Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 445 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Итак, каковы бы ни были коэффициенты А, В и С уравнения (при условии, что хотя бы один из коэффи циентов А или В не равен нулю), уравнение (11) вы-

4ражает прямую. Теорема доказана.

§8. Неполные уравнения прямой. Как мы только что доказали, каждое уравнение первой степени

	Ах + By + С =	0	(11)
выражает	прямую. Рассмотрим	некоторые	ч а с т н ы е
с л у ч а и	этого уравнения, именно, случаи,		когда один

или два из его коэффициентов А, В, С обращаются в нуль.

I .	С = 0,	АфО,		ВфО.
Уравнение	(11) принимает		вид
	Ах	+	Ву = 0.	(12)

Координаты точки (0;0), т. е. начала координат, удов

летворяют уравнению (12). Следовательно, если в

урав

нении

прямой

отсутствует свободный

член,

то

прямая

проходит

через

начало

координат.

I I .

Л =

ВФО,

СфО.

Уравнение

(11)

принимает

вид

ß y - f - C

—0

или

(13)

это

есть

уравнение

прямой,

параллельной

оси

Ох

(см. §

6).

В =

АфО,

СфО.

I I I .

этом

случае

уравнение

(11)

принимает

вид

Ах

-f-

С =

или

выражает

прямую,

парал

лельную

оси

(см. § 6).

если

Из

рассмотрения

случаев

I I

I I I

следует:

уравнении

прямой

нет члена,

содержащего х,

то

прямая

параллельна

оси

Ох;

если в

уравнении

прямой

нет

чле

на,

содержащего

у,

то прямая

параллельна

оси

Oy.

IV .

Л =

С =

ВФО.

Уравнение

(И)

принимает

вид

Ву

или

у =

это

уравнение,

как

мы видели

является

уравнением

оси Ох.

АфО,

. -

ß =

С =

Уравнение (11) принимает вид Ах = О или х = 0; это уравнение, как мы видели в § 6, является уравнением оси Oy.

П Р И М Е Р

Прямая

Зх +

5у

= 0

проходит через

начало

ко

ординат,

так

как в

ее

уравнении

свободный член

равен

нулю.

Прямая 2х—-5

параллельна

оси

Oy,

так

как

ее

уравне

нии

отсутствует

член,

содержащий

у.

Уравнение

Зх — 0

может

быть

приведено

виду

яв

ляется

уравнением

оси

Oy.

П Р И М Е Р

Построить

прямую,

заданную

уравнением

Зх-\-Ау~

11 = 0 .

Р е ш е н и е .

Найдем

сначала

способом,

указанным

§ 5

(пункт 7 ) , какие-нибудь две точки, лежащие на этой прямой.

Поло

жим, например,

в данном уравнении

х —. 1. Тогда

для у

найдем

зна

чение

у =

Положив

X =

— 3 ,

получим

Итак,

мы

нашли

две

точки

(1;

2) и

( — 3; 5 ) ,

лежа

щие

на

нашей

прямой.

Построив

эти точки, проведем через них

прямую

(рис.

18),

определяемую

заданным

уравнением.

§ 9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку (уравнение пучка пря мых). Пусть дана точка

М(х\\ Уі)- Требуется найти уравнение прямой, проходя щей через эту точку. Будем искать уравнение прямой в виде (6):

у = kx + Ь,

где	к и	Ь — подлежащие	определению коэффициенты
(или, как часто говорят, параметры).
Задача		содержит только	о д н о условие — прохожде
ние	прямой через данную точку, а одного условия			недо
статочно		для определения	д в у х н е и з в е с т н ы х	ко

эффициентов. Очевидно, в данном случае мы сможем только выразить один из параметров через другой и, таким образом, придем к уравнению, которое будет со держать произвольный коэффициент, т. е. коэффициент, могущий принимать любые числовые значения. Отсюда следует, что мы. получим уравнение, выражающее не одну определенную прямую, а совокупность бесчисленного множества прямых. Это обстоятельство не противоречит

постановке задачи, так как через одну заданную точку можно провести бесчисленное множество прямых.

Переходим к решению задачи.

Так как точка M(x\;ij\) лежит на нашей прямой, то координаты (хиуі) должны удовлетворять уравнению (6), т. е.

г/і = kxi + b.

Выразим из этого равенства коэффициент b через k:

			b = yv —	kxv
Подставив		теперь	найденное выражение			коэффициента
b в	уравнение (6),		получим: у =		у\ — kxx или
		У — Уі = k (х — Ху).				(14)
В	этом	уравнении величина		углового		коэффициента

k остается неопределенной и поэтому может принимать различные значения. При различных значениях k мы получим уравнения различных прямых. Но все эти пря


мые проходят через		точку	М(хиу\),	так как координа
ты х\ и уі удовлетворяют			уравнению		(14) при любых
значениях k. Поэтому говорят, что уравнение (14)						есть
уравнение	пучка	прямых,	проходящих		через	точку
М(хл\у\).	Очевидно, уравнение			(14) выражает		пучок
всех прямых, проходящих			через точку		М{Х\,у{),	кроме

прямой, параллельной оси Oy, так как в этом случае

коэффициент	k не существует.
П Р И М Е Р .	Найти уравнение пучка прямых, проходящих			через
точку (—3; 5).			(14) Хі —,—3, tji = 5,
Р е ш е н и е .	Полагая в	уравнении	(14) Хі —,—3, tji = 5,	по
лучим
	у -	5 = k (X +	3),

т. е. искомое уравнение пучка, где k — произвольный множитель.

§ 10. Уравнение прямой, проходящей через две дан

ные точки. Пусть	даны две точки: Mi (хх; ух)			и ^ ^ й ) ,
причем X ] ф х2,	УІ Ф у% Требуется составить уравнение
прямой, проходящей через эти точки.
Для этого напишем уравнение пучка прямых, прохо
дящих через одну из данных		точек,	например через
точку Mi (XÙ yi).	Это уравнение	имеет	вид	(14)

у — ух = k {х — *,).

Искомая прямая является одной из прямых пучка (14), именно той прямой, которая проходит через точку


М2(х2;у2).		Значит, для искомого				уравнения величина k
в	уравнении (14)		должна	иметь		определенное		значение,
а	именно	такое,	при котором		уравнению		(14)	удовлет
воряли бы		координаты х2,		у2	точки М2.		Подставляя, в

уравнение (14) координаты х2, у2 вместо текущих коор

динат, найдем

искомое значение k:

Х2 — Хх

Следовательно

искомым уравнением будет уравнение

или

•*2 — Х\

у — г/і

— Ху

(15)

Уг — У\

х2

П Р И М Е Р .

Найти

уравнение

прямой,

проходящей

через

точки

(1;

2) и ( - 3 ; 5).

Хі = 1, уі =

уг =

Р е ш е н и е . Полагая

в уравнении

(15)

х 2 = — 3 ,

5, получим

У - 2

5 - 2

- 3

или

Зх +

4у-

= 0 .

З а м е ч а н и е

I . Мы вывели

уравнение (lö)

в предположении,

что

Хі ф х2 и у\

ф у2.

Если Хі —

х2

или уі = у2,

то один

из

зна

менателей в уравнении (15) обращается в

0; а так как деление на

нуль невозможно, то рассматриваемая прямая уравнением

(15)

не

может быть выражена. Если уі

= у2, то прямая параллельна

оси

Ох;

если

же ХІ = х2,

то

прямая,

проходящая

через

точки

Мі

М2,

оказывается параллельной оси Oy. Но такие прямые выражаются

соответственно		уравнениями	(7) и (8) (см. § 6),		и поэтому в указан
ных	случаях	обращаться	к уравнению	(15)	нет необходимости,
1	З а м е ч а н и е 2. Выше мы установили			формулу

Х2 — Х\

определяющую угловой коэффициент k прямой, проходящей через точки jWi(xi,(/i) и М2(х2, Уг). Эта формула очень удобна для вычис ления углового коэффициента прямой по координатам двух ее то чек, и мы рекомендуем широко использовать ее при решении соот ветствующих задач (см., например, задачи 17, 25, 30, 33 и др., при веденные в упражнениях к настоящей главе).

§ П. Уравнение прямой в отрезках. Уравнением пря мой в отрезках называют такой вид уравнения прямой, ко торый соответствует заданию прямой точками А (а; 0) и

ß(0;Ö) (рис. 19), т. е. точками, в которых прямая пере секает соответственно оси Ох и Oy (при этом предпо лагается, что а ^ О и і і ^ О ) .

Рассматриваемый способ задания прямой есть част ный случай задания прямой двумя точками. Поэтому для нахождения искомого уравнения мы воспользуемся

уравнением (15) и положим

нем

— а, у{

х2

—

О,

г/г =

Ь;

тогда

при

дем к уравнению

X — а

(16)

0 - а

которое

легко

приводит

ся

виду

Рис.

19.

Т +

£ = 1 -

(17)

Таков окончательный

вид

уравнения

прямой

в отрезках.

П Р И М Е Р .

Найти

уравнение

прямой,

пересекающей

ось

Ох

в точке ( 5 ; 0 ) и ось Oy в точке

( 0 ;

— 3 ) .

Р е ш е н и е . Полагая в уравнении

( 1 7 ) а — 5, Ь =

— 3 ,

получаем

5 ^

- 3

I .

или

Зх-Ъу

— 15 =

§ 12. Угол между двумя прямыми. 1. Пусть две пере

секающиеся прямые

и CD

(рис.

20)

заданы

урав

нениями

y=*kxx

(AB)

y =

k2x+b2.

(CDl

Будем предполагать, что эти прямые

не

являются

вза

имно перпендикулярными*). Пересекаясь в точке

Р,

они образуют два угла: острый угол

ZBPD

а, и

ту

пой угол ZDPA

= 180° — а.

При решении некоторых задач из этих двух углов нужно бывает найти один определенный.

Назовем один из двух углов, образуемых данными


прямыми, углом между прямой						CD и прямой AB, а дру->
гой — углом между				прямой	AB	и прямой CD,
*) В		§	13 будет	показано,	что	прямые	пересекаются,	если
ki Ф,к2,		и не	перпендикулярны, если kfa ф — 1.				Мы предполагаем,
что	угловые		коэффициенты заданных			прямых удовлетворяют		обоим
этим	условиям.

4 4

соответствии

с определением

угла наклона

прямой

к оси

Ох

углом

меоісду прямой

прямой

будем

называть

угол,

на

который нужно

повернуть

около

точ

ки

прямую

положительном

направлении

(т. е.

против

движения

часовой

стрелки),

чтобы

она

совпала

с прямой

CD. На

рис.

этот

угол

/.BPD

а.

Анало

гично

определяется

угол

между

прямой AB

прямой

CD.

(В

нашем

случае

этот угол

/DPA

180° — а . )

2. Переходим теперь к вопросу

об

определении

угла

а между

прямой

CD и прямой AB

по заданным

уравне

ниям

этих прямых.

Пусть прямая

образует

с осью

Ох угол

фі, а

пря

мая

CD — угол

ф2. Из

рис. 20 имеем

а =

фг— фь

сле

довательно,

tg<pg — tg<Pi

tg а =

tg (ф2 — ф,) =

1 +

tg ф! tg ф2

Но,

как

известно

(§

5),

tg фі =

^і, tgф2 =

&2;

по

этому

— &i

(18)

Выведем формулу, определяющую тангенс угла, об разуемого прямой AB с прямой CD. Обозначим этот угол через ß. Тогда будем иметь

t g ß = t g ( 1 8 0 ° - a ) =

= — t g a = —

или

k2 — ky

1 -+- Аі^г *

t g ß =	k, —	k2
t g ß =	1 +	M	*
Формулы	(18)		и
отличаются	друг		от друга
только знаками.			Заметим,
что в числителях этих фор
мул вычитается		угловой		ко-	Рис. 20.
эффициент	той		прямой,	с

которой данная прямая составляет угол, определяемый формулой (18) или (18*).

Если в задаче нет указания, какой именно из двух углов между прямыми требуется найти, то безразлично, от какой из данных прямых производить отсчет угла,

4 5

т. е. безразлично, какой из формул —(18)								или (18*) —
мы воспользуемся для решения задачи.
Поясним	сказанное примерами.
П Р И М Е Р	1.	Найти угол			между прямыми
	2х — Зг/ +			5 = 0	и	х + 2у +	2 = 0.
Р е ш е н и е .	Решая		каждое		из	данных	уравнений относитель
но у , приведем	их к виду уравнений с угловым							коэффициентом:
соответственно	получим
		2	,	5		1	.
	У =	Т Х	+	Т'	!> = ~ ^ X		~ L

Так как в задаче нет указания, требуется ли найти угол, обра зованный первой прямой со второй, или наоборот, то безразлично какой из угловых коэффициентов принять за вычитаемый. Таким образом, можем написать

tg а = -, , 2

1 \ ~ 4

откуда а =

arctg -^-.

•M)

П Р И М Е Р

Найти

уравнение

прямой,

проходящей

через точ-

ку

(—2; 0)

и образующей

угол

прямой

Зх - - f - 4(/+ б =

arctg—

Р е ш е н и е .

Воспользуемся

уравнением

прямой,

проходящей

через данную

точку:

y — y, = k(x

— X,).

В нашем

примере Хі =

—2, уі =

Подставляя

эти

значения

в уравнение,

получим

k (х + 2).

Для нахождения углового коэффициента k искомой прямой за

метим, что речь

идет

об угле, который

и с к о м а я

прямая

образует

данной.

Поэтому

отсчет

угла

arctg

следует

производить

от

д а н н о й

прямой;

соответствии

этим в

числителе

формулы,

определяющей тангенс заданного угла, нужно вычитать угловой

коэффициент	д а н н о й прямой из углового	коэффициента	k искомой
прямой, а не наоборот.
Угловой	коэффициент данной прямой	найдем из ее	уравнения;
он равен —	. Следовательно,

* - Н )

откуда

& =

~ ,

Итак, искомое

уравнение

будет

1о

или

х+

18г/ +

2 =

Если же требовалось бы найти уравнение прямой, проходящей

через точку (—2;

0),

с к о т о р о й

прямая 3* +

4</+ 6 =

обра

зует угол arctg-g-,

то для

определения

углового

коэффициента k

мы имели

бы

уравнение — =

откуда

k =

и,

1 - f *

следовательно,

искомое уравнение

было

бы

# =

2),

или

17* + 6у +

34 =

§ 13. Условия параллельности и перпендикулярности

двух прямых. 1.

Условие

параллельности.

Если

прямые

параллельны, то они образуют с

осью

Ох одинаковые

углы. Поэтому

угловые коэффициенты

и k2 этих

пря

мых равны (ki

k2).

Обратно,

если

k\ —

k2, то

углы

наклона

прямых

к оси Ох одинаковы, откуда

следует,

что

данные

пря

мые параллельны.

Итак,

условием

параллельности

двух

прямых

яв

ляется

равенство

их угловых

коэффициентов;

ki=k2.

(19)

З а м е ч а н и е . При установлении условия параллельности двух прямых мы не пользовались найденными в предыдущем параграфе формулами (18) и (18*), потому что они были выведены в пред положении, что данные прямые пересекаются. Однако легко видеть, что эти формулы сохраняют силу и для случая, когда прямые AB

иCD параллельны.

Всамом деле, угол а между двумя параллельными прямыми равен 0°. А тогда tg а = 0. С другой стороны, из условия парал

лельности, т. е. из равенства	kz — kit следует, .что kz — ki — 0, и
по формуле (18) получаем
1 +	M s

2. Условие	перпендикулярности*).	Формула (18) опре
деляет угол а	между пересекающимися прямыми		через
i g а. Если а = 90°, то эта формула		оказывается	непри

менимой, так как tg90° не существует. Именно по этой

причине мы при выводе формулы		(18) предполагали,
что	данные прямые пересекаются	под углом, отличным
от	прямого.

Рис. 21.

Если прямые взаимно перпендикулярны, то (рис. 21)

ф2 = Фі + 90°,

откуда

tg Ф2 = tg (ф, + 90°) = - ctg ф„

или

Заменяя tg фі и tgф2 через k{ и k2, находим

h — — тг.

или

1 + kik2 = 0.

Обратно, пусть

k2= TT .

Это значит, что

= - T U T •

или

tgq>2 = —ctgq>lf

*) Предполагается, что ни одна из двух данных прямых не пер пендикулярна оси Ох.

4 8

или

tgq>2 =

tg(q>,+90o ),

откуда

получаем

= ф 1

90о .

ф 2

Следовательно,

угол

между

данными

прямыми

равен

90°, т. е. прямые

взаимно

перпендикулярны.

Итак, условие

перпендикулярности

двух

прямых

со

стоит в

том, что угловые

коэффициенты

этих

прямых

обратны

по абсолютной

величине

и противоположны

по

знаку:

* 2 = - J - .

(20)

П Р И М Е Р

Найти

уравнение

прямой,

параллельной

прямой

З х — 5у +

6 = 0 и проходящей

через точку (—2; 3).

Р е ш е н и е .

Уравнение

пучка

прямых,

проходящих

через

точку

(—2; 3), имеет вид (см. формулу

(14))

у -

3 =

k (х + 2).

Так как искомая прямая параллельна

прямой

Зх — 5</ +

6 = 0,

то ее угловой

коэффициент

равен

угловому коэффициенту

данной

прямой,

т. е. равен

— ;

полагая

в уравнении

пучка

k =

-§>

полу

чим искомое уравнение

или

З х - 5 0

21 = 0 .

П Р И М Е Р

2. Найти

уравнение

прямой,

перпендикулярной

к пря

мой 7х + 9у + 1 = 0 и проходящей

через точку

(5; 3).

Р е ш е н и е .

Угловой

коэффициент

данной

прямой

есть

—-тт.

Следовательно,

в силу условия

(20), угловой коэффициент искомой

прямой

равен

- у .

Составляя

по

формуле

(14)

уравнение

пучка

прямых, проходящих через точку (5; 3), и полагая k = —, получим искомое уравнение

или

9х — 7у — 24 = 0. .

§ 14. Пересечение двух прямых. Даны две прямые,

.заданные уравнениями

Л,лс + 5,у + С, = 0,

Агх + В2у + С2 = 0.

4 9

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 445 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20235.06 Mб27Тарасевич Р.М. Методы и средства проверки герметичности узлов, отсеков и систем летательных аппаратов учеб. пособие.pdf
#
29.10.2023956.29 Кб8Тарасов А.Г. Новое в расчетах и эксплуатации червячных фрез.pdf
#
29.10.20238.6 Mб7Тарасов А.И. Газы нефтепереработки и методы их анализа.pdf
#
22.10.202313.04 Mб9Тарасов, В. П. Загрузочные устройства шахтных печей.pdf
#
19.10.20232.65 Mб1Тарасов, Г. М. Памятка-пособие аппаратчика-отливщика основы кинофотопленки.pdf
#
22.10.202312.62 Mб63Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
20.10.20237.86 Mб6Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf
#
23.10.20235.37 Mб8Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf
#
20.10.20238.68 Mб4Тарлинг, Д. Движущиеся материки.pdf
#
19.10.20234.2 Mб5Тарновский, Ю. К. Механизированная разработка грунта в зимнее время.pdf
#
29.10.20233.46 Mб36Тарусов Б.Н. Сверхслабое свечение биологических систем.pdf