Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

3. Весьма удобным вспомогательным средством при исследовании свойств функций является геометрическое изображение функций; геометрически изобразить функ цию можно следующим образом.

Пусть областью определения функции y =

f{x) слу

жит

отрезок [а, Ь]. Будем

рассматривать х и у как коор

динаты

точки

М(х;у)

на

плоскости

хОу.

Построив

М/х;у)

эту

точку

(рис.

43),

бу

дем

непрерывно

менять

X от значения а до зна

'—S

11 >flx)

чения

Ь,

заставляя

его

проходить

все

промежу

а:

точные

значения

между

а и Ь; отрезок хМ

начнет

Рис.

43.

при

этом

двигаться,

Эта

конец его M опишет не

которую

кривую,

кривая

называется

графиком

функции

f(x).

— f(x) может, в частности, ока

Графиком функции y

заться и прямая; так, из курса

аналитической

геомет

рии

нам

известно,

что

графиком

функции

у — kx -f- Ь

служит прямая.

В курсах алгебры и тригонометрии мы уже имели дело с построением графиков функций по точкам, и по

этому	соответствующих примеров здесь						не	приводится.
К вопросу построения графиков функций мы вер
немся	в главе V I , где		графики		будут	строиться			на	осно
ве исследования функций с помощью						дифференциального
исчисления.
4.	Функциональная		зависимость			между		н е с к о л ь
к и м и	переменными		(больше, чем			двумя)		определяет
ф у н к ц и ю н е с к о л ь к и х п е р е м е н н ы х .
Примером функции нескольких переменных может,
служить объем		кругового		конуса, зависящий					от	д в у х
а р г у м е н т о в		— радиуса		г	основания		конуса			и вы
соты	конуса /г:
			І/ =	~ я г 2 / г .

Для общего обозначения функции нескольких пере менных применяется тот же принцип, что и для функ ции одного переменного. Так, желая выразить, что объем .конуса есть функция радиуса основания г и

120

высоты h, можем		написать"
		V=f(r,	h).
5.	Задать функцию —это значит задать правило или
закон,	согласно	которому по данному		значению		аргу
мента	X определяется соответствующее			значение		функ
ции у. Определение п о н я т и я			ф у н к ц и и		не дает ни
каких	указаний	на с п о с о б ы	з а д а н и я		функции. Эти

способы могут быть самыми разнообразными. В мате


матическом анализе функция преимущественно					задается
п р и п о м о щ и		ф о р м у л ы . В курсе элементарной ал
гебры и геометрии			мы уже имели	много примеров		зада
ния функции		формулой. С такого же рода			заданием
функции	мы будем		иметь дело и в настоящем		курсе.
В естествознании и технике соответствие между						зна
чениями	аргумента		и функции	устанавливается		часто

при помощи опыта (наблюдения). Например, нагревая воду до кипения в закрытом сосуде под различным дав лением р, можно путем наблюдения определить соот


ветствующую		выбранному давлению температуру		Т ки
пения воды.		Так как значения температуры	Т зависят
от	величины	давления р, то, значит, Т есть	ф у н к ц и я
от	р. Но в данном случае соответствие между			значе

ниями	аргумента р и функции Т устанавливают					не фор
мулой,	а т а б л и ц е й		(см. таблицу), где сопоставлены
Давление		Темпе	Темпе	Давление	Темпе	Темпе
(Ю5 Н/ м 2 )		ратура	ратура	(І05Н/ М 2)	ратура	ратура
(Ю5 Н/ м 2 )		(в °С)	(в °К)	(І05Н/ М 2)	(в *С)	(в °К)
		(в °С)	(в °К)		(в *С)	(в °К)
1,013		100	373	15,539	200	473
1,975		120	393	39,750	250	523
3,616		140	413	85,902	300	573
6,179		160	433	165,332	350	623
полученные		из опыта	данные. Примеры		т а б л и ч н о г о
з а д а н и я		функций можно		найти в любом справочнике.

На основании табличных данных иногда оказывается возможным соответствие между аргументом и функцией

выразить	п р и б л и ж е н н о	формулой; такие	формулы
называют	эмпирическими	(т. е. опытными — получен
ными из опыта). .
" В настоящее время в естественных науках			и технике
широко развито применение самопишущих			приборов,

121

при помощи которых функция оказывается заданной графиком. Например, прибор, называемый барографом, вычерчивает график изменения атмосферного давления в течение суток; этот график дает изображение атмо сферного давления как функции времени.

Так как в настоящем курсе математического анализа нам не придется иметь дело с табличным и графическим способами задания функции, то мы не входим в по дробности относительно указанных способов задания функции.

6. Пусть переменные х и у связаны между										собой
уравнением
			Ах + Ву + С =					0.			(*)
Когда известно			значение			одной из переменных				х	или
у, то	значение другой				н е	м о ж е т		б ы т ь л ю б ы м ,			так
как значения		обеих		переменных должны у д о в л е т в о
р я т ь	у р а в н е н и ю			(*)		(т. е. обращать в нуль				его	ле
вую	часть).	Следовательно,					это	уравнение	выражает
ф у н к ц и о н а л ь н у ю					з а в и с и м о с т ь между				х	и	у.
Если одной из переменных, например х, мы припи
шем	роль а р г у м е н т а ,					то	другая	переменная у будет
являться ф у н к ц и е и					от	х.
Мы имеем здесь пример задания функции у при по
мощи	уравнения		(*),		не		р а з р е ш е н н о г о			относи

тельно у. Такой способ задания функции называется


неявным.		Функция,		заданная		таким	способом,	назы
вается	неявной		функцией.		Если уравнение (*)			р а з р е
ш и т ь относительно				у, то функция у станет				я в н о й ,
т. е. заданной			явным	образом:
Однако	не	всякое		н е я в н о е		задание	функции	может
быть сделано я в н ы м . Например, уравнение
			у + Зх — 4 sin у = 0
определяет		у	как функцию		от х. Однако это уравнение

не может быть разрешено относительно у и, значит, не явный способ задания функции у в данном случае не может быть сделан явным.

Неявное задание функции в общем виде может быть записано так;

F(x, у) = 0.

122

§ 36. Приращение аргумента и приращение функции.

Пусть задана некоторая функция y

f(x),

пусть

ар

гумент X при своем изменении принимает одно за дру

гим два значения хх

и х2\

тогда

разность

х2 — х\

назы

вается

приращением

аргумента

и обозначается

симво

лом

Ахи

т. е.

= х2 — хх.

Греческая

буква

(дельта)

не

я в л я е т с я

м н о ж и т е л е м

при X, а только указывает на операцию

вычитания из нового

значе

ния X — Хг прежнего

значения

хі.

Таким

образом,

н е о т д е

л и м а

о т * і ,

как

неотделимы

sin

от

в выражении sin х

или

logo

от л; в выражении

log„ х.

Разность значений f{x2)

1{х\)

уі

функции

f(x) = y, соответствующих

значениям х2

и Х\

аргумента,

т. е. разность f(x2)

— f(xx)

— у2

— уи

называют

прира

щением

функции

обозначают

символом

Аух\

так

что

àyi=f(x2)

— f (хх)

у2-ух.

П Р И М Е Р .

Пусть

дана функция

у =

х2 — Зх. Пусть

Хі =_ 2 и

Хг =

2,3.

Тогда

А*і =

х2 — *і =

2,3 — 2 =

0,3;

г / , = 2 2

— 3-2 = 4 — 6 = — 2,

у2 ='(2,3)2

3 • 2,3 =

5,29

- 6,9 =

1,61;

следовательно,

Д#і =

У2 -

Уі =

- 1 . 61

( - 2 ) =

0,39.

Если

х2 ^> X], то

приращение

Ахі

х2

— Х\

имеет

по

ложительное

значение; при

х2

Х\

приращение

Ахх

.= х2 — Х\ будет отрицательным.

Очевидно, и приращение функции может быть вели чиной как положительной, так и отрицательной.

§ 37. Непрерывность функции. 1. Понятие непрерыв ности функции играет исключительно важную роль в математическом анализе. В частности, это понятие очень важно и для наших непосредственных целей, т. е. для

нахождения пределов				функций.
Предположим,			что	рис. 44 дает изображение		функ
ции y =	f(x),	а	рис.	45 — изображение	функции	у—\
— (р(х).	В то	время как первая функция			изображается

нигде не разрывающейся плавной линией, график функ ции у = ц>(х) при X = х0 имеет разрыв. Вряд ли комунибудь будет неясен смысл фразы: «рисунок 44 дает изображение функции,, непрерывной при всех значениях

123

х, а рисунок 45		изображает функцию,	имеющую		разрыв
при X —	х0, или	в точке х — х0 *)».
Мы	видим, что разрыв функции у =		у(х)	при х = х0
происходит потому, что при переходе значений				аргумента

через X = х0 функция изменяется скачком. Переход от значения х0 к другому значению х можно представить так, что значению х0 придано приращение Ах0 = х — х0.

Тогда	новое значение		функции у — ф(х)					= ф(Хо	+' Ах 0 )
будет	разниться от старого Уо =					ц>(х0)	на	приращение
		Ау0 = ф {х0 +			Дх0 ) —	ф (*„).
Мы видим (рис. 45),				что когда		приращение Ах0,			оста
ваясь	положительным,			уменьшается			и	приближается
к 0,	то	приращение		Ау0	„
функции		приближается		к	^
значению,		равному	длине		I

	Рис. 44.	Рис. 45.
отрезка MN. Если бы приращение Дуо стремилось к нулю,
то ясно,	что функция при X = х0 не	имела бы разрыва.
После	приведенных наглядных	соображений, даю

щих представление о понятии непрерывности функции в точке, дадим точное определение этого понятия.

Будем называть окрестностью точки х0 любой про

межуток,	содержащий точку		х0	внутри		себя.		не
О п р е д е л е н и е .		Функция	у =		f(x)	называется
прерывной	в точке	Хо, если:	1)	она	определена в			неко
торой окрестности этой точки и				2)	предел		приращения

*) Наименование частного значения аргумента «точкой» образно связывает значение аргумента с изображением его на числовой осн.

124

Ду0 функции	у, вызываемого				приращением			Ах0	аргу-
мента к, равен нулю		при Длг0—>-0:
lim	А г / 0 =	lim [f (х0		+àx0)		— f (х0)]	=	0.	( 4 )
Другими	словами,		функция		y —	f(x) называется			не
прерывной в	точке	XQ,	если	она	определена		в	некоторой

окрестности этой точки и если приращение ее Дг/о при Ахо—*0 есть величина бесконечно малая.


Если условие непрерывности функции в точке									х0 на
рушено,		то говорят, что в		этой	точке		функция		имеет
р а з р ы в		(или	претерпевает	разрыв)		и	точку XQ назы
вают	т о ч к о й		р а з р ы в а	ф у н к ц и и .
2. Итак, если приращение Ау0					функции при				Ах0—*0
есть	величина бесконечно малая,				то	функция		у =	/ ( * ) ,
по определению,			в точке х0	непрерывна. Так				как

АУо = / (*о + А*о) — Î (*о)>

то, следовательно, при Ах0 —>0 разность между перемен ной величиной f(xo-j-Axo) и числом f(x0) есть величина бесконечно малая. Отсюда, по определению предела, заключаем, что

		lim	f (х0 +		Ax0)		= f(x0).			( 5 )
		&xt-+0								У°)
Положим XQ-\-AXQ			=	X;	В		таком	случае,		когда
Дл'о—+0, то х->х0.		Следовательно, равенство							(5)	можег
быть переписано		так:
			lim	f(x)	=		f(xü),
		х->х,						в
т. е. если функция y =				f(x),	определенная			в	некоторой
окрестности точки х0,			непрерывна				в точке х0,		то	предел
ее при х-+х0	равен		значению			функции при			х =	х0.
Обратно, пусть известно,					что
			lim	f(x)	=	f(x0).				( 6 )
Тогда разность			f(x)~f(x0)
			f(x)~f(x0)
есть величина	бесконечно малая						при X-*XQ.	Но эта раз

ность есть приращение Ауо функции, отвечающее при

ращению	Ах0	=	х — х0	аргумента.		Когда х—*х0,		то
До-0.	Итак,		если	имеет	место равенство		(6),	то
lim Ау0	= 0,	т.	е, функция		y = f(x)	в точке	х0	не-
Дл<,->0

прерывна.

125

Из доказанных предложений следует, что данное выше определение непрерывности функции в точке мо

жет

быть заменено таким

определением:

Функция

y = f(x)

называется

непрерывной

точке

А*о,

если

она

определена

некоторой

окрестности

этой

точки

если

ümf{x)

f(x0).

(7)

X->Xt>

3. Среди функции, с которыми мы

встречались ра

нее, имеются функции непрерывные и разрывные.

Например,

функция у =

х2

определена на всей чис

ловой осп, а потому и во

всякой

окрестности

любой

точки

X — с.

Покажем,

что

она

непрерывна

точке

л* =

с. В самом деле, при

х = с

имеем

у — с2.

Прида

вая

значению

х = с

приращение

Ах,

находим

Ау = (с +

д.ѵ)2

с2

2с Ах +

(Д.ѵ)2.

Когда

Ах—>0,

то 2сАх—>0

(Ах)2-*0.

Следовательно,

при Ах—>0 приращение Ау есть величина бесконечно

малая.	А это и	значит,		что	в	точке	х =		с	функция
у = X2	непрерывна.
Функции У = — и У — -^г					определены			на	всей чис
ловой	оси, кроме	точки	х = 0;		в	этой точке			выражения
— и -7J- теряют		смысл	(деление			на нуль		невозможно).
Условие (7) непрерывности				f(x)	функции		в	точке		хо тре

бует, чтобы функция была определена в некоторой окрестности точки -to, а потому и в самой точке х0. Так как рассматриваемые функции в точке 0 не определены, то они претерпевают разрыв в этой точке. При х—>0 эти функции суть величины бесконечно большие. Гра фики их изображены на рис. 46. Мы видим, что каждый из графиков состоит из двух отдельных ветвей; это служит наглядной иллюстрацией того, что точка х — 0


есть	точка		разрыва	рассматриваемых					функций.
4.	Если		функция	непрерывна				в каждой		точке отрез
ка [а,Ь]		или	промежутка			(а,Ь),		то говорят,		что она	не
прерывна		на отрезке			[а, Ь]		или,	соответственно, в			про
межутке		(а, Ъ).		у =		X2
Так,		функция					непрерывна		в	промежутке
(—со,-)-оо). Функции					і/ =		- и	У~~т	непрерывны		на

любом отрезке, не содержащем точку х = 0.

126

Функция t g *	непрерывна		при	всех	значениях *,
кроме значений	x =	~ + kn	(где	k = 0, ± 1 , + 2 , . . . ) :
в точках x — ~-\-kn		нарушается		условие	непрерывно

сти, так как в этих точках функция t g * не определена. По этой же причине функция ctg* имеет разрывы з точках * = kn (где k = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ) ; при всех же остальных значениях * функция ctg* непрерывна,

Рис. 46.

В полных курсах математического анализа подробно рассматривается вопрос о непрерывности функций, с ко торыми имеет дело анализ. Здесь мы лишь кратко ука жем, что все функции, с которыми будем встречаться в дальнейшем, непрерывны всюду, за исключением от дельных точек.

5. Непрерывность	функции	/(*) в	точке	с	опреде
ляется соотношением
	Hmf(*) =	f ( C ) .
Отсюда следует, что для нахождения предела				при х-*с
функции, непрерывной в точке с, достаточно				вычислить
ее значение при * =	с; получающееся		при этом		число и
есть искомый предел	функции.

,127

Таким образом, например, находим

	lim	sinx =	sin •?•= 1,
	я		л
	lim	t g x =	t g - J = l ,
lim	lg sin л; = lg sin ~ — lg 1
я			^
И Т. П.
Вместе с тем	такая простота нахождения пределов
н е п р е р ы в н ы х	функций позволяет в ряде случаев до

статочно легко находить и пределы функций, не являю щихся непрерывными в данной точке.

Пусть, например, требуется

найти

sin2x

lim

В точке * =

-7г функция •s l n 2 *: -

имеет

разрыв: cos-^- = 0,

£i

COS X

£t

и так как деление на нуль

невозможно, то при х = —

дробь

теряет смысл; другими словами,

рассматри

ваемая функция вовсе не определена в точке у ,

по

этому

имеет

разрыв

в этой точке. Но при

зна

чение

х = ~

из рассмотрения

исключается

(см. §

30);

cos X ф 0 при

sin 2х

сокра

2 '

е н и е

S l

"2 * • можно

И выражениы Р

а ж

T o I F

тить на cos х:

sin 2JC

2 sin X cos

• 2 sin x.

COS X

S ÎГ1

î ï

Отсюда следует, что функция • ^ х - и 2sin*

при

х-*-^

изменяются одинаковым образом. Функция 2sinx не прерывна в точке * —у*» поэтому limя (2sin*) =

128

= 2 sin-5-= 2. Следовательно, и lim

же образом находим

s i n2 x 2. Подобным

COS X

l i m Ï I + Л . - 3	- ]	i	m (VZTs-.3)02+5	+ 3)	^
* + 4 x - 4	Л Н М		( X - 4) ( K x + 5 + 3)
=	,•		Л- + 5 —9	,.	1
=	Um		r = lim •,/•-—
	*->4	( . ѵ - 4 ) ( К л г + 5 + - з )		х->іУх	+ 5 + 3

§ 38. Равномерное движение и его скорость. Скорость изменения линейной функции. 1. Если отношение пути, пройденного материальной точкой за любой промежу ток времени, к этому промежутку времени есть вели чина постоянная, то такое движение точки называется равномерным. Это постоянное отношение определяет расстояние, которое проходит точка в единицу времени (в секунду, минуту, час) и называется скоростью рав номерного движения.


Допустим,		что материальная		точка,	движущаяся
равномерно, к началу			отсчета времени, которое мы при
мем	равным	нулю, уже прошла		путь s0. Пусть t — лю
бой	момент	времени,	отсчитываемый от 0.			Обозначим
через	s длину пути,		пройденного точкой		к	этому мо

менту. Так как s отсчитывается от того же начала, что

и s0, то расстояние,	пройденное точкой за время t, опре
делится разностью	s — so. По определению равномер

ного движения отношение

^	- = ѵ
есть величина постоянная — скорость		движения точки.
Из этого равенства получаем
s =	vi + s0.	(8)

Соотношение (8) называется законом равномерного движения. Мы видим, что равенство (8) представляет собой функцию первой степени относительно t. Итак,

закон равномерного движения определяется функцией первой степени относительно t. Коэффициент ѵ есть ско рость равномерного движения (величина постоянная).

Нетрудно показать, что и обратно, функция

s = kt + b

(9)

5 Н, П, Тарасов

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20235.06 Mб27Тарасевич Р.М. Методы и средства проверки герметичности узлов, отсеков и систем летательных аппаратов учеб. пособие.pdf
#
29.10.2023956.29 Кб8Тарасов А.Г. Новое в расчетах и эксплуатации червячных фрез.pdf
#
29.10.20238.6 Mб7Тарасов А.И. Газы нефтепереработки и методы их анализа.pdf
#
22.10.202313.04 Mб9Тарасов, В. П. Загрузочные устройства шахтных печей.pdf
#
19.10.20232.65 Mб1Тарасов, Г. М. Памятка-пособие аппаратчика-отливщика основы кинофотопленки.pdf
#
22.10.202312.62 Mб63Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
20.10.20237.86 Mб6Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf
#
23.10.20235.37 Mб8Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf
#
20.10.20238.68 Mб4Тарлинг, Д. Движущиеся материки.pdf
#
19.10.20234.2 Mб5Тарновский, Ю. К. Механизированная разработка грунта в зимнее время.pdf
#
29.10.20233.46 Mб36Тарусов Б.Н. Сверхслабое свечение биологических систем.pdf