книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

Для монотонно возрастающего радиуса а (t) области контакта максимальную площадь контакта Qm в (2.182) можно заменить текущей площадью контакта Q(t), от­ куда, используя те же граничные условия (2.177), най­ дем

и для соответствующей упругой задачи. Следовательно, решение (2.184) тождественно совпадает с решением уп­ ругой задачи, которое дается формулами

Таким образом, зависимости (2.186) и (2.187) дают вязкоупругое решение в случае, когда а (і) — монотонно возрастающая функция времени. Это решение получено довольно простым путем, хотя его и нельзя найти непо­ средственным применением принципа соответствия к относящейся сюда контактной задаче теории упруго­ сти. Ключевым моментом в этой процедуре является за­ мена Qm на Q(^) при переходе от (2.182) к (2.184). Эта замена невозможна в случае, когда радиус a(t) после достижения наибольшего значения уменьшается.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда ра­ диус a{t) области контакта монотонно возрастает до максимального значения, достигаемого в момент време­ ни t= tm , а затем монотонно убывает до нуля. Для это­

§ 2.12. Ограничения для методов интегральных преобразований 103

2

|і (Ѳ - т) [Re (а2 (т) - /-2)'/г] - ^ j .

я 2R

(2.194)

Комбинируя зависимости (2.177), описывающие гранич­ ные условия, и уравнение (2.180) для общей вязкоупру­ гой задачи, находим

а (і) — — (х2+ у г) h (t) ==

нормальные напряжения под штампом, перемещение штампа и радиус области контакта. Если t ^ t m, то за­ висимости (2.196) и (2.197) сводятся к решению, на ко­ торое наложены более жесткие ограничения; это реше­ ние было найдено выше и определяется зависимостями

(2.186) и (2.187).

В некоторых случаях представляет интерес результи­ рующая сила, действующая на штамп. Она определяет­ ся формулой

о

Подставив Р из (2.197) и изменив порядок интегриро­ вания, получим

(2.199)

р = щ Ь ѵ ) Іо

Изложенная здесь процедура представляет собой краткое изложение результатов Грэхэма [2.12]. Позднее Грэхэм [2.13] обобщил свой метод на случай, когда ра­ диус области контакта имеет не один, а несколько отно­ сительных максимумов. Этот более общий случай был рассмотрен также Тингом [2.35]. Экспериментальное ис­ следование, связанное с описанным здесь анализом,про­ вел Калвит [2.4]. Грэхэм [2.14] и Тинг [2.36] выявили ограниченные классы вязкоупругих контактных задач, в которых в отличие от рассмотренного здесь общего случая допускается применение принципа соответствия упругой и вязкоупругой задач.

Аналогична рассмотренной здесь, но еще более слож­ на задача о качении цилиндра по вязкоупругому полу­ пространству. Здесь также неприменим принцип упруго­ вязкоупругого соответствия и должны развиваться дру­ гие методы решения. Исследования такого рода провели Хантер [2.18] и Морленд [2.25, 2.26].

§ 2.13. Итоги и выводы

Мы разобрали некоторые практические методы ана­ лиза вязкоупругих краевых задач. В случаях когда свой­ ства материала и характер граничных условий таковы, что возможно разделение переменных, часть решения, за­ висящая от координат, получается из решения соответст­ вующей задачи теории упругости, тогда как часть ре­ шения, зависящая от времени, следует из простой зави­ симости, выражаемой интегралом свертки.

Задачи для стационарного гармонического состояния с учетом инерционных членов в уравнениях движения и без него можно решать формально тем же способом, что и соответствующие задачи теории упругости. Дей­ ствительно, гармонические упругие решения для стацио­ нарного состояния можно превратить в соответствующие вязкоупругие решения путем замены упругих модулей соответствующими комплексными вязкоупругими моду­ лями. Реальное вычисление переменных в решении ос­ новано на арифметических действиях над комплексны­ ми числами для учета угла сдвига фаз.

Более общим является класс задач, которые решают­ ся с помощью интегральных преобразований. Главным ограничением для этого класса задач является требова­ ние, чтобы части поверхности В и и В 0, на которых за­

даны перемещения и напряжения, не менялись со вре­ менем. Для таких задач использование метода интег­ ральных преобразований сводит решение к двухшаго­ вому процессу, в котором сначала тем же методом, которым решается соответствующая задача теории упру­ гости, определяется часть решения, зависящая от коорди­ нат, а затем производится обращение. Эта процедура обладает полной общностью. Квазистатические при­ меры, рассмотренные нами, показывают, что аналитиче­ ские решения можно получать, когда механические свой­ ства вязкоупругого материала заданы в самом общем виде, и нет нужды использовать ограниченные частные формы механических моделей тела (несмотря на ча­ стые утверждения обратного свойства). Чтобы осу­ ществить процесс обращения преобразования для по­ лучения квазистатического решения, необходимо лишь, чтобы входные переменные — граничные условия и мас­ совые силы — были такого типа, при котором преоб­ разование решения имело только простые по­ люсы.

В последующих приложениях аналитических реше­ ний для получения численных значений переменных по­ ля мы нашли необходимым задать числовые величины характеристик механических свойств. В примере из § 2.8 оказывается практичным представить функцию релаксации в виде ряда убывающих экспонент, каждый член которого соответствует одному порядку времени из временного интервала, на котором производилось экспе­ риментальное определение функции релаксации. Про­ цедура численного определения переменных поля вклю­ чает отыскание комплексных корней полинома относи­ тельно переменной преобразования. Для выполнения этого шага можно использовать стандартные програм­ мы для ЭВМ.

Возникает вопрос о пределах во времени и об интер­ вале частот, в которых должны представляться механи­

Прежде всего относительно функций релаксации и пол­ зучести заметим, что они должны быть доведены лишь до максимального времени, для которого ищется реше­ ние. В отношении коротких промежутков времени эти формы должны быть достаточно точными для времен, по крайней мере на один-два порядка меньших, чем са­ мое раннее время, для которого желательно иметь реше­ ние.-Разумеется, это зависит также и от природы вход­

краткие временные интервалы, состоит в самой природе затухающей памяти, при которой недавние события ока­ зывают сильное влияние на переменные поля. В отно­ шении задания комплексных модулей как функций час­ тоты практический интервал, на котором должны быть представлены механические свойства, определяется пре­ обладающей частотой входных данных — т. е. опять-та­ ки граничных условий и массовых сил — и интервалом времени, в котором отыскивается решение. На этот счет нельзя указать никаких точных правил, но короткий ин­ тервал времен наблюдения требует большой точности в представлении высоких частот, тогда как длительный интервал времен наблюдения требует большой точности низкочастотных данных.

В рассмотренных примерах оказывалось возможным получить обращения аналитически, однако бывают слу­ чаи, когда это невозможно. В качестве примера можно указать на упругие задачи, для которых можно найти лишь численное решение, когда упругие характеристики принимают заданные значения. Отсюда следует, что преобразование Лапласа (или Фурье) решения соответ­ ствующей вязкоупругой задачи будет известно из упру­ гого решения только для частных значений переменной преобразования. Это обстоятельство требует выполнения отдельного численного решения задачи теории упругости для каждого значения переменной вязкоупругого преоб­ разования. Для обращения получающегося в результа­ те вязкоупругого решения понадобится использовать приближенные методы обращения преобразования Лап­ ласа, если использовалось оно, а не преобразование