книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

Ui(Xi, t)t= о = Wi(Xi), dUi(Xi, t)/dt\t^o = Vi{Xi). (2.129)

Подставим начальные условия (2.129) в левую часть (2.128) и в первую производную от этой зависимости и умножим полученные уравнения на Uf'n(Xi). Интегри­

руя результат по области V, получаем

'fn(ß) = ^Vt (xl) U f’n(xl)dv,

V

где использовано свойство ортогональности нормализо­ ванных собственных векторов U упругой задачи.

Приведенный анализ взят из работы Хантера [2.19]. Он завершает исследование свободных колебаний в слу­ чае постоянного коэффициента Пуассона; в следующем разделе это ограничение будет ослаблено.

Случай произвольного вязкоупругого коэффициента

Пуассона

В этом более общем случае удобнее сразу же пред­ положить гармонический характер колебаний, а не ис­ пользовать преобразование Лапласа, как это делалось при v = const. Таким образом, положим

Подставляя принятую форму перемещений в уравнения движения, получаем

Способ решения уравнения (2.132) при граничных усло­ виях (2.118) формально тот же, что и в соответствующей задаче теории упругости. В частности, уравнение для ча­ стот, символически записанное в виде

следует из соответствующей задачи теории упругости

88 Гл. 2. Изотермические краевые задачи

о свободных колебаниях, если заменить р, и ѵ на р* и ѵ* соответственно.

В противоположность соответствующему уравнению теории упругости уравнение (2.133) содержит в левой части комплексную функцию частоты; его корни в об­ щем случае будут комплексными и обозначаются через со*. В выражении fx* (ісо) = fx'(со) (со) величины

р^со) и p'^co) при комплексной со также являются ком­ плексными, и то же относится к ѵ*(іш). Таким образом, для использования в (2.133) нужны аналитические фор­ мулы для р'((о), р"(со), ѵ'(<в) и ѵ"((о).

Полное решение задачи о свободных колебаниях теперь записывается в виде

П

где зависящие от координат части решения U^n)— соб­ ственные векторы, соответствующие частотам со*. Реше­ ние (2.134) можно записать и в иной форме

Теперь можно определить характер решения (2.135) задачи о свободных колебаниях. Совершенно ясно, что оно включает экспоненциальное затухание. Однако наи­ более интересной особенностью решения является то, что оно не имеет единственных наблюдаемых форм коле­

баний: такая возможность исключается из-за зависимости фазовых углов ф{(п) (х() от координат. Эта ситуация про­

тивоположна той, которая имеет место при постоянном коэффициенте Пуассона, когда для каждой отдельной частоты существует единственная наблюдаемая форма колебаний.

Хотя только что описанная процедура определения характеристик процесса свободных колебаний для неко­ торого общего вязкоупругого тела в принципе проста, некоторые ее детали выполнить довольно трудно. Эта трудность связана с зависимостью частот от вязкоупру­ гих механических свойств.

Полезно исследовать упрощения, которые возникают в описанной процедуре, когда вязкоупругий коэффициент Пуассона ѵ*(ісо) принимается равным действительной константе ѵ. В этом случае характеристическое уравнение

Корни L2 уравнения (2.138) в точности те же, что и для

соответствующей задачи теории упругости, и также явля­ ются действительными величинами. Значение ю находится из (2.139) для каждого действительного корня L2n. Эти

корни, обозначаемые через со*, являются комплексными,

и для их определения из (2.139) необходимо, чтобы функ­ ции |х* (гео) были заданы аналитически, как это было не­ обходимо в предыдущем случае для общего вязкоупру­ гого коэффициента Пуассона. Решение задачи о свобод­ ных колебаниях в этом случае дается формулой

и эти формы (собственные векторы) попросту равны соб­ ственным векторам соответствующей задачи теории уп­ ругости. Описанная процедура, когда ѵ равно действи-

тальными членами разложения можно пренебречь. Это дает корни уравнения (2.142) в форме

в (2.143) дает действительную и мнимую части (2.143):

где, согласно (1.58) и (1.59), p^to) и p"(co) являются четной и нечетной функциями и соответственно. Исполь­ зуя (2.131) для системы с одной степенью свободы и учи­ тывая (2.147) и (2.148), получаем приближенное реше­ ние

(2.147); величины А и В являются произвольными ком­ плексными постоянными.

Решение (2.149), основанное на допущении р'7р'<^1, дает простую интерпретацию частоты колебания и скоро­ сти затухания, выраженных через действительную и мни­ мую части р* (ко). В случаях когда нужно применить ме-

тод свободных колебаний для определения механических свойств материалов в отношении которых несправедли­ во допущение 1, можно использовать небольшую модификацию этих рассуждений. В этом случае должен использоваться дополнительный упругий элемент в со­ четании с вязкоупругим подкрепляющим элементом, в силу чего эффективная комплексная жесткость такой ком­ бинации характеризуется малым отношением мнимой и действительной частей р,*(ісо). Общую задачу о сво­ бодных колебаниях вязкоупругих систем с одной степе­ нью свободы детально исследовал Стройк [2.33].

§ 2.12. Ограничения для методов интегральных

преобразований

Основные уравнения, описывающие краевые задачи вязкоупругости, были выведены в § 2.1 при условии, что величины В и и В а, т. е. части границы, на одной из ко­

торых задаются компоненты перемещения, а на дру­ гой— компоненты напряжения, не зависят от времени. Если это не выполняется, то в некоторых точках грани­ цы в одни моменты времени задаются компоненты пе­ ремещения, а в другие — компоненты напряжения. В та­ ких случаях методы интегральных преобразований те­ ряют силу, так как для их применения требуется, чтобы тип граничного условия (задание компонент перемеще­ ния или компонент напряжения в точке) был инвариан­ тен по отношению ко времени. Есть и другие типы задач, для которых невозможно прямое применение методов интегральных преобразований. Например, в задачах об абляции в результате фазовых изменений граница вяз­ коупругого тела меняет форму и размеры. Другим при­ мером являются неизотермические задачи, в которых механические свойства принимаются зависящими от тем­ пературы. Задачи такого типа будут рассмотрены в §3.6.

Имеются практические задачи, в которых граничные условия меняют тип. В качестве примера можно указать на задачу о нестационарном вдавливании абсолютно жесткого криволинейного штампа в вязкоупругое полу­ пространство. По мере того как штамп вдавливается в

§ 2.12. Ограничения для методов интегральных преобразований 93'

полупространство, появляются такие точки на границе,, которые вначале были свободны от усилий, а затем ста­ ли обладать заданным перемещением, которое опре­ деляется из того условия, что границы полупространства; в области контакта соответствуют форме штампа.

Для проблем такого класса система условий, приве­ денных в § 2.1, определяет решение краевых задач. Од­ нако теперь уже нельзя предполагать, что В и и В 0 не за­ висят от времени; следовательно, методы интегральных преобразований из § 2.5 неприменимы. Для задач тако­ го типа не существует вполне общих методов решения, и можно ожидать, что задачи эти гораздо труднее тех, к которым применимы методы интегральных преобразо­ ваний. Однако некоторые задачи этого класса все-таки разрешимы; два примера таких задач будут приведены ниже.

Вдавливание штампа в балку

По-видимому, простейшей задачей такого типа явля­ ется задача о деформации однородной вязкоупругой бал­ ки при вдавливании в нее абсолютно жесткого криволи­ нейного штампа. На рис. 2.4 представлена схема задачи

Pit)

L

Рис. 2.4. Вдавливание штампа в балку.

и оси координат; 2a ( t ) — длина области контакта, а P ( t ) — сила, приложенная к абсолютно жесткому штам­ пу. Предполагается, что профиль штампа — кубическая парабола, определяемая уравнением

Классические граничные условия для свободно опер­ той по концам балки считаются выполненными. Если пренебречь инерционными членами, теория упругости дает

где / — момент инерции поперечного сечения, Е (t) — одноосная функция релаксации, w — поперечное переме­ щение и q — поперечная нагрузка. Предполагается, что контакт начался в момент t = 0 . Из условия симметрии достаточно рассматривать лишь область х ^ О . В области контакта х < ^ а ( і) , где a(t) — основная неизвестная за­ дачи, перемещения балки должны соответствовать про­ филю штампа; поэтому

w(x, t) = d ( t ) — сх3, x < Z a (t), t ^ 0. (2.153)

Вне области контакта поперечная нагрузка равна нулю и уравнение (2.152) удовлетворяется при

w = Сі + С2х + С3х2 + С4х3, x > a ( t ) , (2.154)

где Су— подлежащие определению функции времени. Условие, чтобы результирующая поперечная сила на

§ 2.12. Ограничения для методов интегральных преобразований 95

уравнений. Если считать нагрузку P(t) заданной, то име­ ется шесть неизвестных: Ci(^), C2(t), C3(t), Ci(t), a(t)

и d(t). Если же заданными считаются перемещения

Случай, когда задана нагрузка P(t)

В случае когда задана нагрузка P (t), удобнее всего с помощью преобразования Лапласа разрешить (2.155) относительно C±{t). Отсюда находим

S£ -1 — оператор обратного преобразования. Такое ис­ пользование преобразования Лапласа не следует прини­ мать за приложение общего метода решения с помощью интегральных преобразований всех уравнений поля. Для некоторых историй нагружения P(t) обращение в (2.162) можно выполнить непосредственно. Считая теперь f(t) и, следовательно, функцию С4(£) известными, остальные неизвестные задачи определим алгебраически из (2.156) — (2.160). Таким образом мы находим