Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

63.	Найти" уравнение гиперболы,					координаты		фокусов которой
суть (0;	± 3 )		и действительная		ось равна 4.
Отв. 5//2		— 4л-2 =		20.
64.	Найти		угол	ср между	асимптотой		и действительной осью
гиперболы,		вершины		которой	отстоят	от	центра	2
								на -^- расстояния
								о
фокусов	от	центра.

Отв. cos ф = —,

65. Две вершины эллипса расположены в фокусах гиперболы, вершины которой лежат в фокусах эллипса. Уравнение эллипса есть

Найти уравнение гиперболы.

Отв. 9х2 — liß = 63.

66. Показать, что эксцентриситет равносторонней гиперболы ра вен отношению диагонали квадрата, сторона которого равна оси гиперболы, к стороне этого квадрата.

67. Чему	равен	эксцентриситет гиперболы, если известно, что
угол между ее асимптотами равен: а) 90°; б) 60°?
Отв. a)	V2; б)	~ ~ .

68.Доказать, что произведение расстояний любой точки гипер болы до асимптот есть величина постоянная.

69.Через произвольную точку Р гиперболы проведена прямая,

параллельная действительной		оси	гиперболы;		эта прямая		пересе
кает асимптоты в точках Q и R.			Показать,	что	PQ-PR =	аг.
70. Точка перемещается на плоскости таким образом, что произ
ведение угловых	коэффициентов		прямых,	соединяющих		эту	точку
с точками (—а;	0) и (а; 0),	остается величиной постоянной.					Пока

зать, что при этом движении точка описывает либо эллипс, либо гиперболу.

Па р а б о л а

71.Составить уравнение параболы, если известно, что:

а)	осью		симметрии	параболы	служит	ось Ох, вершина			лежит
в начале		координат и		расстояние	от вершины		до	фокуса	равно
6 единицам			длины;
б) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через
точку	(2; —5) и вершина			ее лежит	в начале	координат;
в) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через
точку	(—2; 4) и вершина			ее лежит	в начале	координат;
г)	парабола симметрична относительно					оси	Oy,	фокус	лежит
в точке (0;			4) и вершина — в начале координат;
д) парабола симметрична относительно оси Oy, проходит через
точку	(6;	3)	и вершина ее лежит в начале координату

е) парабола симметрична относительно оси Oy, проходит через точку (—6; —3) и вершина лежит в начале координат.

Отв.

а) У

± 2 4 * ;

у2

= Ц-х\ъ)

у2 = -8х;г)

х2

Щ;

д) х2 = 12//; е)

х2

12//.

72. Вершиной

параболы

служит

точка

{а;

Ь)

осью

симмет

рии — прямая,

параллельная

оси

Ох.

Вывести

уравнение

параболы,

если известно, что параметр ее равен

р.

Отв. (у~Ь)2

= ±2р(х — а).

У к а з а н и е .

См. § 24.

73. Парабола

проходит

через

точку

( — 1 ; — I )

и имеет

вершину

в точке

^ — 2 J .

Найти

уравнение

параболы,

если ось

ее

па

раллельна

оси Оіі.

Отв. 12Л:2 +

Збх +

У +

25 =

74. Вершина

параболы лежит в точке (2; 3); парабола прохо

дит через

начало

координат,

ось

ее

параллельна оси Ох.

Найти

уравнение

параболы.

9х =

Отв. 2у2 — 12і/ +

х = My2

-\-Ny

+ P

выражает

па

75. Доказать,

что

уравнение

раболу.

У к а з а н и е .

См. § 24.

76. Найти координаты вершины и фокуса и уравнения оси и

директрисы параболы у2 + 4у — 6х +

7 =

0. »

Отв. ( 1 ; - 2 ) ;

(2; - 2 ) ;

у +

2 =

х + 1 =

77. Найти координаты вершины и фокуса и уравнения оси и

директрисы параболы 4д;2

4х + Зу — 2 =

Отв.{-~;

і);

( - 1 ;

2х +

1 = 0;

1 6 / / -

19 =

78. Найти

уравнение

параболы,

если

начало

координат

совпа

дает с фокусом и осью параболы служит ось Ох; параметр равен р.

Отв. у2	—	±2рх + р2.
79. Найти уравнение параболы, если ось кривой и директриса
приняты соответственно за оси Ох и Oy; параметр равен р.
Отв. у2	=	±2рх	— р2.
80. Найти уравнение параболы, вершина которой находится в
точке (3; 2) и фокус в точке					(5; 2).
Ors. у2~4у		— 8х + 28 =			0.
81. Найти		уравнение		параболы, вершина которой лежит в					точке
(—1; —2)	и фокус в точке ( — 1; —4).
• Отв. X2	+	2х +	8у + 17 =		0.
82. Найти		уравнение параболы, у которой фокус лежит в точке
(2; —1), а директрисой служит прямая у — 4 =							0.
Отв. X2	— 4х +		100 — 11 = 0 .
83. Найти уравнение параболы, у которой вершина лежит в точ-і
ке (—2; —5),		а директрисой			является	прямая	х — 3 = 0.
Отв. у2	+	10// +	20Л; +	65 = 0.
84. Найти		уравнение		параболы,		у которой		вершина	лежит
в точке (5; —2), а директрисой является прямая								//-(-4 = 0.
Отв. хг	— 10х — 8у +			9 =	0.

85. Найти координаты вершины и фокуса, уравнения оси и. директрисы параболы:

а) х з — 8* — 16і/ +

32 =

г)

Ау2

-8у

— 13* - 1 2

= 0;

б) х2

- 8х + 8у + 8 = 0;

д) у = Юх - х2 ;

в) Зх2

2х + у + 5 =

е)

у2 -

4дс +

8 =

Отв. а)

(4;

1);

(4;

5);

х =

у +

3 =

б)

(4;

1);

(4;

- 1 ) ; * = 4 ;

< / - 3

В )

( т ;

~ 4 1 Г ) ;

("Г 5

~ 4

Т ) ;

3 *

- , =

°;

12^ +

5 5 = 0 ;

г> ( — f f '

( " Ж ' » і ) » - и Я 0 8 * + 4 2 5 - 0 і

д)

(5;25);

( 5 ; 2 4 - | ) ;

* =

4 0 - 1 0 1 = 0 ;

е)

(2; 0);

(3;

0); # =

х -

1 = 0 .

86. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить										пара
метр р этой	параболы,	зная, что	пролет	арки		равен		24	м, а	высо
та 6 м.
Отв. р =	12.
87. На рис. 39 изображен продольный					разрез			параболического
		зеркала. Найти абсциссу фокуса								зерка
		ла по данным		эскиза.
		Отв. X =		5,625.
		88. Предполагая,					что		проволока,
		соединяющая точки M и N							(рис. 40),
		имеет форму параболы, найти уравнение
		параболы при р =				0,1, Л == 1 и / =				10.
		Отв. у =		-	0,02 (1 +			ѴТГ) X		+
						+	0,002 (6 + ѴТГ) X2.
		У к а з а н и е .				Взять		уравнение пара
		болы	в" виде	у =		Ах2 + Вх + С.				Орди
		ната	вершины			определяется				соотно
		шением				ААС-В1
Рис.	39.		L			ААС-В1
Рис.	39.					4Л		*
			6	=		4Л		*
Кроме того,	парабола	проходит	через точки			M	и	N,	координаты

которых известны. На основании этих условий можно составить три уравнения относительно коэффициентов А, В, С.

89. Найти	точки пересечения двух парабол, имеющих				общую
вершину в начале координат, а фокусы — в		точках	(2; 0)	и	(0; 2).
Ors. (0; 0); (8; 8).		X	и
		X	и
90. Найти	точки пересечения эллипса	~JQQ^"Q^^^		с	п а Р а "

болой, вершина которой лежит в центре эллипса, а фокус которой совпадает с правым фокусом эллипса.

Отв. ( - | ; ± 2 / І Б ) .

91. В параболу (/2 = 2рх вписан равносторонний треугольник, одна из вершин которого совпадает с вершиной параболы. Найти длину стороны_треугольника.

Отв. 4j3 V 3.

92.Из начала координат проводятся прямые. Показать, что гео метрическое место точек, лежащих на этих прямых, ординаты кото рых равны абсциссам точек пересечения проведенных прямых с пря мой у = а, есть парабола.

93.Найти геометрическое место точек, кратчайшее расстояние

каждой из которых от данной окружности равно	расстоянию точки
от фиксированного диаметра этой окружности.
Отв. Две параболы.
\	/9

•л

Рис. 40.

04. Взаимно перпендикулярные отрезки AB и CD являются диа метрами окружности. Из каждой точки M окружности проводятся отрезки AM и ВМ. Отрезок AM пересекает диаметр CD в точке Ni через точку N проводится прямая, параллельная диаметру AB, пере секающая отрезок ВМ в точке Р. Показать, что геометрическим местом точек Р является парабола.

95. Вершина треугольника, основание которого остается неиз менным, перемещается так, что сумма тангенсов углов треугольника, прилежащих к • основанию, остается постоянной. Показать, что кри вая, описываемая вершиной треугольника, есть парабола.

96. Найти геометрическое место центров окружностей, проходя щих через данную точку и касающихся данной прямой.

Отв. Парабола.

97. Найти геометрическое место центров окружностей, касаю щихся данной окружности и данной прямой.

Отв. Парабола.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ГЛАВА IV

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 26. Некоторые соотношения между абсолютными величинами чисел. В математическом анализе постоянно приходится встречаться с необходимостью рассматри вать соотношения между абсолютными величинами раз личных выражений. Поэтому в настоящем параграфе мы напомним основные формулы, относящиеся к этому вопросу.

Напомним еще раз, что абсолютной

величиной

числа

а называется

само

число

а,

если

оно

положительное

или

нуль,

и число

—а,

если

отрицательное.

Абсолют

ная величина числа а обозначается символом

\а\.

Таким

образом

а\ =

а,

если

а ^

\а\=—а,

если

а <

Например,. .

.5| =

| - 5 |

= - ( - 5 ) =

1. Абсолютная

величина

алгебраической

суммы

меньше

или

равна

сумме

абсолютных

величин

слагае

мых:

| f l +

ô +

c +

. . . +

| < | а |

| 6 |

| с | +

. . . +

(1)

Справедливость

этого

предложения

иллюстрируется

примерами:

1) |3 + 5 + 8| = | 1 6 | = І б ;

[ 3 | + | 5 |

+ | 8 | =

3 +

5 +

8 =

16;

следовательно,

5 +

8| =

| 3 |

| 5 | +

[8[.

2) I - 3 - 5 - 8

| =

| - 1 6

| =

16;

I - 3 I +

| - 5 |

| - 8 ]

3 +

5 +

8 =

16;

следовательно,
1 - 3 - 5 - 8 1			I - 3 I + I - 5 I + I - 8 I .
3) \| 3 - 5 + 8\| = \| 6 \|			6;
\| 3 \| +	\| - 5 \| +	\| 8 \|	3 +	5 +	8 =	16;
следовательно,
	\| 3 - 5 + 8 \| < \| 3 \| + \| - 5 \| + \| 8 \| .
Очевидно, в соотношении				(1)	знак равенства		будет
иметь место в том случае, когда все слагаемые							имеют
одинаковые	знаки,	а	знак	неравенства, — когда			знаки
слагаемых	неодинаковы.
Следовательно,		в общем		случае,		т. е. когда	знаки

слагаемых алгебраической суммы могут оказаться как одинаковыми, так и различными, мы можем только

утверждать,			что	абсолютная величина				алгебраической
суммы		не	превосходит			(т. е. либо меньше, либо
равна)		арифметической				суммы абсолютных			величии
слагаемых.
2. Абсолютная				величина		произведения		любого	числа
сомножителей не				зависит		от знаков	перемножаемых чи
сел. Поэтому			всегда		имеем
		\ а • b • с . . . V \ — I а I • I Ь ] • I с I . . .							I и
3. Абсолютная				величина		частного не зависит от зна-.
ков	делимого		и делителя.			Поэтому	всегда	имеем
§	27.	Переменные			и постоянные		величины. Простое

наблюдение окружающего мира заставляет нас разли чать величины двух типов: постоянные и переменные. Так, например, расстояние от земли камня, брошенного вверх, есть величина переменная, а его объем — по стоянная величина.

Строго говоря, при этом и объем камня не остается постоянным, а изменяется от различных причин, напри мер от изменения температуры воздуха. Однако это из менение столь ничтожно, что практически объем камня, брошенного вверх, мы считаем постоянным. Вряд ли также кто-нибудь при покупке материи станет

учитывать изменение длины метра, которым меряется

материя, хотя	в действительности метр также находится
в постоянном	изменении под воздействием разнородных

причин (например, влажности и температуры воздуха), влияющих на вещество, из которого он сделан.

Таким образом, сама практика заставляет нас раз личать величины переменные и величины постоянные.

В математике мы отвлекаемся от физического со держания величины, интересуясь лишь числом, которым

она	выражается.
Математическая величина				называется	переменной,
если	она может получать		различные численные			значе
ния,	в условиях	рассматриваемого		вопроса.
Постановка		каждого	данного вопроса		определяет,

какие из рассматриваемых при этом величин являются переменными и какие постоянными.

Например, в треугольнике, вершина которого пере мещается по прямой, параллельной основанию, углы и боковые стороны суть величины переменные, а основа ние, высота, площадь и сумма углов — величины по стоянные.

Если же вершина треугольника перемещается по прямой, не параллельной основанию, то высота и пло щадь станут уже переменными величинами, а постоян ными останутся только основание и сумма углов.

Однако существуют и такие величины, которые остаются постоянными при рассмотрении любого во проса, любой задачи. К числу такого рода постоянных относятся, например, сумма углов треугольника, отно

шение длины	окружности к	диаметру (число л),	числа
5, — 1 , Уъ и	т. п.
Постоянные величины обозначают обыкновенно пер
выми буквами	латинского алфавита: а, Ь, с,		пере
менные же — последними: х,		у, г, ...

Во всем дальнейшем мы будем предполагать, что все рассматриваемые значения величин суть числа веще ственные.

§ 28. Бесконечно малые величины. 1. В математиче ском анализе исключительно важную роль играют пере менные величины, изменяющиеся так, что их численные значения неограниченно приближаются к нулю. Такие величины особо выделяются и свойства их подвергаются подробному изучению; они встречаются столь часто, что

9 6

им присвоено специальное краткое наименование, а

именно,	их	называют		бесконечно				малыми*).
О п р е д е л е н и е .				'Переменная				величина		а	назы
вается	бесконечно малой,				если		она	при	своем	изменении
становится		и затем		остается			по	абсолютной			величине
меньше	любого		наперед		заданного			сколь угодно			малого
положительного			числа	Б:
				I	а	I <	е.
Рассмотрим несколько примеров бесконечно малых
величин.		1.	Рассмотрим			маятник,			который,		будучи
П Р И М Е Р

выведен из положения равновесия, начинает совершать

колебания		(рис. 41). Будем		опреде
лять положение маятника углом а,						А
который он образует с вертикаль-						s**
ной	прямой		(положение	равнове- ,	/	,
сия). Угол		а	будем считать	положи-, \ (		, /
тельным или отрицательным в за-					\
мисимости		от того, справа или слева				Г
от	вертикали		находится маятник.			*
	В силу		сопротивления	среды		Рис. 41,
размахи колебания маятника будут

постепенно уменьшаться; поэтому, какое бы положи тельное число е ни было задано, отклонение а по аб солютной величине станет и впредь будет оставаться

меньше е.
Следовательно, а	есть	величина бесконечно малая?
при своем изменении	она	принимает как положитель

ные, так и отрицательные значения и значения, равные

нулю.
П Р И М Е Р 2.	Покажем,		что переменная	величина
у = к3 при неограниченном			приближении х к	нулю есть
величина бесконечно		малая.
Зададимся каким-нибудь положительным числом е,
например числом	е =	0,001.	Неравенство
		I у К	0,001
или, что то же,		\| * 3 \| <	0,001
		\| * 3 \| <	0,001

*) Недаром, как это мы отмечали во «Введении», дифферен циальное и интегральное исчисление называются также анализом бесконечно малых.

4 Н, П, Тарасов

будет выполняться, как только х, приближаясь к 0, ста нет по абсолютной величине меньше V 0,001 = 0 , 1 :

I л - К 0,1.

Очевидно, неравенство \у\<. 0,001 будет оставаться справедливым и при дальнейшем приближении х к нулю.

Возьмем теперь другое, меньшее положительное чис ло е, например е = 0,000 001. Неравенство

\у | < 0,000001

или, что то же,

I хъ ] < 0,000001

осуществится, как только х по абсолютной величине станет меньше Ѵо.ООО 001 = 0,01:

[ -V К 0,01.

Очевидно, неравенство | у | < 0,000 001 будет оставаться справедливым. и при дальнейшем приближении х к нулю.

Так же будет обстоять дело и для всякого наперед заданного числа е: как только х станет по абсолютной

величине меньше у е,

\x\<fl,

так будет выполнено неравенство I X* | < е,

и это неравенство будет сохраняться при дальнейшем приближении X к нулю.

Таким образом, переменная величина у при неогра


ниченном		уменьшении	абсолютной		величины	х, что за
писывают		в виде х->0,	удовлетворяет признаку, опре
деляющему бесконечно малую величину.
П Р И М Е Р 3. Покажем,				что отношение ~		при безгра
ничном	увеличении х, или, как говорят, при х, стремя
щемся	к	^ + о о (я — > v - foo),		есть	величина	бесконечно

малая.

Заметим прежде всего, что так как х неограни ченно возрастает, то мы можем рассматривать лишь

положительные		значения х, а				тогда
						_1_
						X
Возьмем	е =	ущооо" •			Неравенство
			- і _ <			L _
			X		1 ООО ООО
осуществится, как			только		х,	возрастая,	станет больше
1 ООО ООО и,	очевидно,			при		дальнейшем	возрастании х
неравенство	также		будет		оставаться справедливым.
Вообще,	каково		бы	ни	было задано		положительное

число е, неравенство

±<«

станет справедливым, как только х станет больше, чем

ибудет выполняться при дальнейшем возрастании

ПР И М Е Р 4. Отношение —-^- при безграничном воз

растании	X также есть величина бесконечно малая.	а
В самом деле, в определении бесконечно малой		а
сказано,	что а б с о л ю т н а я в е л и ч и н а переменной	а,

а не сама она, должна становиться и впредь оставаться меньше любого наперед заданного положительного чис ла е; поэтому будет ли переменная а при этом прини мать только положительные значения или только отри-, дательные, или будет при своем изменении становиться то положительной, то отрицательной, не играет никакой роли.

Когда х-*-	+	°о, то	1	А
Когда х-*-	+	°о, то	= — . А так как мы дока-
			= — . А так как мы дока-
зали, что		есть величина бесконечно малая при
я - > + оо, то,	значит, и — і - также			есть величина	бес
конечно малая.
П Р И М Е Р	5.	Рассмотрим опять переменную ~ и			по

кажем, что эта переменная является величиной беско нечно малой, когда х, оставаясь отрицательным, неогра ниченно возрастает по абсолютной величине. Именно этот случай имеют в виду, когда говорят, что х «стре мится к минус бесконечности» (х—*—со),

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20235.06 Mб27Тарасевич Р.М. Методы и средства проверки герметичности узлов, отсеков и систем летательных аппаратов учеб. пособие.pdf
#
29.10.2023956.29 Кб8Тарасов А.Г. Новое в расчетах и эксплуатации червячных фрез.pdf
#
29.10.20238.6 Mб7Тарасов А.И. Газы нефтепереработки и методы их анализа.pdf
#
22.10.202313.04 Mб9Тарасов, В. П. Загрузочные устройства шахтных печей.pdf
#
19.10.20232.65 Mб1Тарасов, Г. М. Памятка-пособие аппаратчика-отливщика основы кинофотопленки.pdf
#
22.10.202312.62 Mб63Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
20.10.20237.86 Mб6Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf
#
23.10.20235.37 Mб8Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf
#
20.10.20238.68 Mб4Тарлинг, Д. Движущиеся материки.pdf
#
19.10.20234.2 Mб5Тарновский, Ю. К. Механизированная разработка грунта в зимнее время.pdf
#
29.10.20233.46 Mб36Тарусов Б.Н. Сверхслабое свечение биологических систем.pdf