книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

f(Ci). Предположим теперь, что в промежутке

(а,

с { ) '

производная

f'(x)

положительна,

а

в

промежутке

( с ь с

г ) — отрицательна.

Тогда

в

первом

промежутке

функция

f(x)

возрастает,

а во

втором—убывает;

зна­

чит, в точке Ci функция переходит от возрастания

к убы­

ванию

и,

следовательно,

при

x = Ci

имеет

значение

f(ci),

наибольшее

среди

значений

этой

функции

в

про­

межутках

(a, ci)

и

( с и с 2

) ,

т. е. в точке

х

=

с\

функция

f(x)

имеет

максимум.

Если,

наоборот,

в

промежутке

(a, Ci)

производная

f'(x)

отрицательна,

а

в

промежутке

(сі,с2)

положительна,

то в первом

промежутке

функция

убывает,

во

втором — возрастает

и,

следовательно,

в

точке

x =

Ci имеет

минимум.

Предположим,

наконец,

что

f'(x)

в промежутках

(о, ci)

и

( с ь с 2 )

имеет

одина­

ковый

знак,

например

f'(x)i>0.

Тогда

оба

промежутка

являются промежутками возрастания функции f(x),

т. е.

во всем промежутке

(а,

с 2

) функция

f(x)

возрастает

и,

следовательно, при

х =

С]

ие

имеет

ни

максимума,

ни

минимума. Точно так же, если / ' ( * ) <

0

в

каждом

из

промежутков

(a,

Ci)

и

( с ь

с 2 ) ,

то

при

х

—

Ci

функция

f (х)

также не имеет

экстремума.

нимается, либо идет вниз, и

точка, где касательная

па­

раллельна

оси Ох, очевидно,

оказывается

не такой,

где

f(x) имеет

экстремум,

а так

называемой

«точкой пере­

гиба» (точки Мі и М3

кривой

на рис. 61).

Если же

знак

этом

случае

имеет

экстремум

(см. точки

М2

и М4 на

рис.

61).

3.

Рассуждения,

изложенные

в

предшествующем

пункте,

приводят

к

следующему

правилу

нахождения

тех

значений

х

внутри

промежутка

(а,Ь),

при

которых

функция f(x)

имеет

экстремумы.

}(х)

Для нахождения значений х, при

которых

функция

имеет экстремумы,

нужно:

1)

вычислить

производную

f'(x);

2)

найти

те

значения

х

внутри

промежутка

(а,Ь),

при

которых

f'(x)

обращается

в

нуль;

пусть эти

значе­

ния

будут

с2, . . .,

Сд,;

Ci,

3)

определить

знак

производной

в

каждом

из

про­

межутков

(a, Ci),

(сис2),

изменяет

(Ch,b).

Тем

самым

будет

решен

вопрос

и

о

том,

ли

производная

знак

при

переходе

(«слева

направо»)

через

каждую

из

точек

Ci,

с2,

с

Си.

или

не

изменяет

и

если

изменяет,

то как

именно:

«+»

на

«—»

или

с «—»

на

«+».

Изменение

знака

производной

с «+»

на

«—»

указывает,

что в соот­

ветствующей

точке

функция

имеет

максимум.

Измене­

ние

знака

производной

с

«—»

на

«+»

указывает,

что

при

соответствующем значении

х

функция

имеет

мини­

мум.

Если

знак

производной

не

меняется,

то в

соответ'

ствующей

точке

функция

экстремума не

имеет,

П Р И М Е Р .

1.

Наііти

значения

аргумента,

при

которых

функция

(/ = 2.ѵ3 — З А 2

—

1 2 * +

21

имеет

экстремумы.

Р е ш е н и е .

1)

Находим

производную данной

функции:

г/

= бх 2 - 6А- -

12 = 6 (л2 - X — 2).

2)

Ищем те

значения

х,

при

которых

производная

обращается

в нуль, для чего

решаем

уравнение

X2

—

X — 2 =

0.

Это уравнение

имеет корни — 1

и 2.

,

Для исследования знака производной полезно выражение, ее

определяющее, разложить

на

множители:

(/'

=

6 ( А +

1 ) ( А ~ 2 ) .

3)

Функция

у

определена

в

промежутке

(—оо,

-foo).

Значе­

ниями

—1

и

2

аргумента,

при

которых

производная

обращается

в нуль, весь промежуток

( — о о ,

-foo)

разбивается

на

части

( - о о ,

- 1 ) ,

( - 1 ,

2).

(2,

+ о о ) .

Определяя

знаки

отдельных

сомножителей

( А + 1 )

и

(х

— 2)

при значениях х — —2,

х =

0, А =

3,

найдем знаки4 для

производной

соответственно

в каждом

из трех

частичных

промежутков:

в

промежутке

( — о о , —1)

знак

у'=(—)•(—)

=+,

в

промежутке

(—1,

2)

знак

//' =

( + ) • ( — )

= — ,

в

промежутке

(2,

+

оо)

знак

(/' =

( + ) • ( + ) = + .

Отсюда видим, что при переходе через точку

х =

—1

производная

изменяет

знак

« + »

на

«—»,

при

переходе

через

точку

х =

2 —

знак «—»

на

« + » . Следовательно,

в

точке

х

=

—1

функция

имеет

м а к с и м у м ,

а

в точке х =

2 — м и н и м у м.

П Р И М Е Р

2.

Исследовать

на

максимум

и

минимум

функцию

у =• А3 .

Р е ш е н и е .

1)

І/' =

З А 2 ,

2)

З А 2

=

0,

откуда

А =

0.

3)

Так как

при

х

<

0

и

А >

0

производная

остается

положи­

тельной, то, значит, что при переходе через точку х =

0

производная

знака

не

изменяет.

Отсюда

следует,

что

при

х

=

0

функция

э к-

с т р е м у ы а

н е

и м е е т .

График

функции у = х3

(рис,

62)

дает

наглядное

представление

полученного

результата.

П Р И М Е Р 3. Сила /

тока

в

цепи

(изображенной

на

рис.

63)

определяется по закону Ома выражением

где R — внешнее, а

г — внутреннее

сопротивление. Мощность,

выде­

ляющаяся

в нагрузке

R,

как

известно,

выражается

формулой

(R

+

г) 2

'

Найти

значение

R,

при котором

мощность

будет

наибольшая

•у

Р е ш е н и е .

Здесь надо

исследо­

вать

на

максимум и

минимум

функ­

цию

Р

независимого

переменного

R.

Следуя

установленному

правилу,

находим

последовательно:

1)

Я'

=

,

(R

+ ry-2(R

+

r)R

(R + r)*

-X

• E2

r -

R

О

(R

+

r)*

'

2)

r - R

О, откуда

R =

r.

Рис.

62.

Рис.

63.

3)

При R <

r

производная

P' >

0. При R

> r

производная

P' <

0.

при R «= r,

Следовательно,

т. е.

когда внешнее

сопротивление

7 Н, П. Тарасов

193

такие квадратики и загибая затем получающиеся выступы

(рис. 64),

чтобы коробка

получилась

наибольшего

объема.

Какова

должна

быть длина стороны вырезаемых квадратиков?

Р е ш е н и е .

Обозначим

длину

стороны

вырезаемого

квадратика

через X. Эта величина х будет также и

высотой

коробки.

Тогда

длина дна коробки будет равна

а —

2х,

и объем ее V = (а — 2 х ) 2

х =

.= а2х — 4ах2 + 4х3 .

х, при котором

Прежде всего нам нужно найти значение

функ­

ция V достигает максимума.

Значит, нам нужно исследовать на

максимум

и

минимум

составленную

нами функцию

V.

По

общему

правилу

имеем:

У =

а2

— 8ах +

\2х*.

1)

2)

а2 — Ѣах + \2х2

=

0,

откуда

на-

ходим: * і =

а

и

А-2 =

а

-jT-.

~2

-а-£х-*\

I I

Без

Дальнейших

исследований

за­

г pJ"j

ключаем, что максимум

мы будем иметь

[

I

J

при х — -^,

так

как

если вырезать

t.

а

р н с §4_

квадратики

со

стороною

длины

у ,

то

от куска

картона

ничего

не останется, и

объем коробки будет

равен

нулю. Областью

определения

функции

Ѵ =

(а — 2х)1х

служит

отрезок jo, y j .

В

концах

этого

отрезка

функция V имеет

значения,

равные

0.

Следовательно, при

значении

X =

а/6 функция

V имеет и наибольшее

значение.

тую часть стороны данного квадратного куска картона.

При X =

— объем

' — "27"•

З а д а ч а

2. Прочность прямоугольной

балки

пропорциональна

произведению

ширины

балки на квадрат

высоты.

Найти размеры

Р е ш е н и е .

На

рнс. 65

изображено сечение бревна и

балки.

Обозначим через

х

ширину

и

через у

высоту

балки. Тогда

будем

иметь: хг + уг =

а2.

Прочность

S балки

определится соотношением

S =

kxy2 = kx

(а2 — X2 ) =

ka2x -

kx\

вать на максимум и минимум. По общему правилу

имеем

1)

S' =

k (а2

-

Зх2).

2)

А ( а 2

- 3 х 2

) = 0, откуда X, =

—т=- И хг = —

Ѵъ

1

Кз

Второй корень мы можем не принимать во

внимание, потому,

что отрицательное

решение не имеет

смысла для нашей задачи.

Пример одного из таких случаев дает

функция

f (х)—у

х2.

Нетрудно

убедиться,

что

в точке

х =

0 эта

функция

имеет

мини­

мум,

а в

то же

время производная

}'{х)

в

этой

точке не

суще-

ствует. В самом

деле,

[(О) —О, а

у х2

есть

величина

положитель­

ная

при x Ф 0 как для х <

0, так и для х >

0.

Следовательно,

/(0) <

/(х) для значений

х Ф 0.

Значит,

в

точ­

ке х = 0 функция имеет минимум. Между тем, дифференцируя

функ-

цшо

\{х)

— х "з, получаем: f (х) = —2; — ;

выражение,

определяю-

3 | / х

шее

производную,

теряет

смысл

при

х — 0

(деление

на нуль

не­

возможно); это означает, что правило дифференцирования

данной

степенной

функции

неприменимо для вычисления производной

в точ­

1)

М0) =

0;

1

і .

2)

/( 0 + Дх) = ( 0 +

Д Х ) 3 * = ( Д х ) 3 ;

2

3)

_ / ( 0 + Дх) =

( Д х ) 3

1(0

+

Ax)-f(0)

=

(Ax)3

4)

/ ( 0

4 - А * ) - Н О )

д

(Ах)*

[

Ах

Ах

]/д7

5)

Hm ï ( 0 + 6 « ) - f « » M

I i m

- J - ^ o o .

д*-»о

Ах

&JC _».o -j/дТ"

Полученный

результат

показывает,

что производная функции

f(x) =

x 3

в точке x = 0 не существует.

Отношение

—

— — — определяет тангенс

угла

а на-

2_

клона секущей,

проведенной

к кривой

у — хг

через точку

О(0; 0);

так как

lim

t g a = o o ,

то,

следовательно,

предельное

положение

Дх-*0

секущей,

т. е. касательная,

образует

с осью

Ох угол,

равный - ^ :

координат 0(0;

0) имеет в е р т и к а л ь н у ю

к а с а т е л ь н у ю .

При

выводе правила нахождения значений аргумента х, при

которых

функция f(x) имеет

экстремумы, мы предполагали,

что про­

изводная f'(x)

непрерывна в

рассматриваемом

промежутке

(а, Ь) и

может в конечном числе точек обращаться в

нуль. Нетрудно

убе­

диться, что рассуждения, приведенные в п. 2,

совершенно не

изме­

нятся и в более общем случае, именно,

в случае, если: 1) непрерыв­

ная в промежутке (а, Ь) функция ((х)

имеет производную

/'(*).,

ствует; 2) кроме точек, где производная не существует, она

всюду

непрерывна.

Таким образом, в этом более общем

случае

надо

найти

не

только те значения х, при которых производная

обращается

в нуль,

но также и значения, при которых она не существует. Затем

каждое

из

найденных

значений

х

должно

быть

подвергнуто

исследованию

на

перемену

знака

производной.

Производная f'(x)

=

2

от

функции f{x)=yx2

3 / —

изменяет

— 5 - 3 -

З У

x

знак

«—>

на

« + »

при

переходе

через

точку

0.

И

мы

видели,

что

при x

=

0 функция

имеет

минимум.

Рассмотрим

теперь

функцию

<р (x) =

}/х.

Найдем

ее

производ­

ную для

произвольного

значения

х:

<р' (х)

= — ^ — .

Как

видим,

зуѴ

х =

выражение, определяющеепроизводную, теряет смысл при

0.

Значит, правило дифференцирования данной .степенной

функции

неприменимо для вычисления производной в

точке х — 0.

Обра­

щаясь,

как

и

в

предыдущем

примере,

к

общему методу

вычисле­

ния

производной,

найдем,

что

• ,.

1

,

,.

ф (0 +

Дх) - ф (0)

.

=

00:

lim

— — — г - 1

2 L i _ i . _

h m

+

Дх-»о

Ах

Дл:->0

у(Д^)2

данная

функция

в точке х =

0 производной

не

имеет.

При переходе

через значение

х =

0 производная ф' (х) =

— ,

X-

З У

знака

не

изменяет:

— г

>

0

как

при

х <

0,

так

и

при

3 -•Vf —~

шим

сравнительно с соседними, так

как

разность

<р (х)

— <р (0) =

ух

есть

величина

отрицательная

при х

<

0 и положительная при х >

0.

D

,.

ф (0 + Ах)

— <р (0)

,

В

силу того,

что

lim

т-^

z_w. Œ

-f-oo,заключаем,

что

Дх->0

Ах

график

функции

у =

у

х в

точке

О (0; 0)

имеет

в е р т и к а л ь н у ю

к а с а т е л ь н у ю

(рис.

68).

.27

Р и с

68.

З а м е ч а н и е . В

§

43

мы

указывали,

что

функция, непрерыв­

ная в данной точке, может

не

иметь в

этой

точке

производной.

Рассмотренные

только

что

функции дают примеры этого факта.

§

62. Производная

второго

порядка. Механический

производная

данной функции

обращается в

нуль

в не­

которой точке X, существование экстремума в этой точке

и определение его типа (максимум или минимум)

могут

быть иногда

установлены не

исследованием

перемены

вого понятия — именно

понятия производной второго

порядка.

Пусть функция у =

f(x) имеет производную функцию

y' = f'(x). Эта производная функция аргумента х в свою

вой производной у'

= f'(x) называется производной

вто­

рого порядка

или просто второй

производной

от данной

функции y =

f{x)

и обозначается символом

у"

или

/"(*).

Может случиться, что существует производная от

второй

производной. По

отношению к данной функции

y — f(x)

это

будет производная

третьего

порядка

или,

короче,

третья производная

(у'"

= /'"(*))

и

т. д.

П Р И М Е Р . Найти вторую производную функции g

еах.

Р е ш е н и е .

у' - а в " ; у" •= а 2 е а л г .

Предел этого отношения при At -* 0 дает ускорение /

точки в момент времени

t:

/

=

,.

До

l i m

^ т - .

По определению производной,

lim

4т

=

0' . А т а к

At-Ю

û t

как

V =

s' =

/'(/),

то

ѵ' =

s" =

f" (t).

Следовательно,

j =

s"

=

f"(t),

т.е.

ускорение

прямолинейно

движущейся

точки

опре-

деляется

как

вторая

производная

пути

s

по

времени

t.

П Р И М Е Р , Точка

движется

прямолинейно и за t секунд про­

ходит путь s (в метрах), определяемый формулой

s — 4t3

+

2t2

+

3t.

Найти

величину ускорения:

а)

в

начале

движения

(при

/ =

0)5

б) в конце пятой

секунды

(при t

== 5).

Р е ш е н и е .

Ускорение

есть

вторая производная пути s по

времени /. Дифференцируя

дважды

функцию s

п о . / ,

получаем

s'

12f2

+

At +

3,

s"

=. j =

24t

+ 4. •

Мы

нашли

величину

ускорения

для любого момента времени t.

Подставляя в полученную формулу значения / =

0 и t

= 5,

находим

а)

=

4 м/с 3 ;

б)

-

124

м/с 2 .