Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

102

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 447 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

парабола*). Мы перейдем сейчас к выводу уравнений

этих	кривых,	исследованию	свойств	и	построению		.их
при	помощи	уравнений, которые будут, нами получены.'
§ 16. Окружность. 1. Выведем уравнение окружности
радиуса г с центром в точке			С(а;Ь). Необходимое			и до
статочное условие, что переменная точка М(х;у)						лежит
		на окружности,		выразится		равен
		ством	СМ = г
		или
			СМ2 = г2

		(рис. 24). Для нахождения урав
		нения	окружности		остается		это
		равенство представить в коорди
		натной	форме.	Пользуясь		фор
		мулой	расстояния		между	двумя

	точками,		находим:
Рис. 24.		{x-af	+	{y-bf	= r \	{\У

Полученное уравнение и представляет собою уравне
ние окружности радиуса г с центром					С(а;Ь).
Если центр окружности находится в начале коорди
нат, то	а = Ъ = 0, и	уравнение (1)		принимает		более
простой	вид
	х2	+ і/ =	г>.		2	(1*)

П Р И М Е Р . Написать уравнение окружности радиуса -g- с цект-

ром в точке l y ; — y ) .

Р е ш е н и е . Соглааю формуле (1) получаем:

								9 *
Если теперь мы раскроем скобки и сделаем приведение											подоб
ных	членов,	то придем		к следующему			(равносильному)		уравнению
		X2	+	у2	— X + - J У •		12	:0,
или,	наконец,
		12х2 +		\2у2	-	12* + 8у -		1 = 0.
*) Кроме указанных кривых существуют еще так									называемые
вырожденные		линии	второго			порядка;	их	рассматривают		в	связи
с общим исследованием уравнения второй								степени, что		в	нашем
курсе не проводится.

2. Подобно тому, как это сделано в примере преды дущего пункта, всякое уравнение (1) окружности при водится к равносильному уравнению вида

		Ах2 +		Ау2 + Вх + Су + D = 0;					(2)
это	уравнение		называется		уравнением	окружности			об
щего	вида.
Итак,		всякая		окружность может		быть	выражена
уравнением		вида		(2). -
Самый общий вид уравнения второй степени с двумя
переменными х и у таков:
		Мх2	+ Nxy + Ptf		+ Qx + Ry + S =		0.
Сравнивая			уравнение окружности			(2) с этим урав
нением, приходим к заключению, что						уравнение		окруж
ности общего			вида, являясь уравнением второй					степени
с двумя переменными хну,					обладает	следующими			осо- /

бенностями: 1) равенством коэффициентов при квадра- ' тах текущих координат (М = Р); 2) отсутствием члена,

содержащего произведение ху текущих		координат
(N =	0).
3.	Рассмотрим теперь обратную задачу,	а именно

выясним, какие геометрические образы могут отвечать

уравнениям вида	(2).	•
Пусть, например, дано уравнение
9х2 +	9г/2 + 12х— 180 — 23 = 0.	(3)

Это уравнение вида (2): коэффициенты при вторых сте пенях текущих координат равны и отсутствует член, со держащий произведение ху текущих координат; здесь

А = 9, £ = 1 2 , С = — 18 и D = — 23.

Приведем уравнение (3) к виду (1). Разделим для этого все члены уравнения (3) на 9 и перенесем сво бодный член уравнения в правую часть; лолучим рав носильное уравнение

* + ЪХ + у*-2у = Ц-.

(3*)

Сообразим теперь, какие числа надо добавить к вы* ражениям

x2 + j-x и if — 2у,

6 1

чтобы в левой части		уравнения		(3*) образовать сумму
двух полных квадратов, как в уравнении (1).
	4	2
Заметив,	что -^х	— 2--^х,	будем рассматривать вы-
ражение г 2 +	2 • - j х, как сумму			квадрата «первого сла

гаемого» и удвоенного произведения «первого слагае

мого» на «второе». Так как «первое слагаемое»	есть х
(его квадрат равен х2), то из произведения 2 •	х за-
2
ключаем, что «второе слагаемое» есть число	значит,

прибавив к л'2 + 2--|-л' число —, мы образуем полный квадрат:

• л - * + 2 4 * + 1 = ( * + 4 ) \

Точно так же, прибавив к разности у2—						2у = у2 — 2-Х-у
число 1, образуем второй полный квадрат							{у—I)2.
Итак, для образования суммы двух полных							квадратов
2 \2	О2 надо	к	левой	части		уравнения (3*)
(• х + " з )
прибавить числа у и 1;			а для	того		чтобы	получить
уравнение,	равносильное	уравнению			(3*), к правой ча«
сти также надо добавить сумму -g-+ 1=						~9~'
Таким образом, получаем уравнение
(* + -\|-* + £) +			tf-2y+l)		= f +		£ ,
или
	(*+4)2	+	0 / - 1 ) 2 =		4.		(3**)
Этому уравнению удовлетворяют координаты всех
точек, квадрат расстояния			которых		от точки		(—-§•' і)

равен 4, и, очевидно, не удовлетворяют координаты лю бой другой точки плоскости. Иными словами, уравне ние (3**), а, следовательно, и исходное уравнение (3) представляет собою уравнение окружности (с центром

в точке ( ~ " § " ' і)> радиус которой равен 2). Рассмотрим теперь такое уравнение вида (2):

X2 + у2 — 2х + 4у + 5 = 0.

При помощи таких же преобразований, как и в рас смотренном примере, мы придем к следующему равно сильному уравнению:

(х-l)2

+ Q/ + 2)2 = 0.

Этому уравнению удовлетворяет единственная пара ко ординат (1;—2), так как сумма двух неотрицательных величин может быть равна нулю только тогда, когда каждая из этих величин равна нулю. Следовательно, данное уравнение выражает не окружность, а точку.

Рассмотрим, наконец, уравнение

хг-т-у2 — 2* + 4г/ + 7 = 0;

оно приводится к следующему равносильному уравне нию:

(х — I ) 2 + (г/ + 2)2 = - 2 (3***)

Сумма двух неотрицательных величин ни при каких ве щественных значениях не может стать отрицательной; следовательно, уравнению (3***), не удовлетворяет ни одна пара вещественных значений координат (х;у). Зна чит, уравнению (3***), а следовательно, и исходному уравнению не соответствует никакого геометрического образа на плоскости хОу.

При преобразовании любого уравнения (2) к равно сильному уравнению (1) в правой части последнего мо жет оказаться либо положительное число, либо нуль, либо отрицательное число; в первом случае, как мы ви дели на примерах, уравнение (2) выражает окружность,

во втором — точку, а в третьем — не выражает			никакого
геометрического образа.
Таким образом, мы приходим к следующему			выводу:
Уравнение		(2) выражает либо окружность, либо точ
ку, либо	не	выражает никакого геометрического	образа.
Чтобы установить для каждого данного уравнения
вида (2),	какой из этих трех случаев имеет место, мож-"

но поступать так, как мы поступали в рассмотренных

примерах, т. е.			путем приведения уравнения вида					(2)
к равносильному			ему уравнению		вида (1).
§	17. Эллипс.		Эллипсом называется			геометрическое
место	точек,	сумма		расстояний	каждой	из	которых от
двух	данных	точек,		называемых	фокусами,		есть	вели
чина	постоянная;			при этом	требуется,		чтобы	эта
								6 3

постоянная величина была больше расстояния между фокусами.

Составим уравнение эллипса, т. е. составим уравне ние, которому должны удовлетворять координаты произ


вольной точки		эллипса.			и F2.		Ось Ох
Обозначим фокусы через'/7 ]									совместим
с прямой, соединяющей фокусы, а начало									координат
возьмем посредине между				фокусами			(рис.	25).
Постоянную сумму расстоянии любой точки эллипса
до фокусов	обозначим		через 2а. Тогда необходимое и
			достаточное			условие,			что	точка
			M (х; у)		лежит		на	эллипсе,			вы^
			разится		равенством
				FlM		+ F2M =		2a.			(4)
			Чтобы представить						это	равен-
		^	ство	в координатной				форме,			надо
'		'	еще	знать		координаты фокусов
Рис.	25.		Fi	и / V ,		пусть расстояние					ме
			жду	фокусами			равно		2с.	Тогда

координатами фокуса Fi будут числа с и 0, а коор-

динатами	фокуса		F2	будут		числа — с		и 0.	Применяя
теперь формулу расстояния между двумя									точками,
найдем
FlM =	V(x-c)2			+ y2	и	F2M = Ѵ(х + cf			+	у2.
Подставляя эти выражения в равенство									(4),	полу
чим уравнение		эллипса
У(х-сГ			+	у> +	У(х	+ сТ +	у* = 2а.			(5)
Уравнение		(5)	можно		привести		к	более	простому

виду, освободив его от радикалов. Перенесем для этого второй радикал из левой части в правую:

Y(x-c)2 + y2 = 2а- Y{x + cf + y \ (5*)

Возведем	обе части уравнения			(5*)	в квадоат:	і
х2 - 2сх + с2	+	у2	=
=	4а2	-	4а У{х + с)2 +	у 2 +	х2 +.2сх + с2 +	у 2 .
Сделав приведение подобных членов и сократив обе
части уравнения			на 4, приведем его к виду
	а		Vix ~f- °2) + У2 — а2 "+ с*'

Возводим снова обе части в квадрат:

а2 (х2 +

2сх

+ с2

у2)

а4

+ 2а2сх

с2 *2 ,

откуда,

по приведении

подобных

членов,

получим

или

а2х2 - с2х2

+ а2 //2 = а4 - а2 с2 ,

( a 2 - c 2 ) x 2 - f - a 2 ï / 2 = = a 2 ( a 2 - c 2 ) .

(5**)

Это

уравнение

имеет

более

простой вид, чем

уравне

ние

(5).

Обычно этому уравнению придают еще другой вид.

Так как, по условию, 2а > 2с, т. е.

а >

с,

то

раз

ность а2 — с2

есть

число

положительное

поэтому ее

можно

обозначить

через b2 {b =

Va2 — с2):

а2 — с2

Ь2.

(6)

Вводя Ъ2 вместо а2

— с2

в уравнение

эллипса

(5**),

получим:

Ь2х2 + а2у2 = а2Ь\

(7)

или, после деления всех членов этого уравнения

на а2Ь2,

Найденное

уравнение

называют каноническим

урав

нением

эллипса*).

Если

бы

мы

расположили оси

коор

динат по-другому, то уравнение получилось бы более сложное.

§ 18.	Определение	формы	эллипса. Для	определения
формы эллипса разрешим уравнение (8)				относительно
ординаты	у:
	£ = 1 — £	или	у2 = І І ( а 2 - * 2 ) ,
откуда
tJ==±±Y¥^.				(9)

Из этого равенства видно, что каждому значению абсциссы X при х2 < а2 соответствуют два вещественных значения ординаты у, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, это показывает, что ось Ох является осью симметрии эллипса.

*) Относительно равносильности уравнения (8) исходному урав нению (5) см. сноску на стр. 59.

3 И, П, Тарасов

Из уравнения эллипса, разрешенного ' относительно абсциссы X, т. е. из уравнения

x = ± ± V b 2 - y \

(9*)

таким же образом заключаем, что ось Oy также яв ляется осью симметрии эллипса.

Из уравнения (9) следует, что ордината у принимает вещественные значения только при значениях х, удов

летворяющих	соотношению			х2 ^	а2,	т.	е.	когда х	по
абсолютному	значению		не	превышает			а.	Аналогично
из уравнения	(9*)	следует,		что	абсцисса		х	остается	ве
щественной только		при	условии		у2 ^	Ь2,	т.	е. при	зна

чениях у, не превышающих по абсолютному значению числа Ь. Точки, для которых абсолютная величина абс циссы не превышает а, лежат внутри бесконечной по лосы, ограниченной прямыми PQ и SR, параллельными

оси Oy и	отстоящими	от нее — одна вправо,	а другая
влево — на	одинаковых	расстояниях, равных а	(рис. 26).
		Q

Рис. 26.

Точки, для которых абсолютная величина ординаты у не превышает числа Ь, лежат внутри полосы, ограни ченной прямыми RQ и SP, параллельными оси абсцисс и отстоящими от нее вверх и вниз на одинаковых рас стояниях, равных Ь. Точки, абсциссы и ординаты которых удовлетворяют рассмотренным условиям одно временно, лежат в общей части этих полос, т. е. в прямоугольнике PQRS (рис. 26).

Из уравнения (9*) видно, что самая большая по аб солютному значению абсцисса точки эллипса соответ-

ствует значению у — 0. Если		у =	0,	то	х — ±а.	Следо
вательно,	эллипс пересекает	ось	Ох	в	точках	(а; 0) и
(—а;0).	Из уравнения (9)	видим, что			самая	большая

по абсолютному значению ордината точки эллипса соот

ветствует значению			х = 0. Когда		х — 0, то		у =	±Ь.
Следовательно, эллипс пересекает ось Oy							в точках
,(0;ô) и ( 0 ; - 6 ) .
Из	уравнения	(9)	видим,	что	при	возрастании		аб
сциссы	X от 0 до	а ордината		у точки		эллипса	убывает
от b до	0.

Принимая во внимание сказанное выше о симметрии эллипса относительно оси Ох и оси Oy, приходим к за ключению, что эллипс имеет такой вид, как это изо

бражено на рис. 27. (Точки		Ми М2,	М3 и М 4 показаны
Я	в		О
г \		' \
	'°	' \
1	'°	•'	/
1
Ч. !
	В'		1
	Рис.	27.

на чертеже для того, чтобы отчетливее выявить симмет рию эллипса относительно координатных осей.)

Отрезок

А'А

называется

большой

осью

эллипса.

Длина

большой

оси

равна 2а.

Отрезок

В'В

называется

малой

осью

эллипса. Длина

ее равна

2Ь. Точки

Л,

А',

В, В' носят наименование вершин

эллипса.

Точка

О.

пересечения

осей

эллипса

называется

центром

эллипса.

З а м е ч а н и е .

Уравнение

вида

(8), в

котором

b > а,

будет,

очевидно, выражать

эллипс, фокусы которого лежат на

оси

на

расстояниях. У Ь 2 — а 2

от

начала

координат. В этом

случае боль

шой осью является отрезок

В'В

26,

а малой — отрезок

А'А

2а.

§ 19. Эксцентриситет эллипса. Связь эллипса с ок ружностью. Отношение расстояния 2с между фокусами

2с с

эллипса к длине 2а большой оси, т. е. = —,

з *

называется эксцентриситетом эллипса и обозначается обычно буквой е. По формуле (6) имеем

Таким образом,

аа

Эксцентриситет эллипса, как это следует из его опре деления, есть число, меньшее единицы.

Из формулы (10) имеем

И з . полученного соотношения следует, что чем ближе значение эксцентриситета к 1, тем меньше отношение

— ; а чем меньше отношение длин полуосей, тем более вытянутую форму имеет эллипс. Таким образом, экс

центриситет	характеризует	форму		эллипса.
Рассмотрим частный случай эллипса, именно случай,
когда а = Ъ. Тогда уравнение			(8)	имеет вид
	— + -^т — 1	или	X2	+ у1 — а2 .
Но это есть	уравнение окружности			радиуса а с центром

в начале координат. Отсюда мы заключаем, что окруж

ность	есть частный случай эллипса, а				именно — эллипс,
оси которого равны друг другу.					а =	Ь эксцентри-
Из	формулы	(10)	следует, что	при
ситет	У'аг _	#2	0. Таким	образом,		окружность
	е =	=

представляет собой эллипс, эксцентриситет которого ра


вен нулю.		Гиперболой		называется		геометри
§ 20. Гипербола.
ческое место точек,		абсолютная		величина разности			рас
стояний	каждой из	которых	от двух		данных	точек,	на
зываемых	фокусами,	есть	величина		постоянная;		при

этом требуется, чтобы эта постоянная величина была меньше расстояния между фокусами и не равна нулю.

Пусть точки Fi и F2 (рис. 28) являются фокусами гиперболы. Выберем такое же положение осей коорди нат относительно фокусов, как при выводе уравнения эллипса. Обозначим расстояние между фокусами F\ и

'Fz через 2c, a разность расстояний любой точки гипер болы от фокусов — через 2а; заметим, что по определе нию гиперболы 2а < 2с, т. е. а < с. Необходимое и до статочное условие, что точка М(х; у) принадлежит ги перболе, выразится равенством

F2M-FlM=± 2а *).

Чтобы найти уравнение гиперболы, остается представить это равенство в координатной форме; это нетрудно сде


лать,			выразив			длину		каждого	из отрезков	F2M и FiM
через		координаты					его кон-		Ü
цов;		тогда		будем			иметь
Ѵ(х		+	с)2	+		У2-
	У(х-сУ				+	у>:		2а.
	Мы		получили не одно,								-X
а	два		уравнения,				каждое %~		0\	/Г
из	которых				выражает			ус

ловие,			что		точка		M(х;	у)	Рис.	28.
принадлежит						гиперболе;

это указывает на то, что гипербола состоит из двух ча стей, или, как говорят, из двух ветвей.

Перепишем	найденные			уравнения,			перенеся		в	пра
вую часть второй		радикал:
Ѵ{х + cf + у2			= ± 2а + Ѵ{х - с)2					+ у2.
Возведя обе части в квадрат, получаем*
х2 + 2сх + с2+	у2	=
= 4а2 ±		4а Ѵ(х		— с)2	+	у2 +	х 2 -	2сх +	с2	+ iß
или, по упрощении,
±	аѴ{х		— с)2-\-у2		=	а2-	ex.

Снова возведя обе части в квадрат., приходим к урав нению

	(а2 -		с2 ) X2	+	а2у2	= а2	{а2-с2).				(11)
Уравнение		(11)	имеет		тот	же	вид, что и		уравнение
(5**) эллипса до введения в						него	величины		Ь. Но		раз
ница	в том, что теперь			а <	с,	и, следовательно,				разность
.*)	Разность	F2M — F\M		положительна, если				точка	M	взята	так,
.что F^M > F\M		(как на рис. 28), и				отрицательна,		когда	FtM <		FtAÎ.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 447 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ