длины

и

основанием

которого служит отрезок, заключенный между точ­

ками (—4; 0), (4; 0).

Отв. Ьх2

+

by2

±

9у — 80 =

0.

21. Найти уравнение окружности, описанной около треугольника,

сторонами которого

являются

прямые х + 2у — 3 =

0, Зд; — у — 2

=

=

0, 2х — Зу — 6 =

0.

Отв. 7х2

+

7tf

— 19* +

П(/ — 6 =

0.

22.

Найти

уравнение

окружности,

касающейся

осей

координат

и проходящей через точку (4; —2).

Отв. х2 + у2 — 4х +

4у +

4 =

0;

X2

+

у2

— 20.Ï +

20у

+

100 =

0.

23. Центр окружности, касающейся осей координат, лежит на

прямой

Зх — Ъу +

15 =

0. Найти

уравнение

окружности.

Отв. 4х2

+

4у2

— 60* — 60t/Ч- 225 =

0;

64Л:2 +

64у2

+ 240л: — 240г/ +

225

=

0.

24. Окружность, радиус которой равен 5 единицам длины, про­

ходит через

точки

(4; —2)

и

(5;

—3). Найти уравнение

этой

окруж­

ности.

Отв. X2

+

у2 — 2х +

\2у

+

12 =

0;

х2 + у2—

16* — 2у +

40 =

0.

25.

Центр

окружности,

которая

проходит

через

точки

(—2;

4)

и (—1; 3), лежит

на

прямой

2.« — 3(/ +

2 =

0.

Найти

уравнение этой

окружности.

Отв. X2

+

у2

+ 26.x +

16(/ — 32

=

0.

26.

Окружность

касается

оси

Ох

и

проходит

через

точки

(—1; 2) и (6; 9). Найти ее уравнение.

Отв. х2 + у2

— б* — Юу +

9 =

0;

л:2

+

у2

+

18Л- — 34у +

8 1 = 0 .

27.

Найти

уравнение

окружности,

проходящей

через

точку

(—3; 4) и концентричной окружности х2

+

у2-{-Зх—

4у—1=0.

Отв. X2

+

у2 + Зх — 4у =

0.

х — 2 =

28.

Окружность

касается

прямых

0 и лг =

6;

центр

ее

лежит на прямой

Зх — у — 6 =

0. Найти уравнение этой окружности.

Отв. X2

+

у2

— 8* — \2у

+

48 =

0.

величина постоянная, равная к, за исключением случая k =

1, пред­

ставляет собой

окружность.

31. Показать,

что геометрическое место точек, сумма

квадра­

тов

расстояний

каждой из которых от сторон данного

квадрата

есть

величина

постоянная, является окружностью при условии, что

эта

постоянная

больше второй степени стороны данного

квадрата.

32. Показать, что геометрическое место точек, квадрат расстоя­

ния каждой из которых от данной точки пропорционален

расстоя­

нию ее от данной

прямой, есть окружность,

35.

Найти

5

осей, эксцентриситет и

координаты фокусов

длины

эллипса

За-2 +

4у2

=

2.

О г а . - | і Л > ;

/ 2 - , - і - ;

(±^Vb;

о).

36.

Найти

координаты

вершин

и фокусов

и эксцентриситет эл­

липса 4х2 + 2у2

=

1.

Отв.(±±;

0 ) ;

( 0 ; ± 1 Г 2 - ) ;

( 0

; ± 1 ) ; Л / 2 .

X2

у2'

37. Определить, при каких значениях

а и b эллипс "^2""^""^F= *

проходит

через точки

(2;

3), ( — 1; —4).

Ors.

у / 3 8 5 ;

у Ѵ Т б 5 .

38. Найти

уравнение эллипса, две вершины которого имеют

координаты

( ± 4 ; 0),

а один

из фокусов — координаты

(2;

0).

Ors. Зх2

+

4if

=

48.

О);

39. Две

вершины

эллипса

имеют координаты ( ± 6 ;

коорди­

наты фокусов

суть

( ± 4 ;

0). Найти

уравнение

эллипса.

Ors.

5х2

+

9у2

=

180.

40. Найти уравнение эллипса, фокусы которого имеют коорди­

наты ( ± 4 ; 0),

а длина большой оси равна 10.

Ors.

9х2

+

25у2

=

225.

41. Найти уравнение эллипса, координаты фокусов которого суть

(0; db3)

и длина большой

оси равна

12.

Ога. 4х2

+

З г / 2 . =

108.

42. Найти

уравнение

эллипса,

у которого длина малой оси-

равна 6 и один из фокусов имеет

координаты

(—4; 0).

Ors.

9*2

+

25у2

=

225.

43. Найти

уравнение эллипса, если известно, что он проходит

через точки

Мі(6;

4)

и М2{—8;

3).

X2

и2

° - - - î ô ï ï + l 5 - = 1 -

44. Найти

уравнение эллипса, если известно, что он проходит

через точки

ЛГ, [Vu;

— ~ j

и Мг

( -

з / з ~ ;

2).

эксцентриситет

эллипса равен

Найти уравнение эллипса.

Отв. Зх2 +

4у2 = 27.

Найти

уравнение

эллипса.

Ore. 8л-2 +

V

=

162.

47.

Найти

уравнение эллипса, у которого фокусы имеют коор-

2

дннаты

(0; ± 5 )

и эксцентриситет равен - ^ .

Отв. 36х" +

20iß =

1125.

X2

и1

51.

Найти

точки

пересечения эллипса

- ^ г + - 7 7 7 =

1 с прямыми

а) у =

4х\

б)

X = 6;

в) 2х — у — 9 = 0;

г)

х — у +

8 =

0.

Отв. a)

( ± A j

±Щ;

б) (6; 0);

в)

(3; - 3),

г) не

Отв. - J У~29; ( ± 1^29; О); Ъх±2у

= 0.

Отв. ~УІЗ;

( ±

УТЗ;

о);

2х

± Ъу =

0.

55.

Найти

эксцентриситет, координаты фокусов и уравнения

асимптот

гиперболы

16

9

к

Отв. — ;

(0; ±

5);

Ах ± 3 ^ =

0.

56. Найти уравнение гиперболы, у которой фокусы имеют коор­

динаты

( ± 4 ;

0) и действительная ось равна 6.

Отв. 7х2 — 9у2

=

63.

57.

Найти

уравнение

гиперболы,

асимптотами которой

являются

3

прямые

у=±

—

х

и

фокусы

которой имеют

координаты

( ± 2 ;

0).

Отв. 153л;2 —425(/2

=

450.

58.

Найти

уравнение

гиперболы,

имеющей

асимптотами

прямые

3

У =

±

X и проходящей

через точку

(2;

1).

Отв. 9х2~\6у2

=

20.

59. Найти уравнение равносторонней гиперболы, проходящей че­

рез точку (3; —1).

Отв. х2 — у2 =

8.

60.

Найти

уравнение

гиперболы, если известно, что она прохо­

дит

через точки ^5;

и

^У"34;

—

X2

Отв. —

у2

=

1.

Уг

X s

61. Найти точки пересечения гиперболы-g

рг

=

1 с прямыми:

а ) 2 х + 34Г =

0;

б)

4дг — З г / =

0;

в) 20х +

2\у

+ 12 =

0;

т) 2х — у — 3 =

0.

Отв.

а)

(^±2ѴЬ~;

гр

б)

не

пересекается

(прямая

является

асимптотой

гиперболы);

в)

^5;

іг)'

(

Т " '

^ ) ' г ^

н е

пересекается.

62.

Найти

точки

пересечения

равнобочной

гиперболы х2

— у2

=

. =

16 с окружностью

X2 +

у2 =

34.

Ors.

(5; 3); ( - 5 ;

3);

( - 5 ;

- 3 ) ;

(5;

- 3 ) .