книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник
.pdf27. В |
какой точке |
касательная к параболе |
у = х2 — Ах + 3: |
|||
а) параллельна |
оси |
Ох, |
б) |
образует с осью их угол |
в 45е? |
|
Отв. а) |
(2; |
- 1 ) ; |
б) |
( |
| ; - - | ) . |
|
' 28. Показать, что ни в какой точке касательная к гиперболе
у — — не может быть параллельна оси Ох.
29. |
В какой |
точке |
касательная |
к параболе у = х2: |
а) парал |
|
лельна |
прямой |
4.Ï — у + |
1 = 0, б) |
перпендикулярна к |
этой же |
|
прямой? |
|
|
|
|
|
|
Отв. а) (2; |
4); б) |
( - |
1 ; |
|
|
|
30. Под какими углами пересекаются касательные к параболам
у = ]^2х> у —~2~г проведенные в их точках пересечения?
Ore. J . |
a r c t g j . |
31. Под каким углом пересекаются касательные, проведенные
к параболе у = Ѵ х и к гиперболе г/ = —. в их точке пересечения?
X
Отв. arcfg 3.
ГЛАВА VI
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 44. Таблица основных формул. Правило дифферен цирования, данное нами в § 41, является основным, по тому что оно выведено из самого о п р е д е л е н и я производной. Однако если для несложных выражений пользование основным правилом не представляет осо бого труда, то для сложных выражений, состоящих из комбинаций функций, например для выражений, пред ставляющих собою сумму функций или их произведение, или частное, применение общего правила может ока заться делом весьма кропотливым. Естественно поэтому, отправляясь от общего правила, установить раз навсегда дополнительно специальные правила дифференцирова ния суммы функций, произведения и частного и правило дифференцирования так называемых сложных функций (см. § 51).
Выпишем прежде всего таблицу правил и основных формул дифференцирования. Символ ( ) ' обозначает, что от выражения, стоящего в скобках, берется производная.
Т а б л и ц а п р а в и л |
и о с н о в н ы х |
ф о р м у л |
д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я |
|
|
Если и и и — некоторые функции от х, имеющие про изводные при рассматриваемых значениях х, а с — по стоянная, то
I . |
(и ± ѵ)' = и' ± ѵ'. |
I I . |
(и • ѵ)' — u'v -f- v'u. |
I I I . |
(c-u)'=CUf. |
I V . |
|
151
V I . |
Если |
y = |
f(u), |
где |
u — q{x), то |
|
|
V'x = / ' ( " ) |
Ф'(*) |
= |
^ Ч - |
||
V I I . |
(c)' = |
0. |
|
|
|
|
V I I I . |
(*)' = |
1. |
|
|
|
|
IX. (х"У—аха~1 |
(здесь и в следующих формулах а |
|||||
есть постоянная |
величина). |
|
||||
X. |
(sin хУ — cos X. |
|
|
|
||
X I . |
(cos хУ — — sin X. |
|
||||
X I I . |
(tgJc)' = — ^ - |
= |
sec2.v. |
|||
X I I I . |
( c t g * ) ' = - - 5 ^ - = |
-cosec2 x. |
||||
XIV . |
( l o g f l x ) ' = 4 l o g e e * ) . |
|||||
XV. |
(loge x)' = |
(lnx)' = |
^ . |
|||
X V I . |
(a*)' = |
o*lna. |
|
|
|
|
X V I I . |
(e*)'=»e*. |
|
|
1 |
|
|
X V I I I . |
(aresin x)'=s |
|
|
|||
|
|
|
||||
XIX . |
(arecos x)' = — |
y y = |
||||
XX. |
(aretgx)' = |
Y~^. |
|
|||
X X I . |
(arcctgx)' |
= |
l |
+ |
л-2 " |
|
|
|
|
|
|||
Целью настоящей главы является вывод правил и формул, приведенных в этой таблице, и овладение тех никой дифференцирования, т. е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных вы ражений.
§ 45. Производная постоянной величины. Постоянную
величину с мы условились понимать |
как |
переменную |
||||||
величину, принимающую |
при |
своем |
изменении |
лишь |
||||
одно-единственное значение с (§ 28, п. 2). |
|
|
|
|||||
Из |
аналитической геометрии |
известно, что уравнение |
||||||
у = с |
выражает |
прямую, |
параллельную оси |
Ох |
(и |
при |
||
*) |
О числе е см. |
ниже, § |
54; \ogea будем |
обозначать |
Ina. |
|||
152
с — О— ось Ох). Любой точке х оси абсцисс соответ ствует ордината у точки этой прямой, равная числу с (рис. 51). Таким образом, рассматривая постоянную ве личину с как переменную, мы можем представлять себе постоянную с как функцию у = с, принимающую одно и то же значение с при любом значении аргумента х.
Возьмем произвольное значение аргумента х; при дадим этому значению аргумента приращение Дх. Так как функция у сохраняет одно и то же значение с при любом значении аргумента, то у + Ау = с (рис. 51); отсюда Ау = с — у, т. е.
Ау — с — с = 0
и
^ |
. = |
_ 9 _ = 0 . |
|
Ах |
ах |
' |
|
следовательно, |
|
|
|
lim |
4 ^ - = |
lim |
0 = :0, |
Дх->0 й х |
Дх->0 |
|
|
т. е. |
(с)' = 0. |
(VII) |
|
|
|||
Итак, |
производная |
постоянной величины равна нулю. |
|
Полученный результат легко объясним и с геометри ческой точки зрения. Геометрический смысл производ ной состоит в том, что она является угловым коэффи циентом касательной к кривой в данной точке. Но так как в данном случае линия есть прямая, то касательная
совпадает |
с самой |
«кривой». А в силу того, что |
прямая |
|
у = с параллельна |
оси Ох и образует с ней |
угол |
0°, ка |
|
сательная |
также оказывается параллельной |
оси |
абсцисс |
|
и угловой |
коэффициент ее поэтому равен нулю: |
|
||
?/' = (C )' = tgO° = 0.
§ 46. Производная функция // = х. Следуя общему правилу дифференцирования (§41), получаем
1)У = х.
2)у + Ау = х + Ах.
3) Ау = Ах.
ч ; |
Ах |
Ах — *• |
|
|
5) lim |
i ä . : |
lim 1 = 1. |
Дя-»0 |
л * |
д * - » о |
153
Итак,
(VIII)
Полученный результат согласуется с геометрическим смыслом производной: функция у — х геометрически изо бражается в виде биссектрисы первого координатного угла; так как касательная к прямой в каждой ее точке совпадает с самой прямой, то угловой коэффициент ка сательной к прямой у = X в каждой точке равен 1.
|
§ |
47. |
Производная произведения функций. 1. Пусть |
||||
у |
= |
«о, |
где и |
и |
V — некоторые функции аргумента |
х; |
|
предположим, |
что |
« н о |
при рассматриваемом значении |
||||
X |
имеют производные и' и и'; найдем производную функ |
||||||
ции у = |
иѵ, являющейся |
произведением функций и и |
о. |
||||
Следуя общему правилу дифференцирования, при дадим рассматриваемому значению аргумента х прира щение АЛ:; тогда функции и, о и у получат, соответ ственно, приращения Au, Аѵ и Ay и перейдут от исход ных значений и, ѵ и у к значениям и-{-Au, ѵ + Аѵ, у + Ау. Новые значения этих функций связаны соотно шением
у + Ау = (и + Au) (о + Аѵ),
или
у + Ay = иѵ + Au • о + Au • и + Au • Av.
Вычитая отсюда почленно равенство у = ии, находим
Ау:
Ау = Au • о + До • и + Au • До. Составляем отношение 4^-:
|
|
Ах |
|
|
|
Ау |
Au |
. Аѵ |
, Au |
. |
,,ч |
Когда Ax—*0, ТО начальное значение х, при котором мы вычисляем производную, остается неизменным; при Ал:—»-0 и неизменном значении х сохраняют постоянные значения и функции и и ѵ. Поэтому
|
lim и —и |
и |
lim |
о = |
о. |
|
|
|
||
|
Дх-»0 |
|
|
Дх-»-0 |
|
|
|
|
|
|
В силу того, что, по предположению, функции и и о |
||||||||||
имеют производные |
при |
рассматриваемом |
значении |
х, |
||||||
заключаем, |
что |
lim |
-^- |
— и', |
lim |
^-=ѵ' |
и |
что |
они |
|
|
|
Дх->0 Л х |
|
Дх->0 |
Л |
х |
|
|
|
|
непрерывны |
при |
этом |
значении |
х |
(§ 43), |
Поэтому |
||||
154
приращение |
Аѵ стремится |
к |
0, |
когда |
|
Ах'-*0 |
(§ |
37), |
|||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lim |
( - ^ • Д о ) = |
lim |
~ |
|
um |
Av = |
|
u' -0 = |
0. |
|
||||||
|
Применяя теперь теоремы о пределе |
|
алгебраической |
||||||||||||||||
суммы функций и о пределе |
произведения, |
получаем |
|||||||||||||||||
|
|
|
!•_ |
f А" |
, До |
, Ли . \ |
|
/ |
, |
/ |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 ™ о |
IÂFѴ + Ä 7 " + Д7 Д у ) = и |
ѵ |
|
+ 0 |
"• |
|
|
|
||||||||
Таким |
образом, в силу равенства |
(1), |
заключаем, |
что |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
^- = |
и'ѵ + |
ѵ'и, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(II) |
|
|
|
|
|
yf |
= (uo)' |
= |
u'o |
+ |
v'u. |
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, |
производная |
произведения |
|
двух |
функций |
|
равна |
||||||||||||
произведению |
производной |
|
первой |
функции |
на |
|
вторую |
||||||||||||
плюс |
произведение |
производной |
|
второй |
функции |
|
на'пер |
||||||||||||
вую |
(при условии, что |
каждая |
из |
функций |
имеет |
произ |
|||||||||||||
водную). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. Пусть теперь у — щи2и3и4, |
|
где |
щ, |
и2, «з |
|
и |
«4 — |
|||||||||||
функции |
аргумента |
х, |
имеющие |
|
производные и\, |
и'2, и\, |
|||||||||||||
и[ |
при данном значении |
х. |
Данное |
нам |
произведение |
||||||||||||||
четырех функций мы можем представить как произве
дение |
двух |
сомножителей: |
у = (uiu2) |
(и3и4). |
Применяя |
||||
выведенное правило ( I I ) , получим |
|
|
|||||||
у' = |
(щи*)' (и3и4) |
+ (щи^ (и3иАУ |
= |
|
|
||||
= |
(«1«2 + |
и2щ) |
(«з« 4 ) + (Щи2) |
(«з«4 + |
"4«з) |
= |
|||
= |
и'\ (U2U3U4) |
+ |
и'2 ( И , « 3 « 4 ) |
+ |
«з ( « , « 2 « 4 ) + |
«4 (ЩЩЩ). |
|||
Обобщая это правило для произведения п функций, |
|||||||||
нетрудно |
убедиться, что |
|
|
|
|
||||
(Щи2и3 |
. . . ипУ |
= |
U[ ( « 2 « з . . . Un) + |
Ü2 («!«з |
. . . Un) + |
||||
|
+ |
ЫЗ («і«2«4 |
. . . « „ ) + . . . |
+и'п {ЩЩ . . . И „ - і ) . ( І Г ) |
|||||
3. Если г/ = си, где с — постоянный множитель, то, дифференцируя это произведение по правилу ( I I ) , на ходим
у' = с'и -f- си',
155
так как |
(с)' = |
0 |
(формула |
|
V I I ) , то окончательно |
по- |
||||||||||||
лучаем |
|
|
|
|
(cu)' |
= |
cu't |
|
|
|
|
|
(III) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
т.е. производная |
от произведения |
постоянной |
|
величины |
||||||||||||||
на |
функцию |
|
равна |
произведению |
этой |
постоянной |
и |
|||||||||||
производной |
|
данной |
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
постоян |
|||||||
|
Часто это правило формулируют, говоря, что |
|||||||||||||||||
ный |
|
множитель |
можно вынести |
за |
знак |
|
производной. |
|
||||||||||
§ |
48. |
Производная |
целой |
|
положительной |
|
степени. |
|||||||||||
Представим |
степенную |
функцию |
у — хп, |
|
где |
п — целое |
||||||||||||
положительное число, в виде произведения |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
у = |
X • X . .. X. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользовавшись |
теперь |
правилом |
(II*) |
и |
формулой |
|||||||||||||
( V I I I ) , |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
у' — |
1 < {Х ' X . . . |
х) - f 1 • (х |
• X. . .*) -Ь . . . |
+ |
1 • (х |
• X ... |
х), |
|||||||||||
|
|
|
|
п—1 |
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
п—\ |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у' |
= |
ХП-1 |
+ Л ' " - ' |
+ |
. . . |
+ * " - ' |
= |
ПЛ.""-1 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, производная |
целой |
положительной |
степени |
хп |
|||||||||||||
равна |
показателю |
степени, |
умноженному |
на |
|
основа |
||||||||||||
ние |
X в |
степени, |
на |
единицу |
|
меньшей: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(xnY |
= nxn-K |
|
|
|
|
|
(IX*) |
||||
Формула (IX) таблицы основных формул (§ 44) до казана нами только для целого положительного пока зателя п. В § 56 мы покажем, что она остается верной также для любого значения п (дробного, отрицательного, рационального, иррационального). Поэтому, чтобы не задерживать приобретения навыков дифференцирования, мы будем сразу же формулу (IX*) применять для лю бого показателя степени п.
П Р И М Е Р |
1. Продифференцировать |
функцию у |
= |
хъ. |
Р е ш е н и е . |
Здесь п = 5. Поэтому |
по формуле |
(IX*) получаем |
|
у' = 5х*. |
|
|
|
|
П Р И М Е Р |
2. Продифференцировать |
функцию у = |
V х. |
|
156 |
|
|
|
|
f
Р е ш е н и е . |
Так |
как у = Ѵ~х = |
х2, |
то |
по формуле |
(IX) |
полу- |
|||||||
чаем у |
, |
1 |
~ Т |
> и л и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—~2Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
( / * ) ' = ' . |
|
|
|
|
( i x » ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 У X |
|
|
|
|
|
||
В приложениях весьма часто приходится встречаться с необхо |
||||||||||||||
димостью дифференцировать |
функцию |
Ѵх~. |
Поэтому |
рекомендуем |
||||||||||
в таких |
случаях |
не обращаться |
всякий |
раз |
к общей формуле |
( I X ) , |
||||||||
а запомнить |
формулу |
(IX**) . |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
П Р И М Е Р 3. Продифференцировать |
функцию у = |
. |
|
|||||||||||
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У*2 |
|
|
|
Р е ш е н и е . Представив |
данную функцию в виде |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
у = |
3-х |
3 , |
|
|
|
|
|
|
по правилу ( I I I ) и формуле |
(IX) находим |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
' |
о ( |
2 \ |
~Ъ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xfx2 |
|
|
|
|
§ 49. Производная алгебраической суммы функций. |
||||||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = |
и±ѵ, |
|
|
|
|
|
||
где и |
|
и и — функции аргумента |
х, |
которые при |
рассмат |
|||||||||
риваемом значении х имеют производные и' и ѵ'. |
|
|||||||||||||
Следуя общему правилу дифференцирования, будем |
||||||||||||||
иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
|
у = |
и±ѵ. |
аргументу х |
приращение Ах; |
|
|
и, ѵ |
||||||
2) |
|
Придадим |
тогда |
|||||||||||
и у получат, соответственно, приращения Au, Аѵ и Ау.
Новые |
значения |
этих |
функций: и + Ди, u-f-Af, у-{-_Ау, |
|
связаны |
соотношением- |
|||
|
|
у + |
Ау = |
(и + Au) ± (ѵ + Аѵ). |
3) _у + Ау — и + Au ± V ± Аѵ |
||||
|
у |
—и |
± У |
|
|
|
Д# — Au ± |
Аѵ. |
|
Ах~~ |
Ах ~ |
Ах' |
|
|
157
_ ч |
~ |
по |
условию, |
, . |
Д а |
, |
hm |
До |
f |
, |
||
Б) Так как, |
lim |
— |
= и', |
-г— = |
ѵ |
|||||||
|
|
|
|
• |
Лх->0 |
Ü X |
|
Ах->0 |
а |
А |
|
|
то, по |
теореме |
о |
пределе |
алгебраической |
суммы, |
полу |
||||||
чаем |
|
|
у ' = |
и ' ± ѵ ' ш |
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Этот результат может быть без труда распространен на сумму любого числа слагаемых.
П Р И М Е Р . |
Найти производную функции у = х2 + |
Р е ш е н и е . |
По правилу (I) имеем |
теперь по формуле (IX) находим
(А-У = 2.V-, ( I ) ' = (х-')' = - 1 . х-2 = - Д г ,
следовательно,
§ 50. Производная дроби. Пусть дана функция
и
у = - .
где и и V — функции аргумента х, которые имеют произ водные и' и ѵ' при данном значении х; предполагаем, кроме того, что ѵ отлично от нуля при рассматриваемом значении х.
Придавая аргументу х приращение Ах, получаем
, . и + Ли
Вычитая |
из |
этого |
равенства |
почленно |
равенство |
|||||||
у — -^-, |
находим |
Ау: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
и + Да |
|
и |
Au • У — До • и |
|
|||||
Далее, |
У |
V + До |
|
V |
|
V2 + Аѵѵ |
' |
|
||||
|
|
|
Au |
|
|
До |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ау |
Ах |
|
|
Ах |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ах |
|
V2 + |
До |
• V |
|
* |
|
|
|
По |
условию, |
lim ~ |
= |
ur, |
lim |
~ |
|
= |
vf; |
далее, и и |
||
|
|
|
д*->о й х |
|
|
д*->о |
а |
х |
|
|
|
|
V — величины |
постоянные |
при |
данном |
х |
и Д х - » 0 ; |
|||||||
158
V2 ф О и До^*и, |
|
когда |
Д х - » 0 . |
Следовательно, в |
силу |
|||||||||||
теорем теории |
пределов, |
получаем: |
|
|
/ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I l m |
|
|
Ä " |
|
А о |
|
|
|
|
|
у/. |
] |
j m Ay |
Ax->0 |
° |
Ax |
|
&X-+0 |
Ax |
|
|
|
||||
|
|
Д*-»0 |
A |
* |
|
|
2 |
+ |
|
Д*-»0 * » |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l i m |
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
vif |
— uv' |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение |
|
(V) |
можно |
|
сформулировать |
следую |
||||||||||
щим |
образом: чтобы получить |
производную |
дроби, |
надо |
||||||||||||
умножить |
знаменатель |
на |
производную |
числителя, |
вы |
|||||||||||
честь |
отсюда |
произведение |
|
|
числителя |
на |
производную |
|||||||||
знаменателя и полученный |
результат поделить |
на |
квад |
|||||||||||||
рат |
знаменателя. |
|
|
и = |
с, |
|
|
|
|
|
|
|||||
В |
частности, |
если |
где с — постоянная |
вели |
||||||||||||
чина, то по формуле (V) получаем |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
( * ) ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, так как с' = |
|
О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
же |
V = с, |
то |
у = -j ; |
никогда |
не |
следует |
|||||||||
дифференцировать по формуле |
(V) дробь, |
знаменатель |
||||||||||||||
которой есть величина постоянная: стоит только заме тить, что — = — -и, и, в силу ( I I I ) , сразу получаем
' |
( |
H - 7 " - f - |
|
П Р И М Е Р 1. Найти |
производную от функции |
у= |
|
Р е ш е н и е . По правилу (V) имеем |
|
||
„ , _ ( ! - x'Y(l + X 3 ) - (1 + Xя)' |
(1-х3) |
||
У |
|
(1+х3)2 |
|
Далее, по правилу (I) и формуле (IX) получаем:
- Зх2 (I + X3) - Зх2 (1 -X3)
У(1 + х 3 ) 2
или, после упрощения,
У = |
б*2 |
(1 + X3)2 • |
<І Ѵ >
1 — X3
, _ j _ • l+x3 ѵ 3
159