книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник
.pdfТребуется найти координаты точки пересечения этих прямых.
Так как искомая точка лежит одновременно на каж дой из данных прямых, то координаты ее должны удов летворять обоим данным уравнениям. Следовательно,
чтобы найти |
координаты |
точки пересечения |
двух |
прямых, |
|
надо решить |
совместно |
уравнения |
данных |
прямых |
отно |
сительно X и |
у. |
|
|
|
|
П Р И М Е Р |
1. Найти точку пересечения прямых |
|
|||
|
5.ѵ — у — 7 = |
0, |
|
|
|
|
3jt + |
2y — 12 = |
0. |
|
|
Р е ш е н и е . Умножая первое уравнение на 2 и скла дывая почленно со вторым, получаем: 13.x — 26 = 0, от куда X — 2. Подставляя найденное значение х в первое уравнение, находим: у = 3. Итак, искомая точка есть ,(2;3).
П Р И М Е Р 2. Найти точку пересечения прямых
3* + |
4 г / - 2 = |
0, |
6* + |
8г/ + 7 = |
0. |
Р е ш е н и е . Данная |
система |
несовместна и потому |
решений не имеет.
Этот факт легко объясняется геометрически: угло вые коэффициенты прямых, выражаемых данными урав нениями, равны, т. е. мы имеем дело с параллельными
прямыми, а |
потому не |
существует и |
точки |
пересечения |
||
этих прямых. |
|
|
|
|
|
|
П Р И М Е Р |
3. |
Найти |
точку |
пересечения прямых |
||
|
|
2 л г - у |
+ 1 = 0 , |
|
|
|
|
|
6* — Зг/ + |
3 = 0. |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Легко |
видеть, что |
второе |
из данных |
||
уравнений по сокращении всех членов его на 3 приво дится к первому. Таким образом, эта система сводится к одному уравнению и поэтому имеет бесконечное мно
жество решений: |
давая |
произвольные |
значения одному |
из неизвестных |
х или |
у и вычисляя |
соответствующие |
значения другого неизвестного, мы получим сколько угодно решений данной системы уравнений,
60
Геометрически этот факт объясняется тем, что дан ные две прямые сливаются, и потому каждая точка од ной из них является в то же время и точкой второй прямой.
Такого рода система уравнений называется неопре*
деленной.
УПРАЖНЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 . Проходит ли прямая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
у = 3х + |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
через |
точки: |
а) (5; |
- 1 ) ; |
б) ( - 4 ; |
1); |
в) |
(3; 2); |
г) |
(5; |
7); д) |
( - 5 ; |
|
- 2 ) ? |
|||||||||
2. |
Проходит |
ли прямая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Зх — Ау + |
1 1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
через |
точки: |
а) |
(3; |
5); |
б) |
[j; |
- |
l ) |
; |
в) |
(2; |
- 4 ) ; |
г) ( - 1 ; |
2)? |
|
|
||||||
3. Начертить прямые, заданные следующими |
уравнениями: |
|
||||||||||||||||||||
|
а) |
У = |
х; |
|
б) у = |
2х; |
|
в) |
у = |
-|- х; |
|
|
г) |
у = 2х |
+ |
3; |
|
|
||||
|
|
Д) |
У = |
— х; |
|
е) |
у = |
— 2*; |
' |
ж) |
у = |
— -^- *; |
|
|
|
|||||||
з) у = |
— 2х — 3; |
и) |
2х + Зу — 4 = |
|
0; |
|
к) 2х — Зу |
— 4 = |
|
0; |
||||||||||||
|
|
л) 3* + |
2 = 0; |
|
м) |
Зг/ —5 |
= |
0; |
|
н) 2х + 3у = |
0. |
|
|
|||||||||
4 . Найти уравнение прямой, |
образующей |
с |
осью |
Ох |
угол в |
30* |
||||||||||||||||
и пересекающей ось Oy в точке (0; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отв. |
у = |
- ^ - х + |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Найти |
уравнение |
прямой, |
образующей |
с |
осью |
Ох |
угол |
в |
60° |
||||||||||||
и пересекающей ось Oy в точке (0; —4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отв. у = Ѵ~Зх |
— 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ох угол в |
|
|
|||||||
6. |
Найти |
уравнение |
прямой, |
образующей |
с |
|
осью |
|
120° |
|||||||||||||
и пересекающей ось Oy в точке (0; 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отв. у = |
— Ѵ~Зх + |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Найти уравнение прямой, параллельной оси Ох а пересекаю |
||||||||||||||||||||||
щей ось Oy в точке (0; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отв. у = |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. Найти уравнение прямой, параллельной оси Oy и пересе |
||||||||||||||||||||||
кающей ось Ох в точке |
( ^ 5 ; |
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отв. X = . —5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Найти |
уравнение прямой, |
проходящей |
через |
точку |
(1; |
—3) |
|||||||||||||||
и образующей с осью Ох угол arctg 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ors. |
2х — у — 5 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
51
10. Найти |
уравнение |
прямой, |
проходящей через точку |
1; |
^ |
||
и образующей с осью Ох угол arctg (—2). |
|
|
|
|
|||
Отв. 4х + |
2у + 5 = |
0. |
|
|
|
/ |
5 \ |
|
|
|
|
|
|
||
П. Найти |
уравнение |
прямой, проходящей |
через |
точку |
(2; |
^-1 |
|
и образующей с осью Ох угол 0°. |
|
|
|
|
|
||
Отв. # = |
— |
|
|
|
|
|
|
12. Найти |
уравнение |
прямой, |
проходящей |
через |
точку |
|
- ^ - j |
н параллельной оси Oy. Отв. л- = - і .
|
|
13. Найти угловые коэффициенты прямых: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
а) X — у — 5 — 0; |
|
б) |
6х — 3 / / + 7 = 0; |
в) |
Зх + |
2у — 1 = . |
0. |
||||||||||
|
|
Отв. а) 1; б) |
2; |
в) |
— - | . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
14. |
Найти |
уравнение |
прямой, проходящей |
через |
точки |
(—1; —4) |
|||||||||||
и |
(0; 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Отв. 9х — у+ |
5 — |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
15.-. Найти |
уравнение прямой, проходящей через точки |
^2; |
— |
j |
|||||||||||||
|
|
Отв. X + |
4</ = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
Найти |
уравнение |
прямой, проходящей |
через |
точки (2; —1) |
||||||||||||
и |
(2; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Отв. X = |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
Найти |
уравнение |
прямой, |
которая |
проходит |
через |
точку |
||||||||||
(5; |
—1) |
и параллельна |
прямой, соединяющей |
точки |
(0; |
3) |
и |
(2-, 0). |
|||||||||||
|
|
Отв. Зх + |
2у — 13 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Ох |
|
|
|
||||
|
|
18. |
Найти |
уравнение |
прямой, |
пересекающей |
ось |
в |
точке |
||||||||||
(3; 0), а ось Oy в точке (0; |
—4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Отв. 4х — Зу—\2 |
= |
0. |
|
|
Ъх — 4у — 3 = |
|
|
|
|
||||||||
|
|
19. |
Найти |
точки, |
в |
которых прямая |
0 |
пересекает |
|||||||||||
оси |
координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Оте.(±;0); |
|
(О; |
- |
А |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
20. |
Диагонали |
ромба, равные |
12 и |
8 |
единицам |
длины, |
лежат |
||||||||||
на |
осях координат. Найти уравнения сторон этого ромба. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
Отв. |
|
|
|
|
2х + 3у — |
12 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2х — 3у + |
12 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2х |
+ 3у + |
12 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2х — Зу — 12 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
Зх + 2у— |
12 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 * - 2 і / + |
12 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зх |
+ 2у + |
]2 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъх — 2у — 12 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
52
21. Найти |
площадь треугольника, |
образуемого |
осями координат |
|
и прямой Зх + Ау — 12:'= 0. |
' ' |
|
|
|
Отв. 6 кв. ед. |
|
|
|
|
22. Какая |
зависимость |
должна |
быть между |
коэффициентами |
а и Ь, чтобы прямая
*+| = і
a b
образовывала с осью Ох угол в а) 45°; б) 60°; в) 135°.
Отв. а) а = — Ь; |
б) а — |
^ |
|
; в) |
а = |
6. |
|
|
|
|
||||
|
23. |
Найти |
острый |
угол |
а |
между |
прямыми |
Зх—«-f-6 |
= |
0 |
а |
|||
J C - y + |
4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Отв. а = |
arctg y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. Найти |
острый |
угол |
а |
между |
прямыми |
2х—^ |
+ |
8 = |
0 |
и |
||||
2х + |
5(/ — 4 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. а = |
arctg 12. |
|
|
|
|
|
2х — Зу + |
|
|
|
|
||
|
25. |
Найти |
острый |
угол а |
между |
прямой |
6 = |
0 и |
пря |
|||||
мой, |
проходящей через точки |
(4; —5) |
и (—3; |
2). |
|
|
|
|
|
|||||
•Ors. а = arcfg 5.
26.Найти угол а между прямыми, проходящими через начало координат и через точки, которыми отрезок прямой 2х + Зу — 12 = 0,
содержащийся между осями координат, делится на |
три |
равные |
||||
части. |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ога. а = |
arctg-утр |
|
|
|
|
|
27. Проверить, что прямая х — у + 3 = 0 является |
биссектрисой |
|||||
одного из углов, образуемых прямыми |
|
|
||||
|
4 х - 3 і / + 1 1 = 0 и 3* — 4 у + 1 0 = 0. |
|
|
|||
28. Найти |
уравнение прямой, |
проходящей через точку |
(2; —3) |
|||
и параллельной |
прямой Зх — 2у + |
2 = 0. |
|
|
||
Ore. Зх — 2у— 12 = |
0. |
|
|
|
||
29. Найти уравнение прямой, проходящей через точку |
^ — | - ; —2J |
|||||
и параллельной |
прямой Зх — 2у + |
2 = 0. |
|
|
||
Отв. блг — \у |
+ I = |
0. |
проходящей через точку' (—\;—1) |
|||
30. Найти |
уравнение |
прямой, |
||||
и параллельной прямой, проходящей через точки (—2; 6) и (2; 1).
Огэ. 5* + 4і/ + |
9 = 0. |
|
|
31. Найти уравнение прямой, проходящей через начало коор |
|||
динат и перпендикулярной к прямой |
Зх + |
4і/ — 2 == 0. |
|
Отв. Ах — Зу = |
0. |
|
|
32. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2; —3) |
|||
и перпендикулярной |
к прямой 7х — Ау + |
31 = |
0. |
Отв. Ах + Ту + |
13 = 0. |
|
|
33. Найти уравнение перпендикуляра, восставленного в середине отрезка, соединяющего точки (—5; —1) и (—3; 4).
Отв. Ах + Юу + 1 = 0.
34. Найти |
уравнение |
прямой, |
перпендикулярной |
к |
прямой |
||||||||||||||
2х — Зу + |
7 = |
0 и проходящей через |
середину |
ее |
отрезка, |
содер |
|||||||||||||
жащегося |
между осями |
координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отв. 36х + |
24// + |
35 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
35. Найти |
уравнение |
прямой, |
проходящей через |
точку |
(4; —3) |
||||||||||||||
и образующей угол 45° с прямой Зх + 4у = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ore. х-7у~25 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
36. Найти уравнение |
прямой, проходящей через точку |
( — 1; —1) |
|||||||||||||||||
и образующей угол arctg— с прямой Зх + |
2у — 6 = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||
Отв. 4х + 7у + И = |
0. |
|
|
перпендикуляров к прямой у = |
|||||||||||||||
37. Найти |
уравнения |
двух |
|||||||||||||||||
= Зх + 1, |
проходящих |
через |
точки |
пересечения |
ее |
с |
осями |
коор |
|||||||||||
динат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. Зх + 9у + 1 = 0; X + |
Зу — 3 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
38. Найти |
прямую, |
проходящую |
через точку |
(3; —5) |
и |
обра |
|||||||||||||
зующую с |
осью Ох |
угол, |
в |
два |
раза |
больший |
|
угла, |
образуемого |
||||||||||
с той же осью прямой х — 2у — 5 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отв. 4х — Зу — 27 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
39. Найти |
уравнение |
прямой, |
проходящей через |
точку |
|
|
|||||||||||||
и через точку пересечения прямых Зх — 5у — 11 = 0 |
и 4jc + |
у — 7 = 0 . |
|||||||||||||||||
Отв. И х + 40 — 18 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
40. Найти уравнение прямой, проходящей через точки пересе |
|||||||||||||||||||
чения прямых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2х — у — 1 = 0 , |
х - # + 7 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
И. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X — 7у — 1 = |
0, |
2х — 5у + 1 = |
0. |
|
|
|
|
|
||||||||
Отв. 23х— |
140 + |
26 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
41. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересе |
|||||||||||||||||||
чения |
прямых |
X — 30 + |
2 = |
0 |
и |
5х + 6(/ — 4 = |
0 и |
параллельной |
|||||||||||
прямой 4х + у + 7 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отв. \2х + 3у — 2 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
42. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересе |
|||||||||||||||||||
чения |
прямых |
За- — 0 + |
4 = |
0 |
и 4х — 6(/ + 3 = |
0 |
и |
перпендикуляр |
|||||||||||
ной к прямой 5х + 2у + 6 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отв. 4х — 100 + |
1 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
43. Найти |
уравнения |
медиан |
треугольника, |
образованного |
пря |
||||||||||||||
мыми |
2х — Зу + 11 = |
0, |
Зл: + у — 11 = |
0 |
и х + 4у = |
0. |
|
|
|
||||||||||
Отв. Ъх — 20 = 0; 4х + 5 0 — 1 1 = 0 ; |
х |
—70+11=0. |
|
|
|||||||||||||||
44. Найти |
уравнение |
прямой, |
проходящей через |
начало |
коорди |
||||||||||||||
нат и через точку пересечения медиан треугольника, стороны кото рого выражаются уравнениями:
|
|
4 * - 0 |
+ |
4 = |
О, |
0 = —х + |
4, |
х-4«/+1=0. |
|
Отв. 5х — 2у = |
0. |
|
|
|
|
|
|||
45. |
Найти |
основание |
перпендикуляра, |
опущенного |
из точки |
||||
(—1; |
2) |
на прямую Зх — 5у — 21 = 0. |
|
|
|
||||
Отв. (2; —3). |
|
|
|
|
|
|
|||
46. |
Найти уравнение перпендикуляра к прямой, проходящей че |
||||||||
рез |
точки МІ{—4; |
6) |
и |
ЛМ4; —1), |
пересекающего эту |
прямую |
|||
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке, находящейся на отрезке М\Мг на расстоянии от точки Ми равном g- длины отрезка М[М2.
Отв. 24х — 2\у + 109 = 0.
47. Найти_расстояние от точки (2; 1) до прямой 3*—</ + 7 = 0.
Отв. —= .
о
48. Найти расстояние от точки ^2; — - ^ - j до прямой
X + 2у — 4 = 0.
Отв. Ѵ~5.
49. Найти расстояние между параллельными прямыми:
2х + 3у — 8 = 0 и 2х + Зу— 10 = 0.
Отв. -^ѴТз.
50. Основанием треугольника служит отрезок между точками Мі(—3; 1) и Мі{Ъ\ —1). Найти длину высоты, опущенной на осно вание из третьей вершины М 3 (6; 5).
отв. Щ-Ѵѵі.
51. |
При . каком |
значении коэффициента m прямая у = тх |
+ |
3 |
||||
проходит |
через |
точку |
пересечения |
прямых 2х — 0 + |
1 = 0 |
|
и |
|
</ = х + |
5? |
|
|
|
|
|
|
|
Отв. |
-§. |
|
|
|
|
|
|
|
52. |
Из |
точки |
(9; 5) |
опущены три |
перпендикуляра на |
стороны |
||
треугольника, |
вершинами |
которого |
являются точки |
(8; |
8), |
(0; |
8), |
||||||||||||
(4; 0). Показать, что |
основания этих |
трех |
перпендикуляров |
лежат |
|||||||||||||||
на |
одной |
прямой. |
2х + |
3у — 6 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
53. |
На |
прямой |
0 |
найти |
точку, |
равноудаленную |
||||||||||||
от |
точек |
(4; |
4) и (6; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отв. |
I |
17 |
|
7 |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54. |
|
\ |
8 |
; |
1 2 / ' |
|
|
15 = |
0 |
найти |
точку, расстояние |
кото- |
||||||
|
На |
прямой |
Ъх — Зу + |
||||||||||||||||
рой от оси Ох составляет |
2 |
|
|
|
|
|
Oy. |
|
|
|
|
||||||||
— |
расстояния |
от оси |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
/ |
г |
|
|
Ю \ |
|
/ о |
15 |
10\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. ( - 5 ; |
--J-): |
|
[-—'' |
ТУ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
55. |
Некоторая |
точка |
M удалена от начала координат на 8 еди |
|||||||||||||||
ниц длины; |
|
угловой |
коэффициент |
прямой, |
проходящей |
через |
эту |
||||||||||||
точку и через начало координат, |
равен |
— — . |
Найти |
координаты |
|||||||||||||||
точки |
М. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. (±Щ-Ѵп. |
|
|
+ТГ^)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
56. |
Расстояние |
точки |
M от точки ( 1 ; —2) равно 5 единицам |
|||||||||||||||
длины; |
угловой |
коэффициент |
прямой, проходящей |
через точку |
M |
||||||||||||||
и точку (0; —8), равен - j . Найти координаты этой точки.
Отв. ( 4 ; - 6 ) ; ( f ; - f ) .
55
57. |
Доказать аналитически, что геометрическое место точек, |
||||||
равноудаленных от двух данных точек, есть |
перпендикуляр |
к от |
|||||
резку, |
заключенному между данными точками, проходящий через |
||||||
середину этого отрезка. |
|
|
|
|
|
||
58. |
Доказать |
аналитически, |
что |
медианы |
треугольника |
пересе |
|
каются |
в одной точке. |
|
|
|
|
|
|
59. |
Доказать |
аналитически, |
что |
перпендикуляры, |
опущенные |
||
из вершин треугольника на противоположные |
стороны, |
пересекаются |
|||||
водной точке.
60.Световой луч у — х + 3 падает на стеклянную пластинку толщиной в 1 см (показатель преломления 2). Предполагая, что пластинка расположена так, что ось абсцисс лежит на верхней поверхности пластинки, а ось ординат перпендикулярна к ней, найти
уравнения |
луча |
при |
прохождении |
его |
внутри |
пластинки и после |
выхода из |
нее и длину пути, пройденного лучом |
внутри пластинки. |
||||
Отв. y = Vl(x |
+ |
3); g = x + |
2 + |
y=ri |
^YY' |
|
ГЛАВА III
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА И ИХ УРАВНЕНИЯ. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§15. Геометрические места и уравнения линий, задан ных как геометрические места. Понятие линии второго порядка. 1. Изложенный в гл. II метод составления уравнения прямой по данным геометрическим условиям, определяющим прямую, можно распространить и на кри
вые линии, если они задаются как геометрические |
ме |
|||||
ста точек. |
|
|
|
|
|
|
Геометрическим |
местом |
точек на |
плоскости |
назы* |
||
вается |
совокупность |
точек, |
обладающих |
некоторым |
при |
|
сущим |
им |
одним |
свойством, отличающим их от |
всех |
||
остальных |
точек плоскости. |
Например, |
совокупность то |
|||
чек, обладающих тем свойством, что все они находятся на одинаковом расстоянии от одной данной точки, обра зует геометрическое место, называемое окружностью. Совокупность точек, каждая из которых одинаково уда лена от двух данных точек, образует прямую, пер пендикулярную к отрезку, соединяющему две данные точки, и проходящую через его середину. .
Пусть некоторая линия задана как геометрическое место точек. Как и для прямой, можно найти уравнение этой линии, представив в координатной форме геометри ческое равенство, выражающее необходимое и достаточ ное условие, что переменная точка М(х;у) принадлежит
данному геометрическому месту. Иначе говоря, уравне ние линии есть такое уравнение с двумя текущими ко ординатами, которому удовлетворяют координаты лю бой точки линии и только они.
2. Рассмотрим пример на составление уравнения кри вой линии как геометрического места точек.
67
П Р И М Е Р . |
Найти |
уравнение геометрического |
места |
||
точек, расстояние каждой из которых |
от |
данной |
пря |
||
мой AB в два |
раза |
меньше расстояния |
от |
данной |
точ |
ки Р, не лежащей на этой прямой. |
|
|
|
||
Р е ш е н и е . |
Для |
вывода уравнения |
геометрического |
||
места точек надо прежде всего установить положение осей координат. Положение осей координат можно, ко нечно, выбрать как угодно, но при удачном выборе уравнение геометрического места будет проще. Правил, которыми при этом следует руководствоваться, не суще ствует, и умение выбирать надлежащим образом поло жение осей координат дается только практикой.
Примем данную прямую за ось Ох, а ось Oy прове дем через данную нам точку Р (рис. 22). Так как точ ка Р считается данной, то мы должны считать извест
ным расстояние |
ее от данной прямой, т. е. от |
оси |
Ох. |
|||||
|
|
|
Обозначим |
это |
расстоя |
|||
|
|
|
ние |
через а. |
Следователь |
|||
|
|
|
но, точка Р имеет коор |
|||||
|
|
|
динаты |
0, а. |
|
|
|
|
|
|
|
Условие, |
что |
точка |
|||
f(0;a)\^~ |
I |
М{х;у) |
принадлежит |
рас |
||||
|
|
|
сматриваемому |
геомет |
||||
|
|
|
рическому |
месту, |
выра |
|||
|
|
|
жается |
равенством |
|
|||
|
|
|
|
РМ — 2 • NM. |
|
|||
Чтобы найти уравнение геометрического места, ос |
||||||||
тается |
это равенство выразить в |
координатной |
форме, |
|||||
т. е. выразить длины отрезков MP |
и MN |
через |
коорди |
|||||
наты их концов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
По |
формуле |
расстояния |
между |
двумя точками (фор |
||||
мула |
(3), гл. I) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
РМ = Ѵх2 |
+ |
(у-а)\ |
|
|
|
|
Длина отрезка NM равна абсолютной величине орди наты у точки М: NM = \у\ (ордината у точки M может быть и отрицательной, а длина отрезка есть число по ложительное). Следовательно,
Ѵх2 + (у-а)2 |
= 2\у\. |
(I) |
Возведя обе части этого равенства в квадрат и сде лав приведение подобных членов, получим уравнение
58
геометрического места! |
|
|
|
|
|
|
(И) |
|
Рассматриваемое геометрическое |
место изображено |
|
на |
рис. 23. |
|
|
|
Если бы мы оси координат |
расположили по-иному, |
|
например ось Oy провели бы не |
через точку Р, то точ |
||
ка |
Р. имела бы тогда абсциссу, |
уже |
не равную нулю; |
д.
0
|
|
|
Рис. 23. |
|
|
|
|
|
значит, надо |
было |
бы |
абсциссе точки Р приписать ка |
|||||
кое-нибудь значение, |
отличное |
от |
нуля, |
например ô< |
||||
Тогда мы имели бы |
|
|
|
|
|
|
||
|
Ѵ(х |
bf |
+ |
{у - |
а)2 = |
21 у |
I, |
|
или |
— Ъу2 |
- 2Ьх - |
2ау + а2 |
+ Ь2 |
= |
0, |
||
х2 |
||||||||
откуда видим, что уравнение получается более сложное.
3. |
Линиями |
второго порядка называются |
геометри |
ческие |
места |
точек, которые выражаются |
уравнениями |
второй степени. К числу таких линий принадлежит
окружность и следующие кривые: эллипс, |
гипербола и |
||
*) |
При выводе уравнения |
(II) мы уничтожили радикалы в урав |
|
нении |
( I ) , возведя обе части |
этого уравнения во |
вторую степень. |
Как известно, такая операция может привести к уравнению, не рав носильному с исходным, т. е. к такому уравнению, которому удовле
творяют |
не только координаты, удовлетворяющие уравнению |
(1)< |
но еще |
и другие («лишние») координаты. Нетрудно показать, |
что |
в данном случае уравнению (II) удовлетворяют лишь те координаты, которые удовлетворяют уравнению ( I ) . Однако доказательства этого утверждения ни здесь, ни в соответствующих случаях в дальнейшем мы не приводим.
69