книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

постоянные, которые должны быть определены из усло­

Следуя методу, изложенному в § 2.4, превратим уп­ ругое решение (2.64) в гармоническое вязкоупругое ре­ шение стационарного состояния, заменив в выражении (2.62) для П р на р*(іа>). Такая процедура дает

л

Аі(0, t). В другом случае, когда рассматривается экспе­ риментальная установка анализируемого здесь типа, соотношение (2.65) позволяет найти комплексный мо­ дуль сдвига путем наблюдения за приложенным крутя­ щим моментом и угловым перемещением. Эта последняя процедура была проделана Готтенбергом и Кристенсе­ ном [2.9], и ее результаты будут подробно приведены в § 7.3.

Следует заметить, что в данной задаче учтено влия­ ние инерционных членов и что в результате получено об­ щее стационарное динамическое решение.

§ 2.8. Пример квазистатического поведения

Приведем теперь пример использования метода ин­

ционарные крутильные колебания цилиндра и было по­ казано, как можно использовать этот результат для оп­ ределения комплексного модуля р* (іи ). При этом неяв­ но подразумевалось, что любые начавшиеся переходные процессы «отмирают», уступая место условиям стацио­ нарного процесса. Та же задача будет рассмотрена вновь, но теперь будут учтены начальные переходные процессы, связанные с вязкоупругостью материала. Пусть прямой круговой цилиндр с внутренним радиусом а, наружным радиусом b и длиной h считается закреп­ ленным на конце z = h, тогда как его конец 2 = 0 испыты­ вает закручивание с заданным углом, определяемым за­ висимостями

где k — заданная амплитуда колебаний. Задача состоит в том, чтобы найти крутящий момент M(z, t) |г = о, требу­ емый для того, чтобы вызвать колебания (2.66). В этой задаче частота и считается достаточно малой, чтобы можно было пренебречь инерционными членами.

Соответствующее соотношение статической теории упругости между крутящим моментом М(0, t ) , действую­

Следуя методу интегральных преобразований из § 2.5, это соотношение теории упругости можно рассматривать как преобразование Лапласа соответствующего вязко-

упругого соотношения, если заменить р на sp(s),

М (0, t) на М (s), а Ф (0, t) на Ф (0, s ), где р (s) — преоб­ разование Лапласа вязкоупругой функции релаксации

По поводу метода обратного преобразования Лапласа см. приложение Б.

Первые два члена в (2.70) характеризуют стационар­ ный процесс, а последний — переходную часть процесса.

Готтенберг и Кристенсен [2.10] использовали полное решение (2.70) для предсказания начального переходно­ го поведения образца, который применялся для опреде­ ления комплексного модуля сдвига, как это описано в § 2.7. Функция релаксации при сдвиге для материала образца имеет вид, представленный на рис. 2.1, и опре­ делена по соответствующему комплексному модулю. Процедура установления связи между функцией релак­ сации и комплексным модулем обсуждается ниже

результатами приведено на рис. 2.2, который взят из работы [2.10]. Соответствие кажется полным.

Таблица 2.1

Данные о функции релаксации

Р и с . 2.2. Пример переходного поведения при частоте 0,02 Гц и тем­ пературе 26,1° С (по Готтенбергу и Кристенсену [2.10]).

Что касается приближения функции релаксации ря­ дом из убывающих экспонент, как это было проделано здесь, представляются важными следующие замечания. В общем случае требуется один член на каждый поря­ док величины в графических данных. Времена релакса­ ции, относящиеся к этим отдельным членам, должны располагаться в пределах одного порядка так, чтобы самое большое и самое малое время релаксации грубо соответствовали самому большому и самому малому временам, при которых моделировались данные о релак­ сации. Разумеется, приемлемо любое изменение этой процедуры, если аналитическое представление действи­ тельно удовлетворяет экспериментальным данным на требуемом интервале времени, однако изложенный при­ ем всегда можно использовать для окончательной про­ верки. Задача 2.10 в конце этой главы включает модель­ ную процедуру такого типа. Признавая частный харак­ тер этой процедуры и подобных ей, авторы работы [2.11] предложили систематический способ представления функций релаксации и ползучести.

§ 2.9. Цилиндр под действием внутреннего давления

Приведем другой более сложный пример применения преобразования Лапласа для получения вязкоупругих решений. Задача о действии внутреннего давления на вязкоупругий цилиндр, подкрепленный упругой оболоч­ кой, представляет практический интерес. Рассмотрим достаточно длинный цилиндр, для которого можно при­ нять гипотезу о плоском характере деформаций. Внача­ ле анализ проводится для несжимаемого вязкоупругого цилиндра с учетом инерционных членов. После этого со­ ответствующий анализ проводится для сжимаемого вяз­ коупругого цилиндра с пренебрежением инерционными членами.

Динамическое поведение несжимаемого цилиндра

Займемся задачей о действии внутреннего давления на несжимаемый вязкоупругий цилиндр в условиях пло­ ской деформации и осевой симметрии. При этих условия^

зависимость радиальной компоненты перемещения от радиальной координаты находится непосредственно из условия несжимаемости. После того как распределение перемещений становится известным, задача сводится к виду, в котором она имеет только одну независимую переменную — время, т. е. является задачей с одной сте­ пенью свободы. При этих весьма частных условиях, свя­ занных с допущением о несжимаемости, можно учесть инерционные члены, не вызывая чрезмерных ослож­ нений.

Рассуждая вышеизложенным способом, запишем ус­ ловие несжимаемости в виде

где u = u(r, t) — радиальная компонента перемещения в цилиндрических координатах г, Ѳ и г. Решение уравне­ ния (2.71) имеет простой вид

где C = C ( t ) — функция времени, которую нужно опре­ делить.

Для несжимаемого материала соотношения между упругими напряжениями и деформациями, которые соот­ ветствуют условиям данной задачи, даются формулами

= S ,

где S — гидростатическое напряжение, которое является основной неизвестной задачи. Обратим эти зависимости в преобразования Лапласа вязкоупругих соотношений между напряжениями и деформациями:

Единственное нетривиальное уравнение движения име­ ет вид

Подвергая это уравнение преобразованию Лапласа при

где D = D (s).

Используя (2.72) и (2.76), можно найти преобразо­

Граничные условия задачи принимаются в форме

где q(t) и ис(і) — давление и перемещение ограничива­ ющей цилиндр тонкой упругой оболочки, которые свя­ заны зависимостью

здесь Vc и Ec — упругие константы оболочки, h — толщи­ на оболочки, а b — ее радиус. Последние два уравнения (2.78) представляют собой условия непрерывности на границе между вязкоупругим цилиндром и упругой обо­ лочкой. _

Величины C(s) и D(s) находятся из граничных усло­ вий (2.78) с учетом (2.79). Используя то же представле­ ние функции релаксации при сдвиге, которое дается ра­

венством (2.68), можно записать sp, в виде