книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

X V I I веках, когда в Европе усиленно начал развиваться капитализм, пришедший на смену феодализму. Возник­ новение капитализма сопровождалось бурным развитием производства, что, в свою очередь, вызвало быстрый рост техники и естествознания. Потребности практики поста­ вили перед наукой и, в частности, перед математикой ряд новых задач, требовавших неотложного решения.

тематиков разных стран и народов такой аппарат, на­ конец, был создан.

Таким принципиально новым аппаратом, основан­ ным на введении в математику переменной величины,

которого составляет дифференциальное и интегральное исчисление.

которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейб­

ного и интегрального исчисления применялись учеными еще задолго до работ Ньютона и Лейбница; в зачаточном

чина возникает в геометрии в образе так называемых текущих коор­ динат точки.

10

инженера древности. Но заслуга Ньютона и Лейбница заключается в том, что ими была полностью выяснена глубокая внутренняя связь между дифференциальным исчислением и интегральным исчислением. Идея после­

принципиальное значение того мощного сдвига, который поставил учение о переменных величинах в центр вни­ мания математической науки и ее практических прило­ жений:

«Из всех теоретических успехов знания вряд ли ка­ кой-нибудь считается столь высоким триумфом челове­

Диалектика природы, Госполитиздат, 1952 г., стр. 214). После того как исчисление бесконечно ^малых офор­ милось в работах Ньютона и Лейбница как научная тео­ рия, последовала блестящая эпоха развития матема­ тики. Успехи анализа бесконечно малых естественно со­ провождались значительным развитием математического естествознания — и в первую очередь теоретической механики и математической физики. Новое учение бы­

этой теории стали возникать и разиваться другие мате­ матические дисциплины. Дифференциальное и инте­ гральное исчисление является в настоящее время фун­ даментом грандиозного здания математической науки, именуемого «математическим анализом». В построении этого здания значительная роль принадлежит исследо­ ваниям русских ученых.

Нет никакой возможности в кратком введении дать полное представление о громадном вкладе в матема­ тику, сделанном русскими учеными. Поэтому мы. оста­ новимся на заслугах лишь немногих ученых, сыгравших крупную роль в истории математики.

Культурные люди всего мира знают имя великого русского математика Николая Ивановича Л о б а ч е в -

*) В чем состоит эта связь, учащиеся поймут, лишь ознакомив-! шись с дифференциальным и интегральным исчислениями,

11

с к о г о (1792—1856). Основные работы Н. И. Лобачев­ ского, сделавшие его имя бессмертным, относятся к гео- метрии. Н. И. Лобачевский открыл новую геометрию., отличную от геометрии, известной со времен Е в к л и д а .

матиками того времени, получив всеобщее признание лишь после смерти Н. И. Лобачевского.

оставили глубокий след почти во всех областях мате­ матики. Ему принадлежат первоклассные работы не только в области чистой математики, но также и в об­ ласти прикладных наук. Так, его работы по теории ме­ ханизмов являются классическими.

Исключительное значение имела деятельность П. Л. Чебышева как воспитателя ряда крупнейших уче­ ных. Вместе со своими учениками П. Л. Чебышев создал так называемую петербургскую школу, оказавшую гро­ мадное влияние на развитие в России математики и ее

задач. В частности, ему принадлежит разработка тео­

12

е к а я (1850—1891). Среди различных исследований С. В. Ковалевской исключительно большое значение имеют ее работы по дифференциальным уравнениям в частных производных, — области, очень важной для приложений. Теорема С. В. Ковалевской о системах дифференциальных уравнений излагается теперь во всех курсах дифференциальных уравнений в частных производных. В 1888 г. С. В. Ковалевская получила пре­ мию Парижской Академии наук за работу по исследо­ ванию движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта работа принесла ей всемирную известность.

Великие русские математики прошлого века работа­ ли или в полном одиночестве, как Н. И. Лобачевский, или в окружении небольшого числа учеников. Их работы становились достоянием небольшого числа специали­ стов. Правительственные и официальные круги относи­ лись безразлично, а часто и враждебно к развитию нау­ ки в России. Читая биографии крупных русских ученых, изумляешься тойсиле воли, с какой они отстаивали интересы науки перед косностью официальных кругов.

лишь после Великой Октябрьской социалистической ре­ волюции.

Социалистический общественный строй имеет своей целью максимальное удовлетворение постоянно расту­ щих материальных и культурных потребностей всего об­ щества. Поэтому партия и правительство уделяют ис­ ключительное внимание развитию науки. Наша страна покрылась огромной сетью высших учебных заведений и научно-исследовательских институтов. Все граждане Советского Союза имеют доступ к образованию. Наука стала достоянием народа. На смену ученым-одиночкам времен царского режима пришли мощные научные коллективы, совместными усилиями преодолевающие трудности творческого пути.

Наряду со старыми научными математическим^ цент­ рами (Москва, Ленинград, Казань, Харьков) после Ве­ ликой Октябрьской революции возникли центры мате­ матической науки в Тбилиси, Саратове, Ташкенте, Одес­ се, Горьком, Томске, Свердловске, Новосибирске и в других городах.

Работа над одними и теми же проблемами целых математических коллективов привела к образованию

13

советских математических школ, возглавляемых круп­ ными советскими учеными.

Выдающаяся роль в развитии математики принадле­ жит школе теории функции, тесно связанной с именем

ветская школа теории вероятностей, продолжившая на­

А. Н. К о л м о г о р о в а , А. Я. Х и н ч и н а , С. Н. Б е р н - ш т е й н а (1880—1968), Н. В. С м и р н о в а (1900—1966) и других советских математиков имеют решающее зна­ чение в развитии теории вероятностей и ее практиче­ ских приложений.

Советскую школу теории чисел возглавляет Герой Со­ циалистического Труда академик И. М. В и н о г р а д о в . Его работы создали целое направление в теории чисел.

Здесь не представляется возможным даже вкратце рассказать о больших достижениях советских ученых в других областях математики. Упомянем лишь о выдаю­ щейся роли в развитии теории дифференциальных урав­

советские ученые не ограничивают своих интересов од­ ной какой-либо математической дисциплиной, а рабо­ тают в различных областях математической науки. Так,

она никогда не отрывала теорию от практики, а в прак­ тике руководствовалась результатами теоретических ис­ следований. Вот что говорил П. Л. Чебышев о связи теории с практикой: «Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только

14

практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее; она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах, давно известных» (Избр. матем. труды. Гостехиздат, 1946, стр. 100).

Примерами блестящего сочетания теории с практи­ кой служат работы крупнейших отечественных инжене­

возможность фигур высшего пилотажа, и эти его тео­ ретические работы блестяще подтвердил капитан рус­ ской армии П. Н. Нестеров (1887—1914), первый в мире сделавший «мертвую петлю». H . Е. Жуковский зани­ мался также разнообразными вопросами техники и ме­

одним из наиболее ярких представителей механики по­ следнего времени. В своих работах по теории авиации он применил новые математические методы, давшие блестящие результаты. Наряду с этим он занимался и чисто математическими вопросами; так, например, он дал новый способ приближенного решения некоторых классов дифференциальных уравнений (усовершенство­ ванный впоследствии H. Н. Лузиным).

А. Н. Крылов работал в области кораблестроения и навигации; его работы в этой области имеют классиче­ ский характер. Подобно H . Е. Жуковскому и С. А. Чап­ лыгину, он оставил после себя и ряд ценных математи­ ческих иследований. А. Н. Крылов был исключительным знатоком приближенных методов в математике и яв­ ляется изобретателем сложной математической расчет­ ной машины. А. Н. Крылов уделял много внимания ис­ тории математики. Его перу принадлежит прекрасный перевод классического сочинения И. Ньютона «Матема­ тические начала натуральной философии»; этот перевод 'А. Н. Крылов снабдил ценными комментариями,

15

Очевидно каждой точке M плоскости соответствует единственная пара координат х, у.

Обратно, каждой паре чисел х, у соответствует единственная точка M плоскости, координатами которой являются эти числа. В самом деле, пусть оба числа х и у отличны от нуля. Отложим от начала координат О

пересекутся в единственной точке M плоскости, для которой числа х и у являются, очевидно, ее координатами.

числам соответствует точка М, совпадающая с началом координат О.

Итак, каждой точке M плоскости соответствует един­ ственная пара координат х, у, и обратно, каждой паре координат X, у отвечает единственная точка M плоско­ сти. Как говорят, точка M вполне определяется своими координатами.

Если точка M имеет координаты х, у, то это обозна­ чают так: М{х; у).

Из всего сказанного следует, что введение понятия координат точки позволяет решить задачу определения положения точки на плоскости при помощи чисел.

Оси координат разбивают всю плоскость на 4 части, называемые четвертями или квадрантами, нумерация которых указана на рис. 3.

18

На нижеследующей таблице приведены знаки коор­ динат точек, лежащих в соответствующих квадрантах:

*) Предполагается, что масштаб на осях координат указан.

19