Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

ГЛАВА IX

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 77. Отыскание функции по ее производной или дифференциалу? примеры из механики и геометрии. 1. В диф ференциальном исчислении мы решили задачу о нахож дении мгновенной скорости движения. Именно, исходя из заданного закона движения s = F(t), определяющего из менение пути s с течением времени /, мы определили ско рость v движения как производную пути s по времени t:

o « = s ' = .F' (t)

(см. § 39). Однако часто приходится решать как раз обратную задачу, т. е. по заданной скорости v = f(t) находить пройденный путь s. Таким образом, здесь тре

буется

по

заданной

скорости

ѵ =

f(t)

восстановить

за

кон движения

s =

F(t)

или,

другими

словами,

по

за

данной

функции v =

f(t)

восстановить

ту

функцию s

F(t),

для которой

является

производной.

Так,

например, закон

изменения скорости ѵ

падения

пустоте

тяжелой

материальной

точки

зависимости

от времени

t выражается

соотношением v = gt. Для

на

хождения

пути

мы

должны

восстановить

функцию

для которой v является производной. Если длина пути

отсчитывается		от	начального момента движения (т. е,
если s =	О при	t =	0),	то, как мы		уже знаем (§		39),
И действительно,			s' =	(-yg*2 ) =gt		и s =	0 при	t = 0.
2. Рассмотрим теперь такую задачу: угловой коэф
фициент	касательной			к	некоторой	неизвестной		кривой
в любой	ее точке		M (х; у)		определяется		выражением
				k = 2х;

240

известно, кроме того, что кривая проходит через начало координат. Требуется найти уравнение кривой.


	Мы знаем,	что если	кривая определяется уравнением
y =	F(x), то	угловой	коэффициент		касательной,		прове
денной к кривой в точке				с абсциссой х, есть производ
ная	функция	y' = F'(x).		Таким образом,		по	условию
задачи имеем		F'{x)==2x.		Значит, и здесь нам нужно
восстановить		неизвестную		функцию	f(x)	по ее	задан

ной производной 2х. Нетрудно сообразить, что искомая

функция	есть	у = х2, так	как	у' = 2х	и, кроме того,
парабола	у =	х2 проходит	через	начало	координат.

3. С точки зрения чисто' математической в обоих рассмотренных примерах задача сводилась к следую щему: нам была известна производная f(x) некоторой функции (в первом примере — скорость движения и во втором — угловой коэффициент касательной). По этой заданной производной нужно было восстановить функ цию y = F(x), для которой f(x) является производной (в первом примере нужно было восстановить закон дви жения, а во втором — уравнение кривой).

Другими словами, в обоих случаях мы должны были

решить задачу, обратную задаче				дифференцирования.
На практике отыскания функции F(x)					производят	не
по заданной ее производной f(x),				а по	заданному	ее
дифференциалу f(x)dx.	Нетрудно			видеть,	что это одно
и то же. Действительно,	так		как
dF (x) =		F' {x)		dx,
то
F'(x)	dx	=	f(x)	dx,
откуда получается, что
F'(x)		=	f(x).

Значит опять-таки вопрос по существу сводится к на хождению функции F(x), для которой f(x) является производной.

Многие вопросы в науке и технике решаются при по мощи действия, обратного дифференцированию. Поэто му нам нужно будет обратиться теперь к подробному

рассмотрению			этого действия, называемого			интегриро
ванием.
§	78.	Неопределенный		интеграл. О п р е д е л е н и е .
Функция		F{x)	называется	первообразной	для	функции
/(*),	если	f(x)	является	производной	для F(x),		или,

241

что то же,

f(x)dx

служит

для

F(x)

дифференциалом'*).

Очевидно,

что в этом случае имеет место соотношение

или

F'(x)

f{x),

(х) =

f (х)

dx.

Например,

функция

sin А-

является

первообразной

для cos Л', так как

или

(sin х)г

COS X,

d sin X =

cos X dx.

Первообразной

для функции

х2

является

функция

Х3

— ,

так как

или

( 4 ) ' - л

d (4)

с sinx

Обратим

внимание

на

то,

что наряду

перво

образными

для

функции _çosx

являются

также и

функ

ции sin.K-f-1,

sin

х - ] / 2 ,

sinx-f-^n

вообще

всякая

функция вида

SinA" +

С,

где С есть произвольное число. Действительно, все на писанные функции отличаются лишь постоянными сла гаемыми. А так как производная постоянного равна нулю, то

(Sinx + 1)' = COS X, (sin X — V ^ ' W o S . V , (sin* + Jt)'=COS;e, и вообще

(sin* + C)' = cos X.
Точно так же первообразной для	х2	является	всякая
X3
функция вида -д- + С, потому что
В более полных курсах математического анализа до
казывается, что всякая непрерывная	в	некоторой	обла-
*) В этом случае говорят также, что	F(х) является		перво
образной для дифференциального выражения	f(x)	dx.

242

сти функция f{x) имеет первообразную F(x). Но тогда легко видеть, что функция f(x) имеет и бесчисленное множество первообразных, отличающихся друг от дру-. га на постоянную величину, В самом деле, если

то	и			F'(x)	=	f(x),
то	и							+ Sy =
и	["()+!]' = /(*)				и	[F(x)		+ Sy =	f(x)
и
и	вообще				cy =
				[F(x) +	cy =		f(x),
где С — любая			постоянная.				вопрос: если F(x)
	Теперь	естественно возникает					вопрос: если F(x)			есть
к а к а я - н и б у д ь				определенная				первообразная		для
функции		f(x),	непрерывной			в	промежутке		(а, Ь),	то
охватывает ли выражение F(x)-\-C								в с е в о з м о ж н ы е
первообразные			для	/(*)?	Может			быть, функция		}(х)

имеет еще такие первообразные, которые не получаются из выражения F(x):\-C ни при каком определенном значении постоянной С? В действительности оказывает ся, что таких первообразных не существует и что по

этому

выражение F(x)-\-_C

является с а м ы м

о б щ и м

видом

функции,

которая имеет

производную

f(x).

Это

положение обосновывается

следующими

соображениями.

Пусть

F(x)

Fi(x) — две

любые

первообразные

функции

для функции

f(x),

определенной

некоторой

области. Составим разность

Л M — F (х) =

Ф (х).

Так

как F'(x)

— f(x)

и F{ (х) = f (х) при

любом

х, то

<р' (х) =

F[(x)

F' (х) =

t(x)-f

(х) =

Но

функция

у =

ц>(х),

производная

#' =

о/(х)

ко

торой

в промежутке

(а,Ь)

равна нулю, должна

изобра

жаться такой линией, касательная в каждой точке кото рой параллельна оси Ох. Очевидно, что линией, удов летворяющей такому требованию, может быть только прямая, параллельная оси Ох, и что, следовательно,

функция ср(х)	должна	сохранять постоянное		значение
в промежутке	(а, Ь). Действительно,		если бы	ординаты,
изображающие	значения	Ф ( Х ) , имели	различную длину

2 43

при различных значениях х, то кривая y = q>(x) на от дельных участках рассматриваемого промежутка подни

малась бы или опускалась, и				касательная		не	могла	бы
все время оставаться параллельной оси						Ох*).
Итак,	разность	Fi(x)	—F(x)	—q>(x)	оказывается			ве
личиной постоянной, т. е.
		Ft (x)-F(x)		= Clf
где С] — некоторое		число.					Fi (х)
А если любые две первообразные функции							Fi (х)	и
F(x) для	одной	и той	же	функции	f(x)	отличаются

друг от друга лишь постоянным слагаемым, то, найдя

одну из них, например F(x),			мы	можем	получить вся
кую другую первообразную,			добавив к		F{x) соответ
ствующее	число	С. Следовательно,		выражение
		F(x) +	C,
в котором	под	С разумеется	произвольная постоянная,

изображает совокупность всех первообразных функций

для функции	f(x).
О п р е д е л е н и е . Если функция F(x)					есть какая-ни
будь первообразная		для	f(x),	т. е. F'(x)	=	f(x), то	вы
ражение F(x)-\-C,		где С	есть	произвольная		постоянная,
называется	неопределенным			интегралом	функции		}(х)

и обозначается символом

J f(x)dx.

Произведение f(x)dx называется подынтегральным выражением, а функция {(х) — подынтегральной функ цией.

В декартовых координатах на плоскости хОу урав нение

y=*F(x) + C

определяет при фиксированном значении С некоторую кривую. При различных значениях С мы получаем, оче видно, различные кривые, соответствующие различным первообразным; поэтому говорят, что неопределенный интеграл функции f(x) представляет на плоскости хОу

*) В более	полных курсах анализа это строго	доказывается
с помощью так	называемой теоремы Лагранжа. Что	же	касается
приведенных нами соображений, то они по существу		лишь	разъяс
няют суть дела,	опираясь на геометрическую интуицию.

244

с е м е и с т в о к р и в ы х , з а в и с я щ е е о т п а р а м е т

ра	С.
	П Р И М Е Р 1. Пусть. !(х)	= х";	тогда, как		нетрудно	догадаться,
неопределенный интеграл этой функции будет
	Г x 3	dx= —X 4		+C.
	J		4
Что	это действительно так,	легко	проверить		обратным	действием,
т. е. дифференцированием:

П Р И М Е Р 2. Если / (х) =

,L_ , то

Ух

Это также легко проверяется дифференцированием:

( 2 Ѵ7 + СУ = 2 {VxY =	= - к .
2у x	ух

Обращаем внимание на то, что под знаком «инте грала» пишут д и ф ф е р е н ц и а л искомой первообраз ной функции, а не ее производную (в наших примерах:

x3dx, а не х3; ~к	x	dx, а не -тХА. Такой способ за-
У	x	Ух]

писи создался исторически и представляет большие удобства для преобразований сложных интегралов.

Действие, состоящее в разыскании неопределенного интеграла данной функции, называется неопределенным интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла непо средственно вытекают следующие его свойства.

	1.			(jf(x)dx)f=f(x),
т,	е.	производная		от неопределенного		интеграла	равна
подынтегральной			функции.
	2.		d	f {x)dx =	f(x)dx,
т.	е.	дифференциал		J неопределенного		интеграла	равен
подынтегральному				выражению*

245

3.	Так	как	F(x) есть		первообразная			функция	для
F'(x),	то		Jj			+
			Jj	F' (х) dx	= F {х)	+	С,
				F' (х) dx	= F {х)		С,
или
				dF(x) =	F(x)+C,
т. е. интеграл дифференциала					функции		F(x)	равен	функ
ции	F(х).	плюс	произвольная		постоянная			С.

§ 79. Определение по начальным значениям перемен ных произвольной постоянной, получающейся при инте грировании. 1. Возвратимся к механической задаче, рас смотренной в начале § 77. В этой задаче шла речь о нахождении закона движения материальной точки, падающей в пустоте, по заданной скорости ѵ = gt при условии, что длина s пути, проходимого точкой, отсчи-

тывается от начального момента движения						(т. е. s =	О
при t =	0).
Так	как ѵ' =	s, то теперь мы можем				записать	ре
шение	указанной	задачи	с	помощью неопределенного
интеграла			J gt dt
		s =	J gt dt
и, как нетрудно сообразить,
		s =	±gt*	+	C.	'	(1)
Мы	получили	для пути		s	выражение,	в которое,

кроме /, входит еще и произвольная постоянная С. Для одного и того же момента времени t при различных значениях С мы будем получать и различные значения пройденного пути. Но в задаче дано еще условие, со гласно которому при t = 0 функция s должна иметь значение, равное 0. Отсюда вытекает, что постоянная С не может быть произвольной, а должна иметь такое значение, при котором выполняется и это условие за

дачи. Для того чтобы определить требующееся	значе
ние С, подставим в формулу (1) s = 0 и t = 0.	Тогда
получаем

246

откуда	С = 0 и, значит, искомый				закон	движения			для
s теперь вполне		определен
			s =	jgt~.
Приведенные		здесь	значения		t = О,	s =	0	условно
называют начальными			значениями		величин		t u s .		Раз
личным	начальным значениям величин					t u	s	соответ
ствуют и различные значения				постоянной		С. Так,		напри

мер, если бы было известно, что до начала отсчета вре

мени t — Ос точка уже прошла				путь	длиною	Зм, то	из
уравнения	(1)	мы получили	бы:
		3 = у # - 0 +		С,
откуда С =	3,	и уравнение	движения		было бы	такое
		s = jgt2	+	3.

2. Рассмотрим также вновь и геометрическую зада чу, приведенную в § 77. В этой задаче требовалось найти уравнение у = F(x) кривой по заданному закону изме нения углового коэффициента k ее касательной:

	k =	y' = 2x
при	условии, что кривая	должна		проходить через на
чало	координат.
Так как
то	у'	=	2х,
то		j
	у' =	j	2х dx
или	у =	х2	+ С.	(2)
	у =	х2	+ С.	(2)

Каждому значению постоянной С соответствует опре деленное уравнение вида (2), а значит, и определенная кривая (парабола). Все эти кривые могут быть получе ны из одной из них простым сдвигом ее параллельно оси Oy (рис. 90). Касательные ко всем кривым, проведенные в точках с общей абсциссой х, параллельны между со бой, так как при любом С

\ga = k = {x2 + Cy = 2x.

2 4 7

Условие прохождения искомой кривой через начало координат (т. е. начальные значения х — 0, у == О абс циссы и ординаты точки кривой) определяет единствен ную параболу из всех этих парабол. В самом деле, под ставляя в уравнение (2) начальные значения х = О,

у = О,	получаем			соответствующее			значение		С ==• 0 и
вместе	с тем		определяемое		этим		значением		уравнение
искомой		кривой:		у =	х2.

Если		бы	требовалось найти			параболу,		проходящую
не через		начало		координат,	а,	например,		через		точку
(2; 8), то, положив в формуле						(2)	х = 2 и у =			8, мы

248

получили		бы С =		4 , и,	следовательно,			уравнение		иско
мой параболы			имело бы вид
				у = х2		+	4
(рис.	90).
3.	Решим,		наконец,		такую		задачу:	найти	функцию
у = F(x),		производная			которой		равна хг	и которая		при
x =	1 принимает			значение, равное 12.
Из условия задачи следует, что искомая функция яв
ляется одной из первообразных для х2.								Беря	неопреде
ленный интеграл от хг,					мы найдем семейство				первооб
разных для x2:
				y =		jx2dx=-~+C.
По начальным значениям переменных (х==\,									у=	12)
находим		значение постоянной				С:
				1 2 = 4		+ С .
откуда

С = 1 і | .

Следовательно, искомая функция есть:

4. В каждой из рассмотренных задач нужно было по заданной функции и начальным значениям переменных найти определенную первообразную для заданной функ ции. Если в задаче не заданы начальные значения переменных, то можно найти только неопределенный интеграл данной функции, т. е. семейство ее первооб разных F(x)-{-C, зависящих от одного параметра С. Таким образом, при отсутствии начальных значений переменных задача отыскания первообразной данной функции не является вполне определенной. Именно по этому действие, при помощи которого решается эта зада ча, называется н е о п р е д е л е н н ы м интегрированием.

§ 80. Обращение формул дифференцирования (основ ные формулы интегрирования). Два правила интегриро вания. Рассматривая основные свойства неопределен ного интеграла, вытекающие непосредственно из его

249

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20235.06 Mб27Тарасевич Р.М. Методы и средства проверки герметичности узлов, отсеков и систем летательных аппаратов учеб. пособие.pdf
#
29.10.2023956.29 Кб8Тарасов А.Г. Новое в расчетах и эксплуатации червячных фрез.pdf
#
29.10.20238.6 Mб7Тарасов А.И. Газы нефтепереработки и методы их анализа.pdf
#
22.10.202313.04 Mб9Тарасов, В. П. Загрузочные устройства шахтных печей.pdf
#
19.10.20232.65 Mб1Тарасов, Г. М. Памятка-пособие аппаратчика-отливщика основы кинофотопленки.pdf
#
22.10.202312.62 Mб63Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
20.10.20237.86 Mб6Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf
#
23.10.20235.37 Mб8Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf
#
20.10.20238.68 Mб4Тарлинг, Д. Движущиеся материки.pdf
#
19.10.20234.2 Mб5Тарновский, Ю. К. Механизированная разработка грунта в зимнее время.pdf
#
29.10.20233.46 Mб36Тарусов Б.Н. Сверхслабое свечение биологических систем.pdf