книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник
.pdfÜ 2 — с2 |
есть |
отрицательная |
величина, и ее |
можно |
обо |
|||||
значить через —б2 . |
|
|
|
|
вместо, а2— |
|
|
|||
Подставляя в уравнение |
|
(11) |
с2 |
вели |
||||||
чину —Ь'г, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
-Ь2х2 |
|
+ а2у2 |
|
= — аѢ\ |
|
|
|
|
Разделив |
все члены |
уравнения |
на —а2 Ь2 , |
приведем |
||||||
его к виду |
|
V2 |
и2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 г - 4 г = 1 . |
|
|
|
(12) |
|||
Полученное |
уравнение |
называется |
каноническим |
урав |
||||||
нением |
гиперболы*). |
|
|
|
|
|
|
|
||
ГІз |
соотношения |
а2 |
— с2 |
= |
—Ь2 |
следует, |
что |
|
||
|
|
|
с = / а 2 |
+ б2 . |
|
|
|
|
||
Отношение - j называется эксцентриситетом |
гипер |
|||||||||
болы и обозначается |
обычно |
буквой |
е: |
|
|
|
с_ _ У а2 + Ь2
аа
Из определения следует, что эксцентриситет гипер* болы больше единицы.
Для определения формы гиперболы разрешим ее уравнение (12) относительно ординаты у:
|
0 = ± - | / * 2 - а 2 . |
(12*) |
||
Отсюда |
видим, что каждому значению абсциссы х |
|||
при X2 > а2 |
соответствуют два |
вещественных |
значения |
|
ординаты у, равных по абсолютной величине |
и имею |
|||
щих противоположные |
знаки; |
это показывает, |
что ось |
|
Ох является осью симметрии гиперболы. |
|
|||
Из уравнения гиперболы, разрешенного относитель |
||||
но абсциссы |
X, т. е. из |
уравнения |
|
|
|
х=±1У1Г+Ь\ |
|
(12**) |
*) Относительно преобразований, примененных нами для вывода этого уравнения, можно сделать такое же замечание, какое было указано в сноске на стр. 59.
7 0
таким же образом заключаем, что ось Oy также яв-'
ляется |
осью симметрии |
гиперболы. |
|
|
|
|
||||
|
Как показывает уравнение (12*), ордината у прини |
|||||||||
мает |
вещественные |
значения |
только |
для |
значений |
х, |
||||
удовлетворяющих соотношению х2 ^ |
а2. Если же абсо |
|||||||||
лютную |
величину |
абсциссы |
возьмем |
меньшей, чем |
а, |
|||||
то |
у |
станет величиной |
мнимой. |
Отсюда |
следует, |
что |
||||
в |
полосе, |
ограниченной |
прямыми |
RS |
и PQ, параллель |
ными оси ординат и проходящими от нее влево и впра во на расстояниях, равных а, точек гиперболы не име ется, (рис. 29).
|
|
.Рис. 29. |
|
|
|
|
|
|
При X = ± Й |
ордината |
у = |
0. |
Это значит, |
что гинер-' |
|||
бола пересекает |
ось |
Ох в |
точках |
'А(а;0) |
и |
А'(—а;0); |
||
из всех точек гиперболы эти точки |
имеют |
наименьшие |
||||||
по абсолютной величине абсциссы. |
|
|
|
|
||||
Из уравнения (12*) следует, что |
с возрастанием аб |
|||||||
солютной величины |
абсциссы |
х |
абсолютная |
величина |
ординаты у точки гиперболы также увеличивается; это указывает на то, что ветви гиперболы простираются не
ограниченно |
далеко вправо |
и влево от прямых RS и PQ |
и вверх и вниз от оси абсцисс. |
||
Принимая |
во внимание |
все сказанное, заключаем, |
что гипербола имеет вид, представленный на рис. 29. Отрезок АА' называется действительной осью гипер болы. Точки А' vi А носят наименование вершин гипер болы. Отрезок ВВ' длиною 2Ь называют мнимой осью
гиперболы.
Точка О, лежащая посередине между вершинами ги перболы, называется центром гиперболы,
71.
§ 21. Асимптоты гиперболы. Исследуем более под робно характер возрастания абсолютной величины ор динаты у точки гиперболы при неограниченном возра стании абсолютной величины ее абсциссы х. В силу сим метричного расположения гиперболы относительно осей координат этот вопрос достаточно рассмотреть для ча сти правой ветви гиперболы, лежащей в первом квад
ранте, т. е. для положительных |
значений |
хну. |
|
||
Напишем уравнение этой ветви в разрешенном от |
|||||
носительно |
у виде: |
|
|
|
|
|
у = у Ух2 |
- |
а2; |
|
|
отсюда |
|
|
|
|
|
|
у = * і х Ѵ |
|
|
|
(12***} |
При больших значениях |
х |
дробь |
весьма |
мала, |
|
а поэтому |
значения радикала |
— б л и з к и |
к 1. |
Это обстоятельство наводит на мысль сравнить изме
нение |
ординаты у точки |
гиперболы с изменением |
орди- |
|
|
Ь |
|
наты |
точки прямой у = |
— х, уравнение которой |
полу |
чается из (12***) путем замены радикала единицей. Чтобы отличать ординату у точки гиперболы от орди
наты точки указанной прямой (при одном и том же значении абсциссы х как для точки гиперболы, так и для точки прямой), обозначим ординату точки прямой
через У. |
Будем |
рассматривать |
теперь |
разность |
У — //;• |
||
так как |
У = |
— х, a у ——Ух2 |
—а2,то |
|
|
||
|
|
а |
J |
а ' |
' |
|
|
Y — |
у = |
— х — —Ух2 |
— а2 = |
- ( х - |
Ух2-а2). |
||
|
J |
а |
а ' |
|
а 4 |
' |
' |
При увеличении х разность У— у меняется, но по полученному выражению трудно судить, увеличивается она или уменьшается. Поэтому преобразуем правую часть рассматриваемого выражения, умножив и разделив
ее на х + Ух'1— с2 ; тогда получим:
у _ |
— ь (* - Ѵх^а*) |
(х + Ѵх2 - пг ) |
У |
аіх + |
Ѵхі-а*) |
или, после упрощения, У — У = х + Ѵх*-а? '
72
Из выражения, стоящего в правой части равенства, мы видим, что по мере возрастания абсциссы х эта раз ность будет неограниченно уменьшаться, так как чис литель дроби остается всегда постоянной величиной, а знаменатель неограниченно увеличивается. Это озна чает, что точка гиперболы, удаляющаяся по рассмат риваемой ветви, неограниченно приближается к прямой
У — — х> никогда ее не достигая.
Из симметричности ветвей гиперболы следует, что точка гиперболы, удаляющаяся по той части правой ветви гиперболы, которая лежит в четвертом квадранте,
неограниченно приближается к прямой Y=——х и что левая ветвь гиперболы располагается относительно пря-
мых |
Y=± |
— X так же, как |
расположена относительно , |
этих |
прямых |
а |
г |
ее правая ветвь |
(рис. 30). |
|
|
Рис. 30. |
|
|
Если |
точка кривой, |
имеющей |
бесконечную |
ветвь, уда-> |
ляясь по |
этой ветви, |
неограниченно приближается к не |
||
которой |
прямой, то эту прямую |
называют |
асимптотой |
|
кривой. |
|
|
|
|
Таким образом, мы установили, что гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями
7 3
В полных курсах аналитической геометрии доказы вается, что иных асимптот гипербола не имеет.
Из неравенства
х2 > X2 - а2
вытекает, что абсолютная величина абсциссы х больше, чем УX2 —а2 . Но тогда и абсолютная величина про изведения ^х больше абсолютной величины произве
дения |
-^- |Лѵ2 — °2> т - |
е - абсолютная |
величина |
орди |
||||
наты Y асимптоты больше абсолютной величины орди |
||||||||
наты у |
гиперболы. |
|
|
|
|
|
|
|
Это |
показывает, что точки |
гиперболы |
расположены |
|||||
внутри |
вертикальных |
углов, |
образуемых |
асимптотами |
||||
(рис. 30). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
прямоугольник, |
изображенный на |
||||||
рис. 30 пунктирными линиями. Длины |
его сторон |
равны |
||||||
длинам |
2а и 2Ъ действительной и |
мнимой |
осей |
гипер |
болы. Проведем прямые через его попарно противоле
жащие вершины. Эти прямые |
проходят |
через |
начало |
||
координат и отрезки их между |
вершинами |
прямоуголь |
|||
ника |
служат |
его диагоналями; |
поэтому угловой |
коэф- |
|
. |
„ |
Ь |
„ |
ь |
|
_фициент одной из них равен —, а другой — — ; сле довательно, проведенные прямые выражаются уравне ниями
совпадающими с уравнениями (13) асимптот гипербо лы, т. е. указанные прямые являются асимптотами ги перболы. Из сказанного вытекает само собой понят ный способ построения асимптот гиперболы.
П Р И М Е Р . Найти координаты фокусов, эксцентриситет и урав нения асимптот гиперболы
*LJML-\
254
Ре ш е н и е. По формуле, приведенной в § 20, имеем
|
c=Va2 |
+ b2. |
|
Для гиперболы, данной |
в примере, |
а = |
5, b = 2. Следовательно, |
\ |
с = / 2 5 + |
4 = |
7^29, |
и, значит, фокусы гиперболы имеют координаты: (К29 ; О) и (—^29; о). 74
Далее,
а5
Формулы (13) дают уравнения асимптот 2
или
2х ± 5у = 0.
§22. Равносторонняя гипербола. Если а — Ъ, то ги-
пербола называется равносторонней* Уравнение ее име-і ет вид
или
л;2 — г/2 = а2.
По формуле (13) находим уравнения асимптот рав носторонней гиперболы
У = х
и
у = — х.
Следовательно, асимптотами равносторонней гипер болы служат прямые, из которых одна наклонена к оси Ох под углом в 45°, а другая — под углом в 135°. Угол между асимптотами равносторонней гиперболы равен 90°.
Повернем |
оси координат на угол а = |
—45°; |
тогда |
|||
ось Oy |
совпадет |
с асимптотой у = х, |
а ось |
Ох — с |
асим |
|
птотой |
у = |
— X . |
Асимптоты станут |
новыми осями |
коор |
динат. Придав им обычное положение (когда ось абс
цисс горизонтальна), получим рис. |
31. Н о в ы е |
оси ко |
||
ординат обозначены |
на нем |
через Ох' и Oy'. |
|
|
Каково же будет уравнение равносторонней гипер |
||||
болы |
х2 — у2 = а2 |
|
(14) |
|
|
|
|||
относительно этой |
н о в о й |
системы |
координат? |
Чтобы |
ответить на этот вопрос, посмотрим сначала, как выра
зятся |
«старые» |
координаты |
(ѵс; у) |
любой |
точки M |
пло |
|||
скости через «новые» координаты |
(х'\ |
у') |
той |
же |
точки |
||||
при повороте старых осей на угол |
а = |
—45°. |
|
|
|||||
Из |
рис. 32 |
имеем: |
х = ON, |
у = |
NM, х' = |
— ОР |
|||
ѵ (для |
положения |
точки |
М, |
изображенного |
на |
чертеже, |
75
Рис. 32.
абсцисса л:' —отрицательна), у' = OQ. Поэтому
X — ON — OS — NS = OQ • cos 45° — RQ =
= O Q • cos45°—QM - cos45°=OQ • cos45°+ { - O P ) - cos45°, или
х = Ц-{у'+х*). |
(15) |
Далее, |
|
y = NM = NR + RM = SQ + RM |
= |
= OQ • sin 45° + QM • sin 45° = OQ • sin 45°—(— OP) • sin 45°,
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = |
Ц-{у'-х'). |
|
|
|
• |
(15*) |
|
Соотношения (15) и (15*) выражают старые коор |
||||||||||
динаты |
(х; у) |
любой |
точки плоскости |
через |
координаты |
|||||
(х';у') |
той же точки относительно новой системы |
коор |
||||||||
динат |
х'Оу'; |
следовательно, |
такие |
же |
соотношения |
|||||
имеют |
место |
и для точек гиперболы. Поэтому, заменив |
||||||||
в уравнении |
(14) |
х |
и |
у соответственно |
выражениями |
|||||
(15) и |
(15*), найдем |
уравнение |
гиперболы |
относительно |
||||||
новой системы координат х'Оу'. |
Получаем: |
|
|
|
||||||
|
Щ- |
(у' |
+ X')] |
- Щ- |
(t/ - |
x')J |
= |
а\ |
|
|
или, после упрощения, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
«/*' . |
|
|
|
|
(16) |
|
|
|
|
|
У'х' = Аг. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Таким образом, уравнение (14) равносторонней ги перболы относительно новых осей координат, каковыми являются ее асимптоты, имеет вид (16); как говорят,
уравнение |
(16) |
есть уравнение |
равносторонней |
гипер |
||
болы, отнесенной |
к асимптотам. |
|
|
|
||
Если положить аг = 2т2, |
то |
уравнение |
(16) |
можно |
||
будет записать так: |
|
|
|
|
||
|
|
У |
|
|
|
|
или, меняя |
роли |
«старых» |
и «новых» осей |
координат, |
77
Отсюда видим, что равносторонняя гипербола, |
от |
|||||||||
несенная к своим асимптотам, представляет |
собой |
г р а |
||||||||
ф и к о б р а т н о й |
п р о п о р ц и о н а л ь н о с т и . |
|
|
|||||||
§ 23. Парабола. 1. Параболой |
называется |
геометри |
||||||||
ческое |
место |
точек, |
расстояние |
каждой |
из |
которых |
от |
|||
данной |
точки, |
называемой |
фокусом, |
равно |
расстоянию |
|||||
от данной прямой, |
называемой |
директрисой |
(предпола |
|||||||
гается, что фокус не лежит на директрисе). |
|
|
|
|||||||
Расположим ось Ох по прямой, проходящей |
через |
|||||||||
фокус F перпендикулярно к директрисе RS |
(рис. 33). На |
|||||||||
чало |
координат возьмем |
в середине |
отрезка |
PF |
между |
|
|
Рис. 33. |
|
фокусом |
и директрисой. Положим |
PF = р. Тогда фо |
|
кус F будет иметь координаты {^', |
OJ. |
||
Необходимое и |
достаточное |
условие, что точка |
|
М(х;у) |
лежит на параболе, выражается (согласно опре |
||
делению параболы) |
равенством |
|
FM = NM.
Представив это равенство в координатной форме, най дем уравнение параболы.
Точка N имеет координаты ^ — j * , г/j; поэтому, при меняя формулу расстояния между двумя точками, мо-. жем написать предыдущее равенство в виде
78
или, по возведении обеих частей уравнения во вторую степень:
x*-px |
+ -Ç + y* = x* + px + -£. |
||
откуда, после приведения |
подобных членов, получаем |
||
і/ |
|
= 2рх. |
(17) |
Полученное |
уравнение |
называется |
каноническим |
уравнением параболы*).
Уравнение (17) показывает, что х может принимать только неотрицательные значения, так как при х<. О
значения у становятся мнимыми. При |
|
|||||
X = |
О ордината |
у = 0. |
Следователь- |
& |
||
но, парабола проходит через начало |
т |
|||||
координат. Переписав уравнение |
(17) |
|
||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
у=± |
Ѵ2р1с, |
|
|
|
заключаем, что ось Ох является осью |
О |
|||||
симметрии |
параболы. |
|
|
|||
При возрастании х абсолютная ве |
|
|||||
личина у также увеличивается. Все |
|
|||||
сказанное дает представление о фор |
|
|||||
ме |
параболы, |
изображенной |
на |
|
||
рис. |
34. |
О пересечения |
|
|
|
|
Точка |
параболы с |
Рис. 34. |
||||
ее осью симметрии называется |
верши |
|
ной параболы. Из предыдущего ясно, что вершина па раболы лежит посередине между фокусом и директри
сой |
параболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина р, равная расстоянию между фокусом и |
||||||||
директрисой параболы, |
называется |
параметром |
па |
||||||
раболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Если фокус параболы взять слева от директрисы, |
||||||||
то |
координаты |
его будут |
(~""f"» |
и |
уравнение |
па |
|||
раболы примет |
вид |
|
|
|
|
|
|
||
і/ |
|
|
|
|
= — |
2рх. |
|
|
|
|
Парабола |
в |
этом случае |
расположена влево |
от |
||||
оси |
Oy. Предлагаем |
читателю |
вывести |
самостоятельно |
|||||
|
•*) См. сноску |
на |
стр. |
59. |
|
|
|
|
|
79