книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости
.pdfПРЕДИСЛОВИЕ
Представление о вязкоупругом поведении материа лов возникло уже давно, однако лишь в последнее вре мя оно завоевало широкое признание и обширное поле приложений. Результатом недавних исследований в этой области, вызванных, главным образом, распростране нием полимеров, было развитие многих теоретических аспектов и методов их приложения. Задача данной кни ги состоит в объединении этих разнообразных теорети ческих построений для достаточно полного и содержа тельного изложения линейной теории вязкоупругого 'по ведения материалов. Кроме того, дается введение в
общую нелинейную теорию вязкоупругости.
Подход, которому мы здесь следуем, состоит в вы воде теоретических положений с позиций механики сплошной среды, а также в демонстрации и обсуждении некоторых методов решения задач. В первых пяти гла вах рассматриваются различные аспекты линейной тео рии как при изотермических, так и при неизотермиче ских условиях, включая динамические и квазистатические задачи. Здесь, в частности, формулируется различие между твердыми телами и жидкостями и подчеркивает ся ограниченная применимость линейной теории к жид костям.
После этого продолжительного экскурса в линейную теорию мы даем краткое изложение нелинейной теории вязкоупругости (глава 6). Нелинейная теория строится раздельно применительно к твердым телам и жидко стям; характеризуются общие черты линейной и нели нейной теорий, а также их некоторые различия. Глава 7 содержит краткое описание методов определения ме ханических характеристик, применяющихся как в ли нейной, так и в нелинейной теориях.
8 |
Предисловие |
В делом книга посвящена в первую очередь теорети |
|
ческим вопросам. |
Однако характер теоретических по |
строений в известной степени определяется стремлением получить результаты, в наибольшей мере удобные для практических приложений. Изложение завершается гла вой о методах определения механических характеристик вязкоупругих сред; цель ее — ознакомить читателя с не которыми специфическими аспектами этих приложений.
Книга задумана как учебник для студентов старших курсов. Часть излагаемого в ней материала основывает ся на записи лекций, которые автор читал студентам старших курсов Калифорнийского университета (Берк ли) в 1966 и 1970 гг. В связи с этим следует, возможно, упомянуть, что некоторые из представленных здесь ре зультатов публикуются впервые. Независимо от того, используется ли эта книга как учебник или как справоч ник, дополнением к ней должно служить какое-либо руко водство по линейной теории упругости в тензорном из ложении. Многие результаты из теории упругости здесь просто напоминаются, а затем используются.
Содержащийся в книге материал может служить ос новой семестрового курса по рассматриваемому предме ту. Для более краткого курса теории вязкоупругости ос новой могут служить главы 1, 3 и 6, посвященные соот ветственно линейной изотермической теории, линейной неизотермической теории и нелинейной теории. Главы 2, 4 и 5 по содержанию связаны с главами 1 и 3, но могут рассматриваться как не зависящие одна от другой. Гла ва 7 связана почти со всем ранее излагаемым материа лом. Сокращенное изложение линейной теории вязкоуп ругости можно включить в курс теории упругости; в этом случае оно может охватывать главы 1 и 2 полно стью или частично.
Пользуюсь случаем выразить свою признательность профессору П. Нахди (Калифорнийский университет, Беркли) за весьма полезные дискуссии, неоднократно возникавшие в последние годы и посвященные различ ным проблемам теории вязкоупругости, в частности ее термодинамическим аспектам. Кроме того, профессор Нахди любезно предоставил мне неопубликованные ре зультаты некоторых исследований по теории терморео
Предисловие |
9 |
логически простых материалов; содержание § |
3.6 частич |
но основано на этой работе. |
|
Хотя в этой книге я намеренно ограничивался одно родными материалами, некоторые примеры и выводы связаны с композитными полимерами, исследование механического поведения которых проводилось мною в лабораториях компании Шелл; сотрудникам этой ком пании я также приношу свою благодарность.
Ричард Кристенсен
Глава 1
ВЯЗКОУПРУГИЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ
§ 1.1. Введение
Общее развитие и широкое применение линейной теории вязкоупругости наблюдается сравнительно не давно. Действительно, активность в этой области связа на в первую очередь с современным широким распро странением и использованием полимерных материалов. Многие из этих, новых материалов обладают механиче скими свойствами, которые нельзя описать с помощью
упругой |
или |
вязкой моделей механического поведения; |
в силу |
этого |
становится очевидной необходимость по |
строения более общей теории.
Теория упругости может применяться к материалам, которые обладают способностью накапливать механиче скую энергию, не рассеивая ее. С другой стороны, ньюто новская вязкая жидкость при негидростатическом на пряженном состоянии проявляет способность рассеивать энергию, но не способна ее накапливать. Но тогда эти две теории не могут описать поведения тех материалов, ко торые способны частично (но не полностью!) вернуть работу, затраченную на их деформирование. Такие ма териалы обладают способностью как к накоплению ме ханической энергии, так и к рассеиванию ее.
Другой способ характеристики таких материалов со стоит в описании их механического поведения при вне запно приложенных к поверхности образца равномерно распределенных усилиях. Термины «внезапно приложен ная» нагрузка или «внезапно приложенное» напряжен ное состояние в данном случае не следует понимать так, что нагружение вызывает скорости, приводящие к де формированию образца в динамических условиях. Уп ругий материал, будучи подвергнут такому «внезапно приложенному» нагружению, в дальнейшем остающему-
12 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
ся постоянным, мгновенно претерпевает деформации, ко торые потом остаются неизменными. При внезапном приложении однородного касательного напряжения к ньютоновской вязкой жидкости возникает стационарное течение.
Существуют, однако, материалы, у которых внезапно приложенное и поддерживаемое неизменным напряжен ное состояние вызывает мгновенную деформацию, вслед за чем следует процесс течения, которое с возрастанием времени может быть ограниченным или неограниченным. О материале, который ведет себя подобным образом, говорят, что он проявляет одновременно свойства упру гости и ползучести. Такое поведение, очевидно, не опи сывается ни упругой, ни вязкой моделями, а сочетает в себе черты обеих.
Полезно рассмотреть случай, который представляет собой обобщение поведения материала при однократном внезапном изменении приложенных поверхностных сил. Допустим, что материал, обладающий описанными выше свойствами мгновенной упругости и ползучести, подвер гается двум неодновременно происходящим изменениям однородного напряженного состояния, которые наклады ваются одно на другое. После первого приложения на пряжения, но перед тем, как наступило второе, поведе ние материала будет зависеть от времени, а также o r величины приложенного вначале напряжения. Рассмот рим теперь ситуацию, которая возникнет через сколь угодно малый интервал времени после внезапного при ложения второго напряженного состояния. Поведение материала будет зависеть не только от второго измене ния внешних усилий, но и от продолжающегося завися щего от времени влияния первого приложенного уров ня напряжений.
Заметим, что поведение упругого материала в любой момент времени зависит только от суммарного уровня напряжений. Таким образом, рассматриваемый матери ал более общего типа обладает свойством, которое мо жно назвать эффектом памяти. При этом поведение ма териала определяется не только текущим напряженным состоянием, но и всеми прошлыми напряженными со стояниями, так что, вообще говоря, материал «запоми
§ 1.1. Введение |
13 |
нает» эти прошлые состояния. Подобная же |
ситуация |
возникает, если обратиться к деформациям; в этом слу чае текущее напряжение зависит от всей истории дефор маций.
В следующем разделе будет приведено простое, но фундаментальное математическое описание именно это го последнего факта способности материалов к запоми нанию. Далее для построения линейного вязкоупругого соотношения между напряжениями и деформациями при изотермических условиях будет использована теорема представления. При этом использование термина «па мять» станет более строгим; однако следует отметить, что существует много других теорий механического по ведения материалов с памятью, которые коренным об разом отличаются от излагаемой здесь. Например, ин крементальная теория пластичности включает эффекты памяти, но лишь в том смысле, что конечное деформи рованное состояние зависит не только от конечного на пряженного состояния, но и от пути в пространстве на пряжений, который привел к этому конечному состоя нию.
Подчеркнем, что разница между этими двумя теори ями состоит в том, что в теории пластичности не учиты вается масштаб времени, используемый в программах нагружения и разгрузки, тогда как в теории вязкоупру гости имеется характерная зависимость от времени или от скорости деформации.
Все выводы и приложения в этой и в следующих гла вах предполагают однородность материала. Во многих случаях легко получить обобщения для некоторых неод нородных материалов, в то время как в других случаях получить такое обобщение трудно или невозможно. Та ким образом, вопрос об обобщении методов, развитых для однородных материалов, на неоднородные требует индивидуального подхода.
Наконец, следует отметить тот факт, что, хотя боль шинство достижений в теории вязкоупругости относится к последнему времени, теория, сформулированная для линейного изотермического случая, существует уже дав но. Это связано с вкладом таких авторов, как Максвелл, Кельвин и Фойхт; Больцман [1.2] в 1874 г. впервые дал
14 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношений.
уравнения трехмерной теории изотропной вязкоупруго сти. В 1909 г. Вольтерра [1.15] получил аналогичные зависимости для анизотропных тел.
§ 1.2. Интегральная форма определяющих
соотношений между напряжениями и деформациями, Свертка Стильтьеса
Переходим к выводу изотермических вязкоупругих зависимостей между напряжениями и деформациями. Установление других уравнений поля, необходимых для завершения теории, отложим до следующей главы. Пре жде всего кратко напомним определения напряжения и деформации. Более подробные сведения содержатся в курсах теории упругости, например в книге Сокольни кова [1.12]9.
Воспользуемся обычным обозначением декартова тензора, в котором латинские индексы пробегают значе ния 1, 2, 3, а повторяющиеся индексы обозначают сум мирование. Обозначим через Х{ координаты точки тела в начальном состоянии, отнесенные к декартовым осям. Для твердого тела фиксированная начальная конфигура ция отсчета считается недеформированной. Через Хі обо значим координаты той же точки в деформированном состоянии. Полная история движения среды определяет ся зависимостью
*< (т) — Хі (X j, т), — ОО< Т < /,
где т — переменное время, а t — текущий момент вре мени.
Компоненты вектора перемещений определяются формулой
Щ(т) = Хі (т) — Х[.
Мера деформации дается |
соотношением |
|
dui (т) _ |
дх{ (т) |
о |
дХ ( |
dX j |
ih |
*> См. также, например, Лурье А. И., Теория упругости, изд-во
«Наука», 1970. — Прим, перев.
§ 1.2. Интегральная форма определяющих соотношений |
15 |
где ба — символ Кронекера. Определим е соотношением
е = sup К,/(т)|,
Т
где Ui'j— dUi/dXj, | | обозначает абсолютную величину, a sup —наименьшую верхнюю грань. Деформация назы вается инфинитезимальной в любой момент т, если е<СІ. Теория вязкоупругости, которую мы будем в дальнейшем развивать, будет называться инфинитези мальной, если е<С 1 и перемещения малы по сравне нию с характерными размерами тела. При таких усло виях инфинитезимальный тензор деформаций ец опреде ляется как
е//(т ) “ 1/ 2 fr) Uj ,l fr)]*
где вследствие инфинитезимальное™ перемещений несу щественно, по какому аргументу ведется дифференциро вание: по Хі или по Хі. Следовательно, в инфинитези мальной теории производные можно брать относительно координат Хі.
Напряжение определяется следующим образом. Пусть ба — площадь элемента поверхности, которая мо жет быть границей тела, а может просто лежать внутри него. Обозначим через п единичный вектор нормали к инфинитезимальному элементу поверхности ба. Вектор напряжения о определяется через результирующую си лу G, действующую на элемент поверхности ба,
а,- — Нт — .
6a-f0 öа
Э то т вектор напряжения определяется на стороне эле мента ба, соответствующей положительному направле нию п. Каждой ориентации элемента поверхности ба соответствует свое значение вектора напряжения а. Тен зор напряжений оц определяется с помощью преобразо вания, которое связывает компоненты вектора напряже ния с ориентацией элемента поверхности, т. е.
°і = °ЦПі.
Это соотношение получается из условий равновесия ма лого тетраэдра в проекциях на оси координат. Симмет рия тензора напряжений а ц — ол следует из предполо-
16 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
жения о равновесии моментов, приложенных к малому элементу объема. В рассматриваемой инфинитезималь ной теории площадь ба можно относить как к фиксирован ной, так и к деформированной конфигурациям отсчета,
ирасхождения при этом будут пренебрежимо малы в си лу инфинитезимальное™ перемещений между этими дву мя состояниями. Для общей теории, представленной в гл. 6
ине включающей предположения о малости перемеще ний, это будет не так.
Вконтексте данной инфинитезимальной теории следу ет найти определяющее соотношение между напряжения
ми Oij и деформациями гц . Это соотношение предпола гается линейным, что согласуется с уже введенными до пущениями о малости перемещений. Инфинитезимальная теория называется линейной, если помимо вышеупомя нутых линейных соотношений линейными принимаются и дополнительные уравнения полей, которые необходимы для полноты теории. Эти дополнительные соотношения будут приведены в гл. 2.
Гипотеза о том, что мгновенное значение тензора на пряжений зависит от всей истории изменения компонент тензора деформаций, формально выражается в виде
со |
|
°ІІ (0 = Ч></ ( ч і (t — s), в м (*)), |
(1.1) |
s = 0 |
|
где фіД ) — линейный тензорнозначный |
функционал, |
s= 0 |
|
преобразующий каждую историю изменения деформаций Eij(t) при — о о ^ ^ ^ о о в соответствующую историю из менения напряжений сГгДОЭтот функционал парамет рически зависит от текущего значения деформаций Eki(t), которое соответствует упомянутому во введении эффекту мгновенной упругости. В общем случае все пе ременные поля являются функциями не только времени, но и координат точки однако, поскольку здесь рас- с-матриваются только локальные эффекты, зависимость Oij и Eij от Хі не учитывается.
Если история деформаций ец (() предполагается не прерывной, а функционал линейным, то, чтобы запи сать функционал (1.1) в виде интеграла Стильтьеса, можно использовать теорему представления Рисса