книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

m

где комплексные корни а/ уравнения F ( s ) = 0 можно оп­ ределить на ЭВМ с помощью стандартной программы, когда в представлении для р(^) заданы характеристики какого-либо конкретного материала.

Квазистатическое поведение сжимаемого цилиндра

Для сжимаемого вязкоупругого цилиндра при осевой симметрии единственное нетривиальное уравнение квазистатического равновесия в цилиндрических координа­ тах г, Ѳи z имеет вид

где u = u(r, s ) — преобразование Лапласа от радиально­

где C(s) и D(s) — функции переменной преобразования, подлежащие определению.

Используя зависимости между деформациями и пере­ мещениями и преобразование соотношений между на­ пряжениями и деформациями в виде интеграла релакса­ ции, получаем

(2.90)

(2.91)

(2.92)

где

§ 2.10. Действие давления на границу сферической полости 79

но (2.86). Обратное преобразование Лапласа зависимо­ сти (2.100) дает

l—‘ s->a-

Примеры вычисления напряжений по формулам (2.101) дали Кристенсен и Шрейнер [2.5]. В этой работе функ­ ция релаксации р(^) представлялась рядом (2.68) убы­ вающих экспонент и находились соответствующие корни F (s ). В работу [2.5] включен также один частный спо­ соб учета влияния границы, которая изменяется вслед­ ствие сгорания или коррозии материала.

Задаче о нагружении вязкоупругих цилиндров внут­ ренним давлением посвящены многочисленные работы. Один подход, типичное описание которого содержится в работе [2.16], заключается в сведении задачи к реше­ нию интегрального уравнения, или уравнений, что мож­ но легко провести численно с использованием непосред­ ственно измеренных механических свойств. Другое исследование по этому вопросу проведено в работе [2.34], где также учитывается возможное влияние корро­ зии границы цилиндра.

§ 2.10. Действие давления на границу сферической полости

В качестве последнего примера использования мето­ да интегральных преобразований рассмотрим действие давления на границу сферической полости в бесконечной

среде. В отличие от предыдущего примера эта задача используется для иллюстрации использования преобра­ зования Фурье. При этом учитываются инерционные чле­ ны; таким образом, рассматривается задача о динами­ ческом поведении, включающем эффект распространения волн. Этот эффект не будет, однако, рассматриваться здесь детально; основное внимание будет уделено мето­ ду решения задачи. Специальное исследование вопроса о распространении волн будет проведено в гл. 4. Реше­ ние, приведенное здесь, взято из работы Локкета [2.23].

В сферических координатах г, Ѳ, ср при условии сфе­ рической симметрии единственное нетривиальное урав­ нение движения упругой среды имеет вид

му в § 2.5, превратим это уравнение движения в преобра­ зование Фурье уравнения движения вязкоупругой среды

где функции С (со) и D (a) подлежат определению. По­ скольку. внешней границы не существует, не может быть и отражения, вызывающего приходящие волны; в силу этого могут существовать только исходящие волны и С((о) должно обращаться в нуль. Это приводит (2.105) к виду

Ненулевыми являются только компоненты напряжения огг и сгѳѳ= а фф. Используя преобразование соотношения

§2.11. Свободные колебания

Взадаче, рассмотренной в предыдущем параграфе, задавались граничные условия, содержащие изменения во времени, и определялось динамическое поведение вяз­ коупругого тела. Другим типом задач, в которых учиты­ ваются инерционные члены, полностью определяющие

служит то, что работа всех сил на границе там, где они существуют, тождественно равна нулю; таким образом, граничные условия имеют вид

Кроме того, тождественно равными нулю должны счи­ таться внешние массовые силы, исключая, возможно, их временное приложение в самом начале движения. Та­ ким образом, эти задачи принадлежат к типу задач с на­ чальными значениями. Анализ поведения вязкоупругих тел, на которых наложены такие условия, и будет пред­ метом нашего изучения.

Преобразование Лапласа уравнений движения дает­ ся зависимостью

Мы будем искать решение уравнения (2.119), удовлетво­ ряющее граничным условиям (2.118) при некоторых на­ чальных условиях. Прежде всего рассмотрим частный случай, в котором коэффициент Пуассона будет считать­ ся постоянным, поскольку этот случай приводит к боль­ шим упрощениям.

Частный случай постоянного коэффициента Пуассона (ѵ = const)

Сначала напомним анализ свободных колебаний для упругих тел. Уравнения движения имеют вид

и по-прежнему применяются граничные условия (2.118). Решение ищется в форме

Функции координат Uf(x.) определяются таким обра­ зом, чтобы удовлетворялись уравнения движения (2.120), а удовлетворение граничным условиям (2.118) приводит к задаче о собственных значениях. Соответст­ вующие собственные значения и собственные векторы определяют собственные частоты и отвечающие им фор­ мы колебаний, которые обозначаются через

С0„ И U f ’n(Х;).

Спектр частот со» может быть дискретным или непре­ рывным в зависимости от того, конечны размеры упру­ гого тела или нет. Здесь и далее в этом параграфе мы будем рассматривать только случай дискретных собст­ венных значений; однако результаты легко можно обоб­ щить и на непрерывный случай. Полное решение при этом представляется суперпозицией собственных векто­ ров, и, согласно (2.121), это дает

П

Произвольные постоянные, отвечающие каждому собст­ венному вектору, определяются таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия. С формальной сто­ роны процедура определения этих комплексных постоян­ ных использует ортогональность собственных векторов таким же образом, как это делается для определения постоянных при представлении функции комплексным рядом Фурье.

Рассмотрим теперь соответствующую вязкоупругую задачу. Предположим, что вязкоупругое решение име­ ет вид

где fn(t) — неизвестные функции времени, а Uf-n (х{) ~

собственные векторы для соответствующей упругой за­ дачи, для которой коэффициент Пуассона таков же, как