Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4423 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

с другом по характеру их стремления к нулю. С этой целью установим следующие определения.


Пусть	а	и ß — две		бесконечно	малые	величины.
Если	1іт-р- =		0, то	а называют бесконечно			малой
высшего	порядка		сравнительно с ß. Если			lim	есть чис
ло, отличное		от нуля,		то говорят,	что бесконечно		малые

а и ß имеют одинаковый порядок малости. Если, нако нец, у есть бесконечно большая величина, то а назы вают величиной низшего порядка малости, нежели ß.

П Р И М Е Р Ы .	Если	ß =	A'—»0,	то,	по сравнению с
этой бесконечно	малой,	одного порядка			с ней будут бес
конечно малые sin .ѵ и tg х,			потому	что

	smx	= 1	.	,	.. tg X
lim		= 1		,	hm —— =
х-*о	x				x-*o

,. / s i n x	1 \	,
hm	cosx/	= ! •
Х-Ю \ *	cosx/

Бесконечно

малые

x2,

x3 и

1 — cos л: при

x - > 0

будут

высшего

порядка

по

сравнению

с х,

потому

что

l i m — = 0,

lim —

= 1іт

А-2

х - »0 *

х-»-0 X

х-И)

COS X

2 sin2 ~

sin

, .

hm —

= h m

• sin-^-

= 1

• 0=0 .

x-*o

x_>0

x->oy

Бесконечно

малая

x —

1 при x -*• 1 будет низшего

по

рядка

сравнительно с ( л : — I ) 2 ,

потому

что

отношение

х - 1

, .

^ г

равное

при

х Ф

1 отношению

_ t

есть

ве

личина бесконечно большая при х-*

I .

2. Пусть

функция

у —

f(x)

имеет

производную

у'

Г{х)

при

данном

значении

х.

Так

как

/'(*) —

lim

~ - ,

то в силу определения

предела

д*-*о

ьх

где а — бесконечно малая при Ах —• 0. Определяя из последнего равенства приращение Ау, получаем (см. § 4 3 )

Ау = Г(х)Ах-т-аАх.

(1)

220


	Формула	(1)		показывает, что приращение Ау функ
ции	у состоит		из	двух		слагаемых: f'(x)Ax	и а Ах.	Пер
вое	слагаемое,		если		не	считать того исключительного
случая, когда f'(x)				=	0, есть при Ах-+0		бесконечно	ма
лая	того же	порядка, что и Ах, ибо

lim u M A f - . / ' W ^ O .

Ах-Ю	а х

Второе

слагаемое а Ал: при

Ах —*• 0

есть

бесконечно ма

лая высшего порядка

по сравнению

с Ах,

потому

что

а Ах

„

lim

— г — =

lim ct =

В силу этого слагаемое f'(x)Ax

играет

как

бы

глав

ную роль

в соотношении

(1),

определяющем

величину

приращения Ау функции у. Оно

называется

главной

частью приращения функции. Иначе слагаемое

f'(x)Ax

называется

дифференциалом

функции y =

f(x).

Итак,

дифференциал

функции

у —

f(x)

равен

произ

ведению

производной

f'{x)

этой

функции

на

произволь

ное приращение

Ах

аргумента

х.

Дифференциал функции

*/" =

/(*)

обозначается сим

волом dy.

Следовательно,

t'(x)Ax.

(2)

3. Возвращаясь

к формуле

(1)

Ау =

f (х) Ах +

а А* =

dy -{-а

Ах,

заключаем,

что

п р и р а щ е н и е

Ау

д и ф ф е р е н

ц и а л

функции

y =

î(x),

вообще

говоря,

н е

p а в-

н ы друг

другу

и отличаются

на

величину а

Ах:

Ау — dy — а Ах.

(3)

Дифференциалом

независимого

переменного

назы

вают его

приращение

Ах, т. е. полагают

dx =

А*.

Подставляя

в формулу

(2)

вместо Ах,

находим

f'(x)dx.

(4)

Таким

образом,

дифференциал

функции

у =

f(x)

есть произведение

производной.

этой

функции

на

диф

ференциал

dx независимого

переменного

х.

2 2 1

Разделив обе части равенства (4) на dx, получаем

П * ) = - ^ -

(5)

(читается: «эф штрих от икс равно дэ игрек по дэ икс»).

Из	формулы		(5) видим,		что	производная		f'(x)	от
функции	y =	f(x) представляет				собой	отношение		диф
ференциала		йу	функции	к	дифференциалу			dx	аргу
мента.							функции у = х3 .
П Р И М Е Р .			Найти	дифференциал
Р е ш е н и е .			Составляем		приращение Ау			функции
У = X3:

Ау = (х + Ах)3 - х3 = Зх2 Ах + Зх (Ах)2 + (Ах)3 .

Последние два слагаемых представляют собой бес конечно малую высшего порядка сравнительно с Ах. В самом деле,

, . Зл - (Л . ѵ ) 2

+ (Д.ѵ)3

г о

/ А

] =

— - — — — =

lim

[Зх Ax +

(Ax)2

Д*->0

û *

д * - » о

3х lim Д х +

lim (Ах)2 = 0.

Дх-»0

Дх->0

Отбрасывая эту бесконечно малую высшего порядка,

находим

главную часть

приращения

функции

или ее

дифференциал:

dy =

Зх2

Ах,

или

dy =

3x2dx,

так как

Ах =

dx.

Полученный результат согласуется с формулой (4).

Действительно,

(х 3 ) ' =

3х2 ,

мы

видим, что dy =

f'(x)dx

3x*dx.

Разделив полученное равенство на dx, приходим к

результату,

иллюстрирующему

формулу

(5):

f {*) —

= (*3 )' = 3x2 = - g - .

4. Независимое переменное х и его приращение Ах

(или

dx)

никак

не связаны

между

собой

и могут быть

выбраны совершенно независимо друг от друга. Поэто

му дифференциал			функции
			dy =		f'(x)dx
является функцией			двух	независимых		переменных	х и dx.
у =	Поясним	сказанное		примером.		Возьмем	функцию
	X 3 . Пусть нам дано				числовое	значение х,	например
к =	2. Тогда мы сможем только написать
	[äy]^	=	[(*3)' dx]x=2		= [Зх\=2	dx=\2dx.

222

Для определения численного значения dy нам не хва тает знания численного значения dx. Так как dx от х не зависит, то значение dx должно быть задано особо. Если, например, известно, что dx = 0,1, то тогда мы сможем определить и численное значение dy:

= 1 2 . 0 , 1 = 1,2.

§ 69. Геометрический смысл дифференциала функции.

Предположим, что кривая, изображенная на рис. 81, представляет собой график функции y — f(x). Значе ниями x аргумента и у функции определяется точка M

						M'J
					/Р
						i l
						9
				-—dx—-
	'	0		N		А/'
			Рис. 81.
на кривой. Допустим, что в точке M кривая имеет									каса
тельную МТ. Как мы уже знаем						(§ 42), угловой			коэф
фициент tg ф касательной				равен		производной у'		=	f'(x).
Если абсциссе х = ON придать приращение Ах =									dx —
= NN'r то ордината у = NM					кривой получит			прираще
ние QM'. В то же время				ордината касательной				получит
приращение QP. Вычисляя QP как катет прямоугольно
го треугольника MQP,			найдем
		QP = M Q • tg Ф =			Y (x) dx =		dy.
Итак,	геометрически			дифференциал			dy	функции
У — fix)	представляет		собой		приращение		ординаты ка
сательной,	проведенной		в	данной		точке	M кривой.
Из рис. 81 имеем
		РМ' = QM' — QP = Ay — dy.
Согласно		формуле	(3) предыдущего параграфа
		Ау — dy — aAx;

223


таким образом, отрезок РМ'				изображает		бесконечно		ма
лую	высшего порядка		а Ад; сравнительно			с Ах,	на кото
рую	приращение	Ау	отличается от		дифференциала			dy.
Разумеется, приращение Ау может оказаться и мень
ше	dy. Предоставляем учащимся самостоятельно сде
лать соответствующий рисунок для этого случая.
Из формулы		(5)	предыдущего		параграфа		следует,
что	производная	является		отношением		дифференциала

функции к дифференциалу аргумента. При выбранном

значении		х производная f'(x)		есть	величина постоян
ная.	Отсюда следует, что при			изменении		приращения
Ах =	dx	аргумента	дифференциал		dy изменяется так,
		du
что	отношение ~		сохраняет	все	время	постоянное

Рис. 82.

значение. Этот факт наглядно иллюстрируется при по мощи рис. 82: при изменении dx мы получаем ряд по добных прямоугольных треугольников, отношение кате

тов которых все время остается			равным	тангенсу угла
наклона касательной к оси		Ох,	т. е. производной.
§ 70. Основные правила и формулы вычисления диф
ференциалов. Дифференциал		функции у —		f(x)	есть про
изведение производной	f'{x)	данной функции на диффе
ренциал dx аргумента:			\
dy	=	f'(x)dx.
Следовательно, нахождение			дифференциала		сводится

к нахождению производной данной функции и умноже нию ее на dx.

Находить производные мы уже умеем, а потому на хождение дифференциалов не представит никаких труд ностей.

224

Основные формулы дифференцирования, приведен ные в § 44, могут быть представлены через дифферен циалы следующим образом: если « и и — некоторые функции от х, имеющие производные при рассматривае мом значении х, то *)

I .	d(u	± ѵ) = (и' ± v') dx == и'dx±.v'		dx=du±dv
(так как и' dx,		т. е. произведение	производной	функции
и на dx,	есть	дифференциал этой	функции, т. е. du; та

ким же образом v' dx = dv).

I I . d (uv) =» (u'v + и'и) dx — v (и' dx) + « [v' dx) —

= v du + и dv.

I I I . d (cu) = cu'dx = с du.

IV. 4 i ) = i « ' à = i r f « = ^ .

	\	с j	с	с	с
\ I	rf( u	\	_ u'v — v'u	,	v («' rix) — и (о' rix)
					о du — и dv

V I I . dc = 0 (с — постоянная).

IX. d (xa ) = йл:0 - 1 dx (а — постоянная).

X. d (sin x) = cos x dx.

X I . d(cos *) = — sinxdx.

XIV . d (loge *) = 4"loga e d x '

XV. d ( l n x ) = ~ .

X V I . d(ax) = ax[nadx.

X V I I . dif?) = e?'dx.

X V I I I . d (arcsin x) =

XIX . d(arccos*) = • XX. d (arctg *) = • i

X X I . d (arcctg*) =

rix

y = = = - .

V T

rix

+ x 2 '

rix

1 + x 2 -

*) Некоторые из формул, приведенных в § 44, здесь опущены.

8 Н, П, Тарасов

225

П Р И М Е Р .

Найти

дифференциал

функции

(/ = t g ( l + .v2 ).

Р е ш е н и е .

Так

как

то

C O S 2 (1 +

X2)

d y =

cosH^+x*)

dx-

Действие

нахождения

дифференциала

данной

функ

ции

у =

f(x)

называется

дифференцированием,

т. е. так

же,

как

и действие

нахождения

производной.

§ 71. Приложения дифференциала к приближенным

вычислениям. 1.

Дифференциал

—

f'(x)Ax

функции

y =

f(x)

зависит

от Ах

линейно.

Приращение

же

Ау

функции у, определяемое

соотношением

&У =

dy -\- а Ах

(где

а-*

0 при Ах-*0),

представляет

собой

обычно

бо

лее сложную функцию от Ах.

В силу

этого

вычисление

п р и р а щ е н и я

функции

несравненно

с л о ж н е е ,

чем

вычисление е е д и ф ф е р е н ц и а л а .

При

значениях

Ах,

близких

нулю,

значения

также близки к нулю. Поэтому замена

Ау дифференциа

лом

(при

значениях

Ах, близких

нулю) приводит

на практике к весьма небольшим

ошибкам.

На соображении простоты вычисления дифференциа ла функции и незначительности разницы между Ау и dy (при значениях Ах, близких к нулю) и основана в при ближенных вычислениях замена приращения Ау функ ции дифференциалом dy.

2. Весьма удобной эта замена оказывается при оцен ке погрешностей.

Допустим, например, что величина х определяется непосредственным измерением, а величина у вычисляет ся по формуле y — f(x). При измерении х всегда вкра дывается погрешность Ах, которая влечет за собой по грешность Ау при вычислении величины у. Так как при хорошей точности измерения погрешность Дд: бывает, обычно незначительной, то полагают

Ау ^ dy = у' Ах,

т. е. заменяют приращение Ау дифференциалом dy. Характер измерительного прибора дает обычно воз

можность установить наибольшую величину, на какую

226

можно ошибиться в ту или другую сторону при измере нии величины X. Например, при отсчете или установке визира на логарифмической линейке длиной 250 мм ошибка не превышает 0,1 мм. Таким образом, обычно бывает известна максимальная абсолютная погрешность,

получаемая при измерении величины х; обозначим эту погрешность через ах. Следовательно, | A * | ^ ô x . Тогда за максимальную абсолютную погрешность при вычис лении величины у естественно принять ._

		Ьу=\у'\Ьх.
Отношения -р^т-	I	и - ^ - называют	соответственно
I х	I	11/1

максимальными относительными погрешностями, полу чаемыми при определении величин х и у. Ясно, что эти величины характеризуют точность получаемых резуль татов.

Покажем на примерах применение этих понятий.
П Р И М Е Р	1. Пусть	для определения площади круга			сначала
непосредственно измеряют его диаметр D (с помощью микрометра,
штангенциркуля	и т. п.)., а	затем	площадь	S вычисляют по	формуле
		~	я о 2
Так как
	S' = \| - f l ,		то Ô S = - J D Ô D
	öS	T D	à D = 2 6	D
	S	n ß	2	D •
		4

Таким образом, максимальная относительная погрешность, вычис ленного значения площади оказывается вдвое большей, чем макси

мальная относительная				погрешность измеренного				значения		диаметра.
П Р И М Е Р		2.	Определить		наиболее		выгодный для точности
вычисления	угол		<р отклонения		магнитной		стрелки		при	измерении
силы тока	тангенсгальванометром.								т. е. I — k tg tp,
Известно,		что	сила	/ тока пропорциональна t g <р,					т. е. I — k tg tp,
где k — коэффициент пропорциональности.
Пусть максимальная абсолютная погрешность, получаемая при
отсчете угла <р, есть оф. Тогда
			ô / = ( £ t g < p ) '		О<р =	- Ц	^
И				ь т/	t-	c o s 2 ф
И
	Ы _		^ б ф	, h		6ф	^	2оф
В*	і	cos2 ф			sin ф • COS ф			sin 2ф *		227
В*										227

Мы видим,

что

точность

будет

наилучшей,

если sin 2rp = I ,

т. е. ф = — ,

наихудшей

при значениях sin29,

близких к нулю,

т. е. при

значениях

ф, близких к 0

и. к

—, когда относительная

погрешность неограниченно возрастает.

Таким

образом,

следует избегать производить отсчеты при уг

лах

отклонения стрелки, близких к 0 или у .

Допустим,

что оф =

0,5°. Тогда,

выражая углы в дуговой мере,

находим

оф =

5 =

у-0,01745

i _ 2

4 - °

- ° 1 7 4 V

0,01745

sin 2ф

Если

получен,

например,

отсчет

30°, то

sin 2ф = sin 60° =

= у

1/3" = у -

1,73205 и

Ы ^

2-0,01745

1,73205

т.е. около 2%'.

3.На замене приращения Ау дифференциалом dy функции у = f(x) основано также получение прибли женных формул, которыми часто пользуются на прак тике.

Например, для малых значений |Л| пользуются сле дующей приближенной формулой

(1 + А)" « I + ah.

Вывод этой приближенной формулы основан на следую

щих соображениях.
Рассмотрим функцию у =			ха.	Полагая х = 1 и затем
x — 1 + Л, образуем	приращение				функции Ау =
= ( l - f - / i ) ° — 1 . Заменим		это приращение . дифферен
циалом: dy = axa~l dx. При х =				1 и	dx = h получаем
приближенно
(1 - f h)a		-	1 «	ah,
откуда находим	hf			ah.
(1 +	hf	«	1 +	ah.

Аналогично можно при малых значениях Ф положить приближенно

^ІПф « ф.

228

В самом деле, рассматривая функцию у — sin* и по-- лагая X — 0 и затем х = ф, образуем приращение Ау::

Ay = sin ф — sin 0 = sin ф.

Заменяя	Ау дифференциалом dy =	cos х dx, при
X = 0 и dx =	ф придем к приближенной	формуле
	віПф « ф.

Таким же образом выведем приближенную формулу для вычисления In ( 1 + / г ) при малых значениях /г.

	Если г/ =	In X, то		dx	Образуем		приращение
Ау			dy = ~ .
	функции,	соответствующее			переходу		от значения
X =	1 к значению л; =			1 + h:
	Ау = In (1 +			h) — In 1 =		In (І + h),
откуда при X — 1 и				= h получим		приближенно
		Ду =	1п(1 + Ä ) ~ - f			= Ä.

§ 72. Дифференциалы высших порядков. Выражение производных через дифференциалы. Пусть дана функция y = f(x), имеющая в данной точке х производные пер вого, второго и т. д. порядков.

Дифференциал от дифференциала dy функции назы вается дифференциалом второго порядка и обозначает ся символом d2y (читается: «дэ два игрек»). Таким об разом, по определению,

d2y = d(dy) = d[r(x)dx].

Дифференциал какого-либо выражения есть произведе ние производной этого выражения'на дифференциал dx независимой переменной х. Следовательно,

d2y = [f (х) dx]' dx.

Дифференциал dx есть произвольное приращение неза висимой переменной х и от значения х не зависит. По этому при дифференцировании выражения f'(x)dx мно житель dx должен рассматриваться как величина по стоянная. В силу этого

[f'(x)dx)' = f"(x)dx

и, следовательно,

d2y=f"(x)(dxY.

229

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4423 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20235.06 Mб27Тарасевич Р.М. Методы и средства проверки герметичности узлов, отсеков и систем летательных аппаратов учеб. пособие.pdf
#
29.10.2023956.29 Кб8Тарасов А.Г. Новое в расчетах и эксплуатации червячных фрез.pdf
#
29.10.20238.6 Mб7Тарасов А.И. Газы нефтепереработки и методы их анализа.pdf
#
22.10.202313.04 Mб9Тарасов, В. П. Загрузочные устройства шахтных печей.pdf
#
19.10.20232.65 Mб1Тарасов, Г. М. Памятка-пособие аппаратчика-отливщика основы кинофотопленки.pdf
#
22.10.202312.62 Mб63Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
20.10.20237.86 Mб6Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf
#
23.10.20235.37 Mб8Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf
#
20.10.20238.68 Mб4Тарлинг, Д. Движущиеся материки.pdf
#
19.10.20234.2 Mб5Тарновский, Ю. К. Механизированная разработка грунта в зимнее время.pdf
#
29.10.20233.46 Mб36Тарусов Б.Н. Сверхслабое свечение биологических систем.pdf