книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник
.pdfДоказано, что этот предел есть число иррациональ ное. Принято обозначать его буквой е.
Итак,
lim (1 + |
а ) ° = е . |
а->0 |
|
Число е имеет в анализе |
очень важное значение. В то |
время как для вычислительной практики за основание системы логарифмов удобно принять число 10, в теоре тических исследованиях удобнее пользоваться системой логарифмов, основанием которой является число е.
В дальнейшем натуральный логарифм числа N, т.е.
loge Л', мы будем обозначать символом In N. |
|
|
|
3. Пусть а — е и b — 10. Тогда |
согласно |
формулам, |
|
полученным в пункте 1, имеем |
|
|
|
log1 0 N = log, N • log1 0 е = log, N • lQg* |
,Q . |
|
|
Система логарифмов, в которой за основание |
принято |
||
число е, называется системой натуральных |
или |
неперо |
|
вых логарифмов. Модуль перехода |
от натуральной си |
||
стемы логарифмов к десятичной |
приближенно |
равен |
|
0,43429 . . . |
|
|
|
Таким образом,
log1 0 iV « log, N- 0,43429.
Аналогично,
loge iV = log|0 iV • loge 10 =
= l 0 ^ N • і З і Ь г ~ 1ЦШ ~ ^oN • 2,3021.
§ 55. Производная логарифмической функции. Про изводная функции у = logo X равна произведению вели чины, обратной аргументу х, на модуль системы лога рифмов:
<XogaxY = |
±logae. |
(XIV) |
Для случая а = е имеем |
logQ е = loge е = |
1, и фор |
мула (XIV) принимает вид |
|
|
(in * ) ' = • £ • . |
(V) |
|
170
т. е. |
производная |
функции у = In х равна |
обратной |
вели |
чине |
аргумента |
х. |
|
|
Формула (XV) имеет более простой вид, чем формула |
||||
(XIV); в этом |
обнаруживается одно |
из важных |
для |
|
математического анализа свойств натуральных лога рифмов.
Вывод формулы (XIV), ввиду его некоторой слож ности, выходит за рамки нашего курса. Тем не менее мы приведем этот вывод для наиболее подготовленных читателей.
Следуя общему правилу нахождения производной, имеем
1)ff=iogax.
2) |
у |
+ |
Ау=> |
l o g a |
(х + |
ДА). |
3) |
у |
+ |
Ау = |
Joga (х + |
Л*) |
|
|
|
|
Ачу = |
logo |
(А- + |
ДА) — l o g a X = logo-Х + Ах |
Чтобы найти предел отношения -—- при ДА -> 0, представим полученное выражение в следующем виде:
X I X
Ах
ила
|
|
|
|
ДА- |
|
|
|
|
|
|
|
где |
положено |
а ~ ~ ~ - |
|
|
|
|
|
|
|||
|
5) |
Когда |
ДА -> 0, |
то — |
остается |
величиной |
постоянной; вели- |
||||
|
|
ДА: |
> 0 |
|
|
ДА: -> 0, |
|
х |
|
|
|
чина |
a = |
(так как |
а |
остается |
неизменным); по- |
||||||
ложим |
(1 + a ) a = |
и; |
тогда |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
loga |
(1 + |
a ) a |
= |
logo и, |
где |
и = (1 + |
a ) a . |
|
171
|
|
|
|
и— |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
Когда |
Л.ѵ->0, |
то |
lim |
lim |
( 1 + а ) а |
= |
lim |
(1 |
+ а ) а = е . |
|||
|
|
Ах->0 |
|
Д.ѵ-»0 |
|
|
|
а - »0 |
|
|
|
|
Функция log„ к |
непрерывна |
при любой значении аргумента |
н, а, зна |
|||||||||
чит, в |
частности, и при и = е. |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
lim |
logn " — |
l " m |
l°g« |
и — |
loga |
е. |
|
|
|
|
|
|
д.ѵ->о |
|
|
н->е |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
l |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
j l o g a ( l + a ) « |
|
|
|
|
||||||
|
|
д.*-» о |
— logo e, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Лх-»0 |
йЛ, |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
П Р И М Е Р |
Ы. Продифференцировать |
следующие |
функции: |
|||||||||
1. г / = 1 п ( х 3 |
+ 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
.(*3 + |
2)' = |
_ 3 £ ! _ J |
( П 0 |
формулам |
(XV) |
и |
(VI)). |
|||
У = л-3 + 2 |
||||||||||||
2. у = 1пУ 1 Р е ш е н и е .
Этот пример можно) решить и по-другому:
= 1 п У і - х * = 1 Iі п ( 1 - х 2 ) ,
откуда |
|
I |
,/ = ±[\п |
( 1 - х 2 ) У = |
(по формулам (III), (VI), (XV)).
2 1 - X2 (ѵ - 2 х )' = X2 - 1 J
§ 56. Производная степени при любом показателе степени. Когда мы в предшествующих параграфах выво дили производные различных функций, то получение формулы для производной каждой функции являлось вместе с тем доказательством существования этой про изводной. Нам предстоит вывести еще формулы для производных ряда функций. Однако выводы этих фор мул с одновременным доказательством существования производной от соответствующей функции оказываются уже довольно затруднительными и выходят за рамки на шего курса, Поэтому мы ограничимся выводом самих
172
формул дифференцирования, исходя из предположения, что производные рассматриваемых функций существуют.
Пусть дана функция
|
У = |
ха, |
где а — любое вещественное |
число и х > 0 . Как было |
|
только что сказано, |
мы предполагаем, что производная |
|
у' данной функции |
существует. |
|
Взяв натуральные логарифмы от обеих частей ра |
||
венства у — ха, получаем |
|
|
|
In у = |
а\пх. |
Функция In у есть сложная функция от х, так как натуральный логарифм берется от у, a у есть функция от X. Поэтому по формулам (XV) и (VI) получим:
(\пу)' = |
±-у'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная |
правой |
части |
равенства In у = а In х |
||||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а In х)' = |
а • |
- |
J . |
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
у' = (Ху = у . ± = х |
а . ± = аха~К |
( I X ) |
||||||
|
|||||||||
Пусть |
теперь х < 0. Положим |
х = |
— z ( z ^ > 0 ) . |
По |
|||||
правилу |
дифференцирования |
сложной |
функции |
и по |
|||||
формуле |
(IX) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ху = [(_ 2)аУ = [ ( - 1)а гау = ( - l ) f l |
- aza~l |
• z\ |
|
||||||
Так как z = — х, |
то z'= |
— 1, |
поэтому |
|
|
|
|||
(хау = ( - 1 ) ° а • 2 е - 1 ( - 1 ) = ( - l ) a + I |
aza~l |
= |
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
*={-\)a-l(-V?aza-\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(хау = ( _ If-iaz"-1 |
= |
|
а(-z)a~l, |
|
|
|||
|
{xaY=axa-K |
§ 57. Производная показательной функции. Возьмем |
|
от обеих |
частей равенства у — ах(а > 0, а Ф 1) нату |
ральные |
логарифмы: |
|
Іп у — X In а. |
173
Функция In у есть функция от функции, потому что логарифм берется от у, а у есть функция от х. Поэтому находим
|
|
|
|
у |
/ = 1 п а |
* |
) , |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,/ |
|
|
|
= {axY=y\na=ax[na. |
|
(XVI) |
|||||
Итак, |
производная |
|
показательной |
функции |
ах |
равна |
|||||
произведению |
самой |
показательной |
функции |
и |
нату |
||||||
рального |
логарифма |
основания. |
|
|
|
|
|||||
В |
частном |
|
случае, |
когда |
а = |
е, имеем |
функцию |
||||
У = |
ех. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле |
(XVI) |
|
получаем |
|
|
|
|
||||
t/ |
|
|
|
|
= (exy = ex\ne |
= ex, |
|
(XVII |
|||
т. е. |
производная |
показательной |
функции ех |
равна ей |
|||||||
самой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П Р И М Е Р . |
Продифференцировать |
функцию |
|
|
|||||||
Р е ш е н и е .
if |
= 74 *' • I " 7 • (4хг )' = |
|
] („о формулам |
|
|
= 7 < * І п 7 . 8 * = 8 1 п 7 . * . 7 < * ' І |
(XVI) и (VI)). |
||
§ |
58. Производные обратных |
тригонометрических |
||
фун кций * * ) . 1. Производная |
функции |
arcsin х. Пусть |
||
|
у = arcsin x |
(— 1 < |
л: < I), |
|
причем — -J < у < + Y ; тогда sin у = х.
|
Функция sin у есть сложная |
функция, так как у |
есть |
|||||
функция от X. |
|
|
равенства sin у = |
х |
по х, |
|||
|
Дифференцируя |
обе части |
||||||
находим |
cos у • у' = 1, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
у |
*) |
В предположении существования производной от |
функции |
|||||
= а 1 |
(см. замечание |
в начале § 56). |
|
|
|
|
||
|
**) |
При выводах |
формул |
предполагается, что |
производные от |
|||
обратных тригонометрических |
функций существуют |
(см. замечание |
||||||
в |
начале § 56). |
|
|
|
|
|
|
|
174
откуда
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
cos у |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Так как sin у = |
х, то cos # = |
]/ 1 — х2 *); следовательно, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
у' |
= |
(aresin * ) ' = |
|
у = = = - . |
|
|
|
(XVIII) |
||||||
|
2. Производная |
|
функции |
|
arccosx. |
Положим |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y = |
arccosx |
|
( — 1 < х < 1 ) , |
|
|
|
|
|||||||
причем |
О <С г/ < |
я; тогда |
cos у = |
х. |
|
|
|
по х, на |
|||||||||||
|
Дифференцируя |
обе части |
этого |
равенства |
|||||||||||||||
ходим |
|
|
|
|
|
— sin у |
у'= |
1, |
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
: |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
sin у |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как cos у=х, |
то sin y=V\ |
|
—х2 |
**); следовательно, |
||||||||||||||
|
|
|
|
/ = ( a r c c o s x ) ' = |
— у = = = г - |
|
|
(XIX) |
|||||||||||
|
3. Производная |
|
функции |
|
arctgx. |
|
Положим |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
r/ = |
arctgx |
(— оо < X < оо), |
|
|
|
|
|||||||||
причем |
— 4г < |
у < - | ; тогда |
tg г/ == х. |
|
|
|
|
||||||||||||
Дифференцируя |
обе части |
этого |
равенства, |
|
находим |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
—т~ |
• у' = |
1. |
|
|
|
|
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
cos2 |
у |
ä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
, |
у' |
= |
COS2 |
у . |
|
|
|
|
|
|
||
|
*) Перед радикалом берем положительный знак, так кат: зна |
||||||||||||||||||
чения функции |
у = arcsin х |
рассматриваются |
только |
в границах от |
|||||||||||||||
я |
|
I |
л I |
п |
^ |
^ I |
л \ |
|
|
|
|
|
|
п Р е л - е л |
|
значения |
|||
2 |
д 0 |
+ |
~2 \~~~2 |
lJ |
"*"~2г |
3 |
В |
Э |
Т И Х |
|
а х |
||||||||
функции cos у положительны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
**) Перед радикалом берем знак |
плюс, так как значения |
функ |
||||||||||||||||
ции |
у = |
arccos X |
рассматриваются |
только |
в |
границах |
от |
0 |
до it |
||||||||||
(О < |
у < |
я ) , а |
в |
этих |
пределах |
значения |
функции |
sin# |
положи |
||||||||||
тельны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175
Так как ig у = |
х, то cos2 у= |
—+? |
• "бо cos2 г/= |
|
|||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
= (arctg*)'==T - lp . |
|
(XX) |
||||
4. Производная |
|
функции |
arcctg*-. Положим |
|
|||||
y = |
arcctgx |
(— со < |
X < |
оо), |
|
||||
причем 0 < # < я; |
тогда |
ctgy |
= |
x. |
|
|
|
||
Дифференцируя обе части этого равенства по х, на |
|||||||||
ходим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
sin2 у |
|
|
|
|
|
|
|
|
# —— sur* у. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
Так как ctg у = х, |
то sin2 |
// = |
у - — |
, ибо sin2 // = 1 + c ' t g , g ; |
|||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#' = |
(arcctg *') = |
• |
1 |
|
(XXI) |
|||
|
l + х 2 |
• |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
П Р И М Е Р Ы . |
Найти производные |
следующих функций: |
|
||||||
1. у = arctg |
3xs . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
/ « s u |
6 * |
\ |
||
|
* |
1 + |
|
9*' |
# ( |
3 х |
) " |
1 + 9 * |
/ |
2. |
у =» arcsln (Зх — 4х3 ). |
|
|
||||||
Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
(Зх - |
4х')' |
|
|
|
Vi |
- (Зх |
- |
4л:3 )2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 - |
12*2 |
|
|
|
|
||
|
Ѵ\ |
— 9х2 |
+ |
24*4 |
- |
16хб |
Ѵ \ - |
X2 |
|
3. |
у = |
arcctg |
|
X + а |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
а х ' |
|
|
|
||
Р е ш е н и е .
|
I |
/ |
х + |
а\' |
" • { |
• т г |
' |
— ' |
' |
(1 - |
ах)1 |
|
1 + |
а2 |
(по формулам (XX) и (VI)).
(по формулам (XVIII) и (VI)).
(по формулам (XXI) и (VI)).
(1 + а 2 ) ( 1 + х 2 ) |
( l - a * ) s |
1 + х 2 |
176
У П Р А Ж Н Е Н И Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
К §§ 4 4 - 5 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти |
производные |
следующих |
|
функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
у„ = |
5гА:>3 |
— Зх2 + 6б. |
|
Отв. у'ti' == 15А:2 — 6х. |
|
|
|
||||||||||||
2. |
« = |
къ— |
4- х' + 3,5А:2 - |
X. |
|
Отв. у' = |
5А:4 — х 3 |
+ |
7х - |
I . |
||||||||||
|
j |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
у = |
х д +" . |
|
|
|
|
Ore. у- = |
|
(а + |
Ô) х°+*-'. |
|
|||||||||
4. |
// = |
ах 2 |
+ |
Ьх + |
с, |
|
Ore. у' = |
2ах + |
Ь. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
, |
3 |
|
|
|
|
„ |
|
, |
|
4 |
|
9 |
|
|
|
||
|
|
F |
+ |
7 r . |
|
|
|
|
О г в . 0 = - - з — |
|
|
|
|
|
||||||
7. У = |
2 ] / ~ х - ^ х . |
|
Отв. * / ' = - ^ |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
л |
|
|
з ^ : |
|
||
|
|
|
4 _ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
у = |
0 , 4 / х |
+ Ѵл З. |
|
Ore. tf |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 _ |
' |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
L |
|
— |
|
|
|
|
|
— |
|
|
3 |
|
' |
|
|
0. |
j , = 6 x 7 |
+ |
4x 2 |
+ 2 x 2 |
. |
|
|
Ore. y' = 21a:2 |
+ |
|
10x2 |
+ |
З х 7 . |
|||||||
10. 0 = |
x - 2 |
- 4 x |
2 . |
Ore . 0 ' = - |
|
A |
+ |
|
|
_ |
l |
r . |
|
|||||||
, 1 . |
, = |
КГх + |
^ |
+ |
1 . |
Оте. „ |
- |
|
^ + |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
F |
* |
|
|
^ . |
K x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ] ^ s |
5 x V " x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
» 3 . 0 - * |
|
W |
— O r e . |
|
|
^ І Л " + |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
т г 2 |
+ гсг + |
2p |
|
|
|
, |
2 т г + re |
|
|
|
|
|
||||||
1 5 . 0 = |
x 3 |
+ x 2 + x + l |
_ |
|
|
, |
1 / „ . , |
|
|
1 \ |
j . |
|||||||||
|
|
|
3x |
|
— ' |
Ore. |
0 ' = - g - ^ 2 x + 1 — — |
|||||||||||||
16. |
« •= /1 |
|
(2/3 - |
VI + |
1). Отв. s' = |
7*2 |
Y1-— 1 |
|
-^=r. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
t |
17. |
|
f |
|
|
|
— 5 ж |
+ |
6. |
Найти: |
|
f ( l ) ; |
f |
(1); |
|
f |
(2); |
|
f |
(2); |
/(3) |
|||||||
f ( 3 ) ; |
|
|
Г Ш ; f ( a ) ; П о ) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ore. |
2; —3; |
0; |
— I |
; |
0; |
1; 3,75; |
—4; a2 |
- |
5a + |
|
6; |
2a |
- |
5. |
|
|
|||||||||||
18. |
/ (x) = |
x 5 |
— 3x3 |
+ |
|
1. |
Показать, |
что |
f |
(a) = |
|
/' (— |
a). |
|
|
|
|||||||||||
19. |
|
Найти |
значения |
|
x |
н y, при |
|
которых |
обращаются |
в |
нуль |
||||||||||||||||
производные |
от |
функшій: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
а) |
у = |
2.Ѵ-3 |
- |
9.ѵ2, |
|
б) |
(/ = |
2Л-3 |
+ З.ѵ2 |
- |
|
12х - |
18, |
||||||||||||
|
|
B ) j f = { ^ - 2 ^ + | , |
г) у = x" - 2х 3 + 4. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ore. |
а) |
(0; 0); |
(3; - 2 7 ) ; |
б) ( - 2 ; |
2); |
(1; |
- 2 5 ) ; |
|
в) |
( - 2 ; |
|
- 3 - | ) ; |
|||||||||||||||
Н |
|
И |
|
|
* |
|
£ |
|
) |
|
• |
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|||
20. |
Найти |
уравнение |
|
касательной |
к |
|
кривой |
|
= |
4х2 |
+ |
4х — 3 |
|||||||||||||||
в точке, абсцисса |
которой |
|
равна — 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отв. Ах + |
у + 7 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = |
2 — Ах — х 3 |
||||||||||||
21. |
Найти |
уравнение |
касательной |
к |
кривой |
||||||||||||||||||||||
в точке, абсцисса которой равна —3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отв. 2х — у + |
11 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
22. |
Найти |
уравнения |
|
касательных |
к |
кривой |
</ = |
|
х 3 |
+ |
х 2 , |
угло |
|||||||||||||||
вые коэффициенты которых равны 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отв. 8х — у + |
12 = |
0; 216х — 27у — 176 = |
0. |
у |
|
|
|
|
|
|
|
— х, |
|||||||||||||||
23. |
Найти |
уравнения |
|
касательных |
к |
кривой |
= |
|
2х3 |
+ |
4ха |
||||||||||||||||
угловые коэффициенты |
которых равны |
— , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отв. x — 2у + |
9 = |
0; |
|
27х — 54# — 7 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
24. Найти уравнения касательных к кривой у = |
|
х 3 — 2х2 |
+ |
х — 2, |
|||||||||||||||||||||||
параллельных |
прямой 7х — Ау + 28 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Отв. 7х — Ау— |
17 = |
0; |
189х — 108(/ — 209 |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
25. |
Найти |
на |
кривой |
у == х 3 — х 2 + |
2х + |
3 |
точки, |
|
в |
которых |
|||||||||||||||||
касательные, |
проведенные |
к |
кривой, |
параллельны |
|
прямой |
Зх — у — |
||||||||||||||||||||
— 7 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ore. |
(1;5); |
( |
- |
! |
; |
# |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
26. |
Найти |
угол |
между |
касательными |
|
к |
кривой |
у |
= |
|
х 3 |
— Зх2 + |
|||||||||||||||
j - f 4х — 12, проведенными |
в точках, |
абсциссы |
которых |
|
равны |
—1 и 1. |
|||||||||||||||||||||
Отв. arc tg — , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
27. |
Найти |
площадь |
треугольника, |
|
образуемого |
|
осями |
координат |
|||||||||||||||||||
и касательной, проведенной к кривой |
у |
= |
х 3 |
в точке |
(3; |
27). |
|
||||||||||||||||||||
Отв. 54 |
кв. ед. _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
— |
хг |
|
|
|
|
||||||
28. |
Найти |
уравнение |
|
касательной |
|
к |
параболе |
— 4х + 7, |
|||||||||||||||||||
перпендикулярной к прямой, соединяющей начало координат с вер шиной параболы.
07в. 6х + |
9у — 38 |
= |
0. |
|
_ |
29. Найти |
уравнение |
касательной к кривой |
у — +Ѵх |
+ 6 |
|
в точке пересечения кривой с биссектрисой первого |
координатного |
||||
угла. |
|
|
|
|
|
Отв. x — 6y+J5 |
— 0, |
|
|
||
178
30. Путь s в метрах, пройденный точкой за і с, определяется
уравнением |
|
s = |
2t3 |
— 3. |
Определить |
скорость |
движения |
через: |
||||||||||||
а) 1 с; б) 2 с с момента |
начала |
движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отв. а) |
|
6 м/с; б) |
24 м/с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
31. Когда скорость точки, движущейся по закону s = |
t2— |
4t + 5, |
||||||||||||||||||
равна нулю? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отв. t = |
2 с. |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
32. Высота s в метрах, достигаемая в f с телом, брошенным |
вер |
|||||||||||||||||||
тикально вверх |
с начальной |
скоростью Ѵо м/с, дается |
формулой |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s = v0t |
— |
4,9t2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
Найти скорость движения |
тела |
|
в любой |
момент времени |
t. |
||||||||||||||
Полагая |
ѵ0 |
= |
100 м/с, определить: |
|
секунды; |
|
|
|
||||||||||||
б) |
скорость движения |
тела в конце второй |
|
|
|
|||||||||||||||
в) |
в конце |
15-й секунды; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) через |
сколько |
секунд |
тело |
|
достигнет |
наивысшей |
точки |
|||||||||||||
подъема? |
f = |
Оо —9 , 8 / ; |
б) 80,4 м/с; в) —47 м/с; г) |
приблизительно |
||||||||||||||||
Отв. a) |
||||||||||||||||||||
10,2 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
производные |
следующих |
функций: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
33. |
у = |
|
(2х |
+ |
3) (х2 |
+ |
Зх — 1). |
|
Отв. tf = |
|
6х2 |
+ |
18* + |
7. |
|
|||||
34. |
£ = |
|
(1 + |
4 х 3 ) ( 1 |
+ |
2х2 ). |
|
|
|
Отв. t/ = |
|
4x(l |
+ 3x + |
ІОх3 ). |
||||||
35. |
у = |
|
(х 2 |
+ 4х - |
3) (ЗА-2 + |
12А- + |
12). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. У = 6 (А- + |
2) (2А2 + |
8А + 1). |
|||||||
36. |
у = |
х ( 2 х - |
1)(3х + |
2). |
|
|
|
Отв. (/ = |
2(9А2 |
+ |
х— |
1). |
|
|||||||
37. |
s = |
|
(VI |
+ 0 |
( |
1 |
- |
^ ) |
|
• |
|
O T , . |
Ï |
— |
$ |
L . |
|
|
||
38.f ( x ) = ( l + X 2 ) ( 3 - - ^ ) .
Найти |
Г(1) и f (—1). |
Ore. 10; —2. |
Найти |
производные следующих |
функций: |
39. |
у - |
* |
± |
±а .' |
|
|
|
40. |
у = |
• |
х |
„ |
I . . |
|
|
|
|
|
|
-Ь 4 |
|
|
|
|
|
|
4 - х " |
|
|
||
42. |
Ü = |
|
ы2 |
+ и - |
2 |
' |
|
|
— + |
; — . |
• |
||||
|
|
|
|
и*- |
1 • |
||
43. |
у= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + ^ 2 * |
|
|||
Ore. |
0' |
|
|
|
|
2 f |
l |
|
|
|
|
» |
|
|
( х - а ) 2 |
|
|
||||
Ore. |
и = |
. , |
I |
, ч |
2 . |
|
|
|||
|
J |
(А2 |
+ |
4) |
2 |
|
|
|
||
O r |
e . |
^ |
|
2 |
^ |
6 |
|
^ |
' |
|
|
» |
|
( 4 - х ) 2 |
|
||||||
„ |
, |
|
|
и 2 |
+ |
|
4« + |
1 |
||
Отв. |
"ѵ'-= |
- |
|
( « 2 |
+ |
|
ы + |
О" ' |
||
Отв. у' = |
|
|
|
|
|
|
' |
4 |
2 - |
|
|
J |
|
|
2 / А ( І + / 2 А ) 2 |
||||||
44. |
|
1 —V t2 |
|
|
|
|
4 |
s = |
; |
. |
Ore. |
s' = |
- |
|
|
45. |
/ (X) = |
|
Найти f (a). |
Ore. |
- |
-L. |
|
179