Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4421 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

§ 63. Второе правило разыскания экстремумов функ


ции. Предположим,			что	в точке х = с первая производная
от данной	функции		f(x)	равна нулю, /'(с) =				0. Предпо
ложим, кроме того, что функция f(x)						имеет		в	точке	с
непрерывную и		положительную вторую					производную,
т. е. f"(с) >	0.	что f"(x)							х —	с,
В силу	того,				непрерывна	в	точке
незначительное		изменение			значения	аргумента			х =	с

повлечет за собой незначительное изменение и второй производной. Поэтому вторая производная /"(х) в не которой окрестности точки с будет сохранять тот знак,

какой	она	имеет при	х = с,		т. е. f"{x) в		этом	проме
жутке будет величиной			положительной.
Мы знаем, что если				в данном		промежутке производ
ная некоторой функции положительна, то функция								в этом
промежутке		возрастает		(§	60).	Вторая	производная
f"(x)	есть	производная		от	первой производной			f'(x).

Следовательно, положительный знак второй производ

ной указывает на то, что в некотором промежутке

около

точки с первая производная f'{x)

возрастает

как слева,

так и справа от точки с. А так

как

f (с)

= 0 ,

то

про

изводная

f'(x)

должна

быть на некотором участке

левее

точки с величиной отрицательной, а на некотором

уча

стке правее точки с положительной.

Таким

образом,

если

вторая

производная

/ " ( с ) > 0

(и непрерывна в точке с), то первая производная

f'(x)

при переходе через значение х —

меняет

знак

«—»

на

Следовательно,

точке

х —

с функция

}{х)

имеет м и н и м у м

(см. § 61, п. 2).

\"{с)<

Точно так же можно показать, что если

0, то

в точке х —

с функция

имеет

м а к с и м у м .

Указанный способ разыскания экстремумов функции

неприменим,

если

точке,

где

f'(x)

обращается

в нуль и

{"(х).

таком

случае

для

решения

вопроса

следует обратиться к основному правилу

(см. § 61, п. 3).

Представим

полученные

результаты

виде

схемы:

fix)

максимум

{

минимум

правило

неприменимо

200

П Р И М Е Р

Исследовать

на

максимум

и минимум

функцию

у =

хл

2х2

2. '

Р е ш е н и е .

Вычисляем

первую

производную

пли

і / ' = 4 х 3 - 4 х

4 х ( х г -

1),

у'

4х(х+1)(х-\).

2) Находим корпи первой производной, т. е. значения х, при

которых

у' обращается

нуль:

х = 0,

X = — 1 ,

А = + 1 .

Вычисляем вторую

производную

у"=\2х2-4.

Подставляя

в выражение, определяющее вторую произвол-,

ную,

найденные

корни

первой производной,

получаем

при

х =

у"<0,

при

X —

—1

£ f">0,

при

х =

+ 1

у " > 0 .

Следовательно,

при

функция

£/

х 4 — 2ха + 2

имеет

м а к с и м у м ,

при

X =

—1

и при х =

+ 1 — м и н и м у м ы .

П Р И М Е Р

Исследовать

на

макси

мум

и минимум

функцию

X 4 .

Р е ш е н и е .

4г>.

4х3

О,

откуда

находим

корень:

х — 0.

і/"

12дг2.

4) При

X =

(/" =

Обращаемся поэтому к первому способу:

при

х<0

у'

при

х>0

у'>0.

Р и с . 6 9 .

Следовательно,

при

х =

функция

у =

х* имеет

минимум.

График

этой функции

(парабола

4-го порядка)

изображен

на рис 69.

§ 64. Выпуклость и вогнутость кривой в точке и в промежутке. 1. При изучении понятия функции в курсе алгебры вычерчивались графики некоторых функций. Вычерчивание графика было основано на построении отдельных его точек, выбор которых не определялся ка кими-нибудь определенными соображениями, а носил, в сущности, случайный характер. При таком способе от нашего внимания легко могли ускользнуть некоторые важные особенности поведения функции, когда эти осог бенности оказывались, так сказать, «между» точками, которые мы выбрали для построения графика.

201

Изученные нами методы дифференциального исчисле ния позволяют заранее учитывать особенности поведения данной функции: позволяют определять промежутки возрастания и убывания функции и точки ее экстрему мов. Построение графика функции на основе получен ных сведений, разумеется, дает уже гораздо более точ ную геометрическую картину, изображающую ход изменения функции. Однако для еще более полного уточнения графика нам следует научиться определять направление его вогнутости на отдельных участках и находить точки, в которых происходит изменение вогну тости графика. Эти вопросы и будут рассматриваться в настоящем и следующем параграфах.

2.	Говорят,		что кривая в			точке		M	выпукла		книзу,
если все точки некоторой дуги кривой									(хотя	бы	весьма
малой)	слева		и справа		от точки		AI	лежат выше			каса
тельной, проведенной				к кривой		в	точке		М.
Аналогично, говорят,					что	кривая		в	точке	M вогнута
книзу,	если	все	точки	некоторой			дуги		кривой	(хотя бы
весьма	малой)		слева	и	справа	от точки M лежат					ниже
касательной,		проведенной			к	кривой		в	точке	М.

Рис. 70.

Рис. 71.

Рисунки 70 и 71 дают наглядные иллюстрации к этим определениям: рис. 70 изображает случай выпуклости кривой книзу в точке M, а рис. 71 — вогнутости.

Установим аналитический признак, позволяющий оп ределять, выпукла или вогнута книзу кривая в данной точке.

Пусть кривая задана уравнением y = f(x). Обозна чим абсциссу точки Л1 кривой через с. Допустим, что

202

при X = с функция у = f (х) имеет вторую производную

Н е

признак

формулируется

следующей

упомянутый

теоремой:

Т е о р е м а ( д о с т а т о ч н ы е п р и з н а к и

в ы п у к

л о с т и

и в о г н у т о с т и

к р и в о й

в т о ч к е ) .

Пусть

кривая

является

графиком

функции

у — f(x),

а точка M

этой

кривой

имеет абсциссу

с. Если

/ " ( с ) > 0 ,

то

кри

вая

точке

выпукла

книзу, а если

/"(с)<сО,

то

во

гнута

книзу.

Мы будем рассматривать случай, когда в точке с

вторая

производная

данной

функции

y — f(x)

непре

рывна.

f"(x)—непре

Допустим,

что

/ " ( с ) > 0 .

Так

как

рывна

при X —

с, то

незначительное

изменение х

влечет

за собой и незначительное изменение второй производ

ной. Поэтому			в	некоторой окрестности точки с				(слева
и	справа от		с)	f"(x) остается		положительной.		Отсюда,
в	силу признака			возрастания		функции	(§ 60),	следует,
что первая		производная			f'(x)	в этом	промежутке		воз
растает.
	Первая	производная			есть	угловой	коэффициент		ка

сательной, проведенной к кривой в данной точке, т.е. тангенс угла ф, образуемого касательной с положитель ным направлением оси Ох. При возрастании tgcp возра стает и угол ф (в направлении против движения часовой стрелки). Таким образом, угол наклона касательной к кривой увеличивается по мере приближения точки касания к M слева и продолжает увеличиваться при про движении точки касания вправо от M (хотя бы на не большом участке кривой). А тогда, рассматривая рис. 72, мы убеждаемся, что дуга кривой, изображаю щей функцию y = f(x), хотя бы на небольшом участке вблизи точки М, должна быть расположена выше каса тельной, т.е. кривая в точке M должна быть выпукла книзу*).

Подобные же рассуждения позволяют заключить, что если Г ' ( с ) < 0, то в точке M с абсциссой с кривая, изо бражающая функцию y — f(x), вогнута книзу (рис. 73).

*) Чтобы хорошо это понять, рекомендуется учащемуся вос произвести рис. 72, построив сначала только одни прямые, обра

зующие	с положительным направлением	оси Ох углы	фі < фг	<
< Фз <	. . . Тогда ясно видно, что кривую, которая		касалась	бы
этих прямых, приходится проводить выше		касательных.

203

Если	кривая	y —	f(x)	выпукла		(вогнута) книзу	при
всех, значениях х		в	промежутке		(а,	Ь), то говорят,	что
кривая	выпукла	{вогнута)		книзу	в	промежутке (а,	Ь).

Щ </>г 'Ѵ> Ц Щ V <Рг

Рис. 72.

Рис. 73.

§ 65. Точка перегиба. 1. Может случиться, что кривая, являющаяся графиком функции y=f(x), выпукла книзу в одних промежутках и вогнута книзу в других. На пример, кривая, изображенная на рис. 74, в промежутках

(а, Ъ) и	(с, d) выпукла книзу, а в			промежутке	(Ь, с)
вогнута	книзу.
Точку	M кривой	называют	точкой	перегиба, если		она
отделяет	участок	выпуклости	кривой	книзу от	участка
вогнутости книзу.		На рис. 74 точки В		и С являются		точ

ками перегиба. Ясно, что кривая, '.имеющая в точке пере гиба касательную, должна в точке перегиба переходить с одной стороны касательной на другую.

204

Точки перегиба, наряду с экстремумами функции, яв ляются «опорными» элементами для построения графи ков функций. Поэтому нам нужно научиться находить

точки	перегиба кривой по данному	ее	уравнению
y =	f(x).
2. Будем рассматривать функцию у =		}(х),	непрерыв

ную в промежутке (а, Ь) и имеющую непрерывные про

изводные У (х) и f" (х) в этом

промежутке.

f"{x)

Предположим, что

вторая

производная

ни

при

каком

промежутке

(a, by

не

обращается

Будучи

непрерывной,

она

будет

этом

промежутке

сохранять

неизменный

знак

(см.

61,

п.

где

устанавливается,

что

если

непрерывная

функция

изменяет

знак

проме

жутке (а,Ь),то

она

обяза

тельно

обратится

нуль

при каком-нибудь значе

нии

аргумента

из

этого

промежутка).

Следова

Рис.

74.

тельно,

этом

случае

кривая, изображающая данную функцию в промежутке (а, Ь), либо всюду выпукла книзу, либо всюду вогнута книзу, и, следовательно, точек перегиба не имеет.

Таким образом, если график функции y — f(x) имеет точки перегиба в промежутке (а, Ь), то только при тех

значениях

х, при

которых f"(x)

обращается

нуль.

Предположим

теперь,

что

f"(x)

обращается

нуль

в промежутке

(а,

Ь), но при этом лишь в конечном

числе

точек,

например

точках

С\ <

с2

. . . <

с&.

Тогда

в каждом

из

промежутков

(a, с{),

(cit

с2),

(с*, Ь)

вторая

производная

f"(x)

сохраняет

неизменный

знак.

Возьмем какую-нибудь из точек

Си

с2,

. . . , ск,

напри

мер Ci. Допустим,

что / " ( * ) > 0 в

промежутке (а, с4 ) и

j"(x)<.0

в промежутке

(с4 , с2).

Тогда

первом

про

межутке

график

функции

y = f(x)

направлен

выпук

лостью,

промежутке

(ci,

с2)

вогнутостью

книзу и,

следовательно,

при

х =

имеет

точку

перегиба.

По

добным

же

образом,

предполагая,

что

f " ( x ) < 0

в промежутке

(a,

Ci) и / " ( л : ) > 0

промежутке

(ci,

с2 ),

установим^ что

при

x = Ci кривая имеет

точку

перегиба.

Предположим,

наконец,

что

f"(x)

промежутках

^а, C i )

( c i ,

с2)

имеет одинаковые

знаки.. Тогда в

обоих

205

промежутках график функции направлен либо выпук лостью, либо вогнутостью книзу, т.е. во всем промежутке (а, с2) график функции сохраняет одно и то же на правление изгиба, и, следовательно, при х = Ci точки перегиба не имеет.

Такие же рассуждения позволяют решить вопрос о.точках перегиба графика функции при каждом из

остальных значений

с2, с3, . . . , сЛ аргумента.

Наши рассуждения приводят к следующему правилу

нахождения

значений

х,

при

которых

график

функции

У — !(х)

имеет точки

перегиба. Именно для

нахождения

указанных значений х

нужно:

вычислить

вторую

производную

f"{x)

от

данной

функции

y=*=f(x),

график

которой

мы

исследуем;

найти

те значения

внутри

промежутка

(а, Ь),

при

которых

f"(x)

обращается

в нуль;

пусть

эти

зна

чения

будут:

Ci, с2,

, ск;

производной f"(x)

каж

определить

знак

второй

дом

из

промежутков

(а.Сі),

(сі,с2),

(ch,b),

для

чего достаточно

установить

знак

f"(x)

при

каком-нибудь

одном

значении

каждом

из

этих

промежутков

(ср. § 61, п. 3).

Тем

самым

будет решен

и вопрос

о том,

изменяет

ли

f"(x)

знак

при

переходе

через

каокдую

из

точек d, с2, . . . ,

Ck или

не изменяет. Изменение

знака

f"(x)

указывает,

что

график

функции

y =

f(x)

имеет

точку

перегиба

при

рассматриваемом

значении

х.

Если

знак

f"{x)

не изменяется,

то точки

перегиба

нет.

Короче говоря, для нахождения точек перегиба кри вой надо по отношению ко второй производной от функ ции y = f(x) произвести такое же исследование, какое производится по отношению к первой производной при нахождении экстремумов функции (ср. § 61).

П Р И М Е Р 1. Найти точки перегиба графика функции

Р е ш е н и е . Находим вторую производную от заданной функ

ции:

i / " = - i - x - l = T ( x - 2 ) .

Вторая производная	существует и	непрерывна всюду;	при х = 2
она обращается в	нуль. Значение	х = 2 разбивает	промежуток

206

(—оо,

+ о о )

на

части:

(—оо, 2),

(2, + ° ° ) -

Определяя

знаки

второй

производной,

например,

при

дс =

0 и при х — 3, находим

знаки

ее

соответственно

в промежутках

( — о о ,

2) и

(2,- + ° ° ) .

Таким

обра-

soM

получаем://£_0

< 0

у'^=3>0.

Итак,

промежутке

( — о о , 2)

имеем

у"<0,

промежутке

(2,

оо)

имеем

у">0.

Отсюда

следует,

что

точке

абсциссой

х =

график

функции

имеет

точку

перегиба

что в

промежутке

(—оо,

кривая

во

гнута

книзу,

промежутке

(2,

+ о о ) — в ы п у к л а книзу.

Гра

фик

рассматриваемой

функции

изображен

иа

рис.

75.

П Р И М Е Р

Найти

точки

перегиба

графика

функции

у =

х*.

у' =

4х3,

Р е ш е н и е .

1 )

у"

\2хг.

у"

О ПРИ

X =

„

„-

у"

как

при

X <

Р и с -

5 -

так

и при * >

Следовательно, график функции при х

точки

перегиба

не

имеет,

кривая

у =

хі

во

всем

промежутке

( — о о , + о о )

выпукла

внизу (см. рис. 69).

66.

Схема

построения

графиков

функций. Объеди

няя рассмотренные нами отдельные элементы, характе


ризующие ход изменения		функции, перейдем теперь
к вопросу о построении графиков функций.
При построении графика рекомендуем руководство
ваться	следующей схемой	исследования функции:
1)	устанавливаем область определения		функции;

2)находим те значения аргумента, при которых функция имеет экстремумы;

3)находим значения х, при которых график функ ции имеет точки перегиба;

4)вычисляем значения самой функции і/ = f (JC) , от

вечающие	всем найденным	выше значениям аргумента
X. Таким	образом получаем	координаты «опорных» то

чек графика функции. Для большей точности построения графика можно присоединить еще некоторые другие точки, например точки пересечения графика с осями координат;

5) наносим на чертеж все найденные точки и, при нимая во внимание все результаты исследования, вычер чиваем самый график.

Разумеется, эта типовая схема не является строго обя зательной и в отдельных случаях может видоизменяться.

207

В	частности, если	выражение для	второй	производ
ной	оказывается	слишком сложным,	молено	ограни

читься построением графика на основе результатов ис следования первой производной. Поясним все сказанное

на

примере.

П Р И М Е Р . Построим

график

функции

хъ

У - Т

При построении графика будем руководствоваться только что

приведенной

схемой.

вся

Областью

определения

данной

примере

функции

служит

числовая

ось

(все

действительные

числа

или

промежуток

( _ о о ,

+ о о ) ) .

Вычисляем

первую

производную

данной

функции:

у'

хг +

2х

— х

(х

+ 2).

Находим

значения

х,

при

которых

производная

равна

x =• 0,

x — —

Отмечаем

найденные

значения

на

оси

Ох

под

ними, не

сколько ниже оси Ох, для указания того, что в этих точках произ водная обращается в нуль, ставим цифру 0 (рис. 76).


			Рис.		76.
Точками		x — — 2	и х =	0	промежуток			( — с о , + о о )	разби
вается	на участки: ( — с о , —2),			(—2,		0) и	(0,	+ о о ) . Так как произ
водная	данной	функции	непрерывна			в области		определения	функции
и обращается		в нуль только в двух				точках	(—2 и 0), то на		каждом

из указанных трех промежутках она (производная) во всех точках

имеет один и тот же знак. Для определения этих знаков		достаточно
установить знак в какой-либо одной	точке каждого промежутка. По
лагая, например, последовательно	х = —3, х ==. — 1	и х = 2,

208

получаем

— I ,

ffU-3

2 (2 +

2) =

1(—

I +

2) =

- 3 ( - 3 + 2 ) - + ' &

= _ | =

Следовательно,

промежутке

( — о о , —2)

производная

у' >

0, в

промежутке

( —2, 0)

производная

0 и, наконец,

промежутке

(2,

+ о о ) производная у'

Представляя для наглядности на рисунке под осью Ох знаки

производной, отвечающие

этим

трем

промежуткам,

заключаем,) что

в первом из них функция

возрастает,

во

втором

убывает

и в

третьем

опять

возрастает

что

точке

х = —2 функция

имеет

максимум, à в точке х = 0 — минимум.

Находим вторую

производную

данной

функции!

у" -=2х + 2=>2(х

I ) .

X =

нуль

вторая

производная

обращается

единственной

точке

—1.

Эта

точка

разбивает

промежуток

( — о о , + о о )

на

две

части:

( — о о , —1) и

( — 1, + о о ) . Знаки

второй

производной

каж

дом из этих двух промежутков остаются

неизменными, так как про

изводная всюду непрерывна. Для определения этих знаков

посту

паем так

же,

как

при определении

знаков

первой

производной

в каждом

из отдельных промежутков. Имеем

У ^ = _ 2 = 2 ( - 2 + 1 ) = - 2 , ^ = 2 ( 0 + 1) = 2.

Следовательно, у" < 0 в промежутке

(—со, —1 )

у" >

0 э

промежутке

( — 1 , +00) .

Результаты исследования второй производной наносим на рису

нок

под

пометками,

относящимися

исследованию

первой

произ

водной.

——1.

График

функции

имеет

точку

перегиба

абсциссой

В промежутке

( — о о , —1)

график

обращен

вниз

вогнутостью,

а в

промежутке

(—1, + о о ) — в ы п у к л о с т ь ю .

Вычисляем

значения функции

при найденных

пунктах

и 3) значениях

х:

г / х - _ 2 = - т

+ 4 = 3-,

ух—I

4" +

1 " = з " '

0х=О =

°-

Ох,

Находим абсциссы точек пересечения графика

функции

осью"

для чего решаем

уравнение

Получаем х = — 3 и х =

Для аккуратного вычерчивания графика функции определяем

угловой

коэффициент

касательной

графику

функции

точке

перегиба

графика.

Подставляя

для этого

выражение,

209

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4421 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20235.06 Mб27Тарасевич Р.М. Методы и средства проверки герметичности узлов, отсеков и систем летательных аппаратов учеб. пособие.pdf
#
29.10.2023956.29 Кб8Тарасов А.Г. Новое в расчетах и эксплуатации червячных фрез.pdf
#
29.10.20238.6 Mб7Тарасов А.И. Газы нефтепереработки и методы их анализа.pdf
#
22.10.202313.04 Mб8Тарасов, В. П. Загрузочные устройства шахтных печей.pdf
#
19.10.20232.65 Mб1Тарасов, Г. М. Памятка-пособие аппаратчика-отливщика основы кинофотопленки.pdf
#
22.10.202312.62 Mб63Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
20.10.20237.86 Mб6Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf
#
23.10.20235.37 Mб8Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf
#
20.10.20238.68 Mб4Тарлинг, Д. Движущиеся материки.pdf
#
19.10.20234.2 Mб5Тарновский, Ю. К. Механизированная разработка грунта в зимнее время.pdf
#
29.10.20233.46 Mб36Тарусов Б.Н. Сверхслабое свечение биологических систем.pdf