книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

П Р И М Е Р

2. Найти

производную

функции

2

у

Р е ш е н и е . По формуле (V*)

находим

X. 1 *

8х3

8

хь

~

Xs

П Р И М Е Р

3. Найти

производную

функции

; / = — — f ~ '

Р е ш е н и е .

По формулам ( I V ) ,

( I I I ) и

(IX) получаем

Обозначим

sin*

буквой и. Тогда

у = lg и,

где

и — sin *. Мы

ввели

вспомогательную

переменную

и

и

представили зависимость у от * как зависимость у

от

и,

а и от *.

от функции

и.

Если в

соотношении y

= f{u) заменим и через <р(*),

то получим

зависимость

У =

f [Ф (*)!•

мент ж, в то

время как

в функции г/ =

(1 + * 2 ) 2

основа­

нием

служит

функция

1 4-• X2 аргумента

х, т. е. функция

у — (1

-{-X2)2

является

степенью функции. Таким

обра­

правилу нахождения

производной (§ 41), или дать

новое

правило — правило

дифференцирования

сложной

функ­

ции. Целью настоящего параграфа и является

вывод

такого специального

правила

дифференцирования

слож­

ной функции.

Пусть дана функция

y = f (и),

где

и = <р (х).

Будем предполагать,

что

функция

и = ср(х)

имеет

производную при данном значении х, а функция

f(u)

имеет производную

/'(и)

при

значении

и, соответствую­

имеет

производную

по переменному

х

и производную

эту

обозначают

так:

и'х;

аналогично,

f

(и)

есть произ­

водная

функции у

по переменному

и, т. е. /'(«) =

у'и.

Для

вывода

искомой

формулы

будем

следовать об ­

щ е м у

правилу

дифференцирования.

1) Придадим данному значению х приращение Ах;

тогда

функция

и =

ір(х)

получит

приращение

Au, кото­

рое,

в

свою

очередь,

вызовет приращение

Ау

функции

y =

f(u).

Следовательно,

результат

первой

операции

представится в следующем

виде

и + Д н =

ф (х +

Ах),

у +

Ay =

f(u

+

Au).

2) Определяем

приращения Au и Ау:

_ и +

Au — ф {х +

Ах)

_у

+ Ay =

f(u

+

Au)

и

=

Ф (х)

у

=f(u)

Дм =

ф (х +

Ах)

— Ф (х)

Ау

=/(и+А«)—•/(«).

3) Для получения производной у'х нам надо найти

предел

отношения

при Ах - »0 . Но приращение Ау

выражается

не

непосредственно

через

приращение Ад;,

Ау

_

/ (и + Ди) - {(и)

&х

Ах

6 Н, П, Тарасов

161

Ау

f (к + Ли) — I (и) #

&м_ __

^ _Дм_

,«\

Д.ѵ

Д «

Д.ѵ-

Au ' Ах '

^ '

4) Пусть теперь Ах стремится к нулю.

Так

как,

по

условию,

функция

и имеет

производную

и'х в данной

точке х, то

и

есть

функция,

непрерывная

при данном значении х (§

43),

а

потому

Аы->0,

когда

А.ѵ-*0. Далее,

в условии оговорено, что функция

у = f(u)

имеет

производную

y'u =

f'(u)

при значении и,

ствует

lim

4^- =

у и •

Применяя теорему

о пределе

про-

Дц->0

û w

изведения, получаем

і.

( Ay

Aii\

,.

Ay

..

An

,.

Ан ,

, f

т.

е.

Ух =

у'и-и'х.

(VI)

Итак,

если

y = f(u),

где u —

q>(x), то

производная

от

у по

переменному

х

равна

производной

от

у

по

переменному

и,

умноженной

на

производную

от

и

по

переменному

х

*).

Заменяя

у'а

через f

{и)

и и'х через ф'(л:), формулу (VI)

молено

записать

так:

Ух =

Г (и)

• ф' (X).

*)

З а м е ч а н и е .

Следует заметить, что при выводе

формулы

(VI)

мы

не

учитывали возможности

обращения

в

нуль

прираще­

ния

Дм

функции и — q(x)

(при Дх-»-0). Когда ищется предел-^—

при &Х-+0,

то

Ах

является

независимым

переменным,

и поэтому

мы

вправе

исключить

возможность

обращения

в

нуль приращения

Ах

(см.

§

30).

Приращение

же

Да,

являясь

приращением

функция

и =

(р(х),

при

Ах-+0

может

принимать

и

значения,

равные

нулю.

При

значениях

Au — 0

правая

часть

тождества

(2)

теряет

смысл.

Поэтому

случай, когда

Au

при Ах-*-0

принимает

значения,

равные

нулю, требует

особого

рассмотрения.

Формула

(VI)

остается

спра­

П Р И М Е Р 1. j / = Y а 2

— х2.

^

Р е ш е н и е .

Дана

сложная

функция

у = Y и,

и =

а? —

х2.

Применяя формулу (VI) , получаем

у*~~

2ѴИ

х

2Ѵ<*-х*

1

(-2Л;)

2Ѵа2-х2

-Ѵа2-х2

'

Приведенная здесь форма записи процесса дифферен­

цирования

весьма громоздка.

Покажем на том же примере образец

более простой

записи.

у =

Y а2 — х2.

Пусть дана

функция

Сразу видно, что

это — сложная

функция

от х. Заменяем

«в

у м е »

под­

коренное выражение а2— х2 через и, дифференцируем

у

по

переменному и =

а2 — х2

и умножаем

на

производ­

ную от и

по

переменному х, т.е. на

( а 2 — х2 )'-.

у ' =

A J _ ^ - (а2

- X2)' = -

,

х

.

J

2 Y a 2 - x

2 K

'

Ya2-x2

примеру

это упрощение состоит

в том, что вместо

мно­

жителя

(а2 — X2)' ставят

сразу

результат дифференци­

рования

функции

и = а2

— X2;

тогда

выкладки

будут

выглядеть так:

2Ya2-x2

V

;

Y а2

-X2'

П Р И М Е Р 2. у = f

1 + Зх2.

Р е ш е н и е .

Q

а 2

+

* г

П Р И М Е Р 3. у =

,

. -

6 *

163

(n2 +

х*)'У а2

- л-2 - {У^Г^У

(fl2 +

**)

^

V =

а 2 - * 2

(по

формуле (V))

2 х / п 2

- л - 2 —

-

(— 2х) (а2

4-

хг)

2 К а 2

л-2

„ 2 _

2.Ï (а2 - л-2) 4- X (л2 + х2 )

За2х - х*

2

_

( а 2 - * 2 ) ' 2

( а 2 - * 2 ) 2

§ 52.

Предел

отношения

sin г

при

z->0. Знание

lim

sin Z

I .

z-»0

z

Для

нахождения

интересую­

щего нас предела нельзя вос­

пользоваться

теоремой

о

пределе

частного,

так

как

знаменатель

Рис. 52.

отношения стремится

к

нулю.

Значит,

для

решения

задачи

от 0 до

2 '

0 < Z <

2 '

Из рис.

52

имеем

площ.

Л

ОAB < площ. сект. ОAB < площ. Л OAD,

тельную величину sin z^sinz >

0,

так

как

0 < z < - | j ,

получим

ИЛИ

1

< sin г <

COS 2

1

-

sin Z

(»)

1 >

• >

COS Z .

Заметим

теперь, что при замене z на — z

< z < y j

имеем

sin (— z)

— sin z

sin z

— Z

— 2

Z

'

зом. Тогда lim 1 =

1 и lim cos z = 1.

г - »0

z-»0

,.

sinz

,

lim

——

= 1.

z-*0

Д ля

лучшего уяснения

полученного

результата изо-

1

I

Sin 2

бразпм

графически

кривые

у=1,

У = cos z wy — —^-~

(рис. 53).

Кривая,

которая

изображает

функцию

у~

Sin Z

1

Sin 2 .

= —— ,

согласно неравенствам I > — — > cos z, лежит

ниже прямой у = 1 и выше

кривой у =

cos z. Ординаты

этих линий ( / / = 1 и у — cos z)

при 2->0 имеют

пре­

делом

ординату у=

1. А так как кривая У~~^~

н е

может ни опуститься

ниже кривой у = cos 2, ни подняться

выше

прямом у=

I , то lim

также

равен

единице.

г-*0

z

Вот таблица,

показывающая

изменение

отношения

S i n

2

А

•

• при 2 —»я 0:

я

я

я

. . .

->0

т

36

~ш

sin

г

0,9798

0,9949

0,9987

0,9999

•

• •

-> 1

2

§

53. Производные

тригонометрических

функций.

1.

Производная

функции

u = s\nx. Применяя общее

правило дифференцирования

получаем:

=

г,

2.x + Ах

. Ах

=

2 COS

2

sin - g -

0

/

I

,

Ах\

. А х

— 2 cos

X

+ -g-J • sin

2cos

I

. Ах\

. Ах

s,r

Ах

sm —

д7 =

S

= cos(*+ - r ) . -

= cos ^х + 4р)

sin г

lim

д7 = /

=

lim c o s ( x + - = -

. — —

= C O S J : .

Итак,

(sin * ) ' = COS AT.

(X)

2. Производная

функции

cos*. Функцию cos* можно

представить в

виде: cos * =

sin

—

* j .

Дифференцируя

теперь

sin

— *)

как

сложную

функцию

от *,

получим

(cos * ) ' =

[cos ( у — xj j ( д —

=

— sin*,

так как

(т

)

( i

f

*

)

Итак,

c o s

— х

=

s i n x

11

—

-

= —

(XI)

(cos*)'=

sin*.

3. Производная

функции

tg* . Так как

t g * =

,

=>

cos X

то по формуле

(V) производной

от дроби получим

/ sin x у

cos x • cos x

- (— sin Л:) • sin x

_

cos2

x +

sin 2 *

1

Итак,

cos2

x

cos2 a: *

4. Производная

функции

ctg*. В силу того, что

,

COS X

sin X

C t g * =

sinx '

(ctg * ) ' =

COS X

(— sin .v) • sin -t — COS X COS X

sin2 X

sin2 X + COS2 X

1

Итак,

(ctg * ) ' = - •

(XIII)

у' =

cos Зх2 • (Зх2 )' =

=

(по формулам (X) и (VI)).

6х • cos Зх 2

У '

1

. . ( / Т ^ ? ) ' =

cos2 Г 1

§ 54. Модуль перехода от одной системы

логарифмов

к другой, Число е. Натуральные логарифмы.

Переход от

натуральных логарифмов

к

десятичным

и обратно.

1. Пусть нам известен логарифм р числа N при основа­

нии а (а > 0, а-ф 1) :

\ogaN

=

p,

тогда

р logé а = logb N.

N

Отсюда видим, что для нахождения логарифма

числа

при основании b по известному уже логарифму

числа

N,

вычисленному при основании а, достаточно р

умио-

жить

на

logo а. Множитель

logt, а

называют

модулем

перехода

от системы логарифмов по основанию

а к си­

стеме логарифмов по основанию Ь.

Покажем, что loga Ъ = } 1

д ' . В самом деле,

поло­

жим

logo b = I; тогда

a1 — b

и I \ogb

а — \ogb b =

1, от­

куда

и получаем

l°ga& а

b = l = -г—!—.

log/, а

(1 + а ) а

при а - > 0 . Существование этого предела дока­

зывается

в полных курсах математического

анализа.

В нашем элементарном

курсе мы ограничимся

краткими

соображениями, лишь

до известной степени

убеждаю­

а

z

а

z

ІО

1,2710

5

1,4310

2

1.7321

1

2,0000

4,0000

0,5

2,2500

- 0 , 5

0,1

2,5937

- 0, 1

2,8680

0,01

2,7048

- 0,0 1

2,7320

0,001

2,7169

-0,001

2,7195

Из

этой таблицы

видно, что значения функции

_і_

(1 + а ) а

при уменьшении абсолютной величины а

при­

ближаются к числу 2,71 .. . Более точный подсчет

пока­

зывает, что приближенно

і_

lim (1 + a)» =

2,718281828459045 . . .