книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

§ 3.1. Термодинамический вывод определяющих соотношений 1 17

и где используются следующие свойства симметрии:

Неравенство (3.6) должно выполняться для любых значений бij(t) и Ѳ (0; следовательно, необходимо, чтобы

коэффициенты при sa(t) и Ѳ(^) в (3.6) обращались в нуль. Отсюда

t

— j Фa (0> t — x) d^ - Q - dx (3.9)

Формулы (3.9) и (3.10) являются определяющими соотношениями для напряжения и энтропии соответствен­ но. Из них видно, что Aij(O) является начальным на­ пряжением, а ß ( 0 ) — начальной энтропией pS0. Функ-

§ 3.1. Термодинамический вывод определяющих соотношений 12 f

Определяющее соотношение для энтропии в случае изотропного материала аналогично (3.10) с той лишь разницей, что <$ц и ец следует заменить на ср и suk соот­ ветственно.

Скорость диссипации энергии Л для изотропных ма­ териалов имеет вид

Наконец, в случае изотропного материала для &гц должно быть принято представление, подобное (3.21); тогда свя­ занное уравнение теплопроводности (3.20) принимает вид

г

+ j m it — т, 0) — jp- dx = 0 . (3.26)

Этим завершается построение линейной теории тер­ мовязкоупругости. Полученные зависимости собраны и исследованы в § 3.4 с точки зрения постановки соответ­ ствующих краевых задач.

§ 3.2. Ограничения и частные случаи

Рассмотрим некоторые следствия из диссипативного неравенства для изотропной теории. Для этого необхо­ димо исследовать влияние разрывных историй деформа­ ции и температуры. Строго говоря, использование раз­ рывных историй нарушает допущения о непрерывности, принятые при выводе, и строгое обоснование таких дей­ ствий должно восходить к рассуждениям, использован­ ным в § 1.2, где разрывная история представляется рав­ номерно сходящейся последовательностью непрерывных функций.

Примем истории деформации и температуры в виде

ОО

где гц и Ѳ— значения скачков функций ец и Ѳ при t — 0.

Из этого общего неравенства получаются следующие ог­ раничения:

и гц — віу, в этом случае диссипативное неравенство дает

Заметим, что ограничение (3.32), например, не обяза­ тельно влечет за собой подобное ограничение на соответ­ ствующую функцию релаксации напряжения Gi(t, 0). Однако, если функция ДДт, т]) имеет частный вид

dGi(t, 0)/dt = gGi (t)/dt^.O. В этом случае условия (3.29)

и (3.32) выражают термодинамическое требование, что­ бы тангенсы углов наклона графиков функций релакса­ ции G\(t) и G2(t) были отрицательными. Такое требова­ ние к наклону можно сравнить с ограничениями на функ­ ции релаксации, накладываемыми гипотезой о затухаю­ щей памяти из § 1.3. Далее мы покажем, что частный слу­ чай Ga (r, г)) = Ga(T+ri), <х=1, 2, не противоречит соответ­

ствующей теории, вытекающей из анализа механических моделей.

Ограничения (3.29) — (3.32) являются необходимыми условиями для удовлетворения диссипативного неравен­ ства; обсудим теперь достаточное условие удовлетво­ рения этого неравенства. В этом случае будут рассмат­

Заметим, что зависимости (3.33) влекут за собой ра­ венство Ga (r, T]) = Ga (T+r|), а вместе с тем и Ga (r, 0) =

= Ga (x). Следовательно, функцию Ga (t) можно пред­

ставить в виде (3.33), т. е. в виде ряда убывающих экс­ понент, а это, как можно показать, является формой функций релаксации, получающейся из анализа механи­ ческих моделей (см. § 1.5). После подстановки (3.33) в изотермическую форму зависимости (3.25) можно убе­ диться, что диссипативное неравенство удовлетворяется для всех историй деформации. В этом случае формулы для свободной энергии и для скорости диссипации со­ держат Ga в виде G i(2t—т—ті) и G2(2t—т—т)), что со­

гласуется с формулировкой, основанной на анализе ме­ ханической модели.

Вопрос о том, можно ли установить реалистические требования, при которых функция Ga (т, ц) должна

иметь упрощенную форму Ga (r+ ri), привлек к себе вни­

мание (см., например, Брюер и Онат [3.2]). В последую­ щем анализе и в приложении его результатов будут ис­ пользоваться упрощенные формы функций релаксации с аргументом в виде суммы, Ga (т, т)) = Ga (r+ ri). Это при­ водит к тому, что, когда функции релаксации, входящие

вопределяющие соотношения для напряжения и энтро­ пии, известны или определены из расчета, можно вос­ пользоваться аналитическими методами для определения

вчастных случаях соответствующей свободной энергии. Иначе определить свободную энергию нельзя, поскольку она зависит от Ga (T,ii), тогда как из исследования на­

пряжения можно найти только Ga (т, 0).

Другой интересный частный случай, который мы здесь рассмотрим, касается связи коэффициента термического расширения с механическими свойствами материала, рассматриваемыми в данной теории. Пусть свободный от напряжений образец материала испытывает измене­

Из равенства (3.24) находятся соответствующие измене­ ния объема

t

j G 2(t — r)(dskk (т)/дт) d%- Зср (f) Ѳ0, (3.35)

о

где аргументы в функциях интегрирования принимаются в описанной выше аддитивной форме. Далее, если ф (0 можно записать в виде

ф (0 = а Ga(/), (3.36)

где а — постоянная, то решение уравнения (3.35) имеет вид

Однако для получения зависимости (3.37) для объемного расширения необходимо допущение (3.36). В общем случае нельзя ожидать, что функция ср(/) будет пропор­ циональна G2(t) и тогда зависимость (3.34) объема от времени должна определяться уравнением (3.35). В этом общем случае нельзя выразить изменение объема через не зависящий от времени коэффициент теплового расши­ рения.

§ 3.3. Связь с требованием неотрицательности работы

Требование неотрицательности работы повсеместно используется в механике сплошной среды. В инкремен­ тальной теории пластичности требование неотрицатель­ ности работы ведет к постулату Друккера, который име­ ет фундаментальное значение в установлении определя­ ющих соотношений. В линейной изотермической теории вязкоупругости Гёртин и Эррера [3.9] использовали тре­ бование неотрицательности работы, затраченной на де­ формацию материала из начального состояния, в виде

где yij — симметричный тензор. Соотношения (3.39) яв­ ляются ограничениями, наложенными на начальные зна­ чения функций релаксации, тогда как соотношения (3.40) являются ограничениями на их асимптотическое поведе­ ние через длительное время. Соответствующие результа­ ты для изотропных материалов имеют вид Ga (0 ) ^ 0 ,

Ga (°°) > ° > а = 1 , 2.

Естественно задаться вопросом: существует ли связь между требованием неотрицательности работы (3.38) и термодинамическими соображениями, развитыми в двух

126 Гл. 3. Термовязкоупругость

предыдущих параграфах? При изотермических условиях неравенство (3.5) принимает вид

а это неравенство просто утверждает, что общая дисситшрованная энергия должна быть неотрицательной.

Изучим теперь следствия из (3.42) и (3.43). Если по­ требовать, чтобы свободная энергия была неотрицатель­ на, рЛ^О , то неравенство (3.42) дает необходимое, но не достаточное условие неотрицательности работы. Доста­ точное условие заключается в том, чтобы удовлетворя­ лось также неравенство (3.43). Однако при этом, если даже потребовать неотрицательности затраченной ра­ боты и диссипации энергии, о знаке рЛ ничего нельзя будет сказать. Принимая термодинамическое требование

ко из неотрицательности работы не следует рЛ ^О . В си­ лу этого представляется, что требование рЛ ^О является условием более жестким и более физически содержатель­ ным, чем требование неотрицательности работы.

Из требования неотрицательности свободной энергии следуют некоторые прямые выводы. Воспользуемся сту­ пенчатой функцией истории в формуле (3.22) свободной энергии для изотропного случая, упрощенной для изотер­ мических условий с использованием функции релаксации