книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

P -волна не будет простой. Этот случай мы рассмотрим позже. Записывая для р* и X* действительные и мнимые

Неравенство (4.126) определяет критический угол паде­ ния. Если а,- меньше критического угла и если удовлет­ воряется (4.125), то отраженная P -волна будет затухать в направлении распространения. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то отраженная P -волна не является простой. Этот случай мы сейчас и рассмотрим.

Если условие (4.125) не удовлетворяется, то следует применить более общий подход. Комбинируя последнее

шение мнимых частей M"p 'iL'p определяет направление затухания. Для вычислений по формуле (4.128) Lp бе­ рется из (4.127), а Мр — из (4.122).

Более общую информацию можно получить из пол­ ного решения задачи с граничными условиями (4.115) и

188 Гл. 4. Распространение волн

(4.116). С использованием уже полученных результатов

также из (4.122), но с заменой sin а* на cos а*. Они будут комплексными постоянными, которые определяют ампли­ туды и фазовые углы отраженных волн.

Аналогичные результаты можно получить и в случае, когда падающая волна является не рассмотренной выше S -волной, а P -волной. Можно показать, что отраженная P -волна является простой и имеет угол отражения, рав­ ный углу падения. Для того чтобы отраженная S -волна была простой, необходимо, чтобы К"/к' = ц"І\і' и чтобы угол падения был меньше некоторого критического зна­ чения, которое можно найти. Когда Х"/к'ф\і"/\і', отра­ женная S -волна не будет простой, т. е. будет затухать в направлении, отличном от направления распростране­ ния.

Более общую задачу отражения и преломления гар­ монических волн на поверхности раздела между двумя вязкоупругими средами рассматривал Локкет [4.17]. Задачи этого вида исследовали также Купер и Рейсс [4.8, 4.9]. В этих работах рассмотрена также проблема возникновения поверхностных волн. Относительно по­ верхностных волн типа Рэлея в вязкоупругой среде опу­ бликованы экспериментальные результаты с соответст­ вующим теоретическим анализом [4.22].

§ 4.5. Движущиеся нагрузки на вязкоупругом полупространстве

Широкий класс динамических задач связан с движу­ щимися нагрузками, действующими на вязкоупругие те­ ла. Разберем один типичный пример такой задачи. Это задача о разрыве давления, движущемся с постоянной

скоростью по вязкоупругому полупространству. Давле­ ние считается зависящим от одной координаты. Следо­ вательно, в задаче имеются две независимые координа­ ты. Скорость движущейся нагрузки принимается на­ столько большой, что впереди фронта разрыва давления возмущения не распространяются. Поскольку нагрузка движется с постоянной скоростью, задача, если ее рас­ сматривать в системе координат, движущейся вместе с нагрузкой, является стационарной и не зависит от вре­ мени. Эти упрощения позволяют обнаружить много ин­ тересных особенностей задачи, хотя она и не имеет пол­ ного аналитического решения. Приведенный здесь ана­ лиз взят из работы [4.7].

Пусть в декартовых координатах граница полупрост­ ранства определяется уравнением х2 = 0. Нагрузка, а следовательно, и решение задачи не зависят от х3. Гра­ ничные условия имеют вид

Таким образом, давление в виде ступенчатой функции перемещается по поверхности полупространства со ско­ ростью и в направлении отрицательной оси х\.

Обозначим через щ компоненты скорости. Вязкоупру­ гие соотношения между напряжениями и деформациями (2.2) в сочетании с уравнениями движения (2.6) дают

f\i(t — T)v.'j j (xl,x)dx +

+J \Mt—x)-\-\k{t—x))v.'{.(x.-\ T)dT=pdvi(xi,t)ldt, (4.132)

—- oo

где 7=1, 2.

Для условий стационарного состояния, вызванных движущейся с постоянной скоростью нагрузкой, требу­

Поскольку Ѵі имеет вид (4.133), естественно произвести замену переменных

Система координат x, у движется вместе с нагрузкой, причем точка х = 0 определяет положение разрыва дав­ ления. С учетом замены координат (4.134) уравнения движения (4.132) принимают вид

рѵ*дѴх (х'у)- (4.135)

дх

И

В соответствии с подходом классической теории уп­ ругости уравнения движения являются несвязанными. Используя представление Гельмгольца в двух измере­ ниях, получаем

Подставив (4.138) в уравнения движения (4.135) и (4.136), получим

в (4.135) и (4.136) заменен на 0, так как предполагает­

(4.139), с производной по у, определяемой из (4.140), находим,что

192 Гл. 4. Распространение волн

ванием умноженного на s преобразования Лапласа; при таком преобразовании имеем

Умноженные на s преобразования Лапласа по перемен­

В этих соотношениях умноженное на s преобразование Лапласа функции р(х/ѵ) дается формулой

где p(s) — умноженное на s преобразование Лапласа по времени функции р (0 - Аналогичное (4.146) соотно­ шение существует и для А:

При выводе уравнений (4.144) и (4.145) используется за­

194 Гл. 4. Распространение волн

и

Легко получается также преобразование решения для напряжений.

Применяя теорему о начальном значении, соответст­ вующую умноженному на s преобразованию Лапласа, имеем

Ііш р. (s) — р,(0) = р()

Теперь для достаточно больших s параметры реше­ ния приобретают простую форму, которая приведена ни­

же. Например, для ѵх имеем

C x h ( x Y/oУ) I*—ѵ/0і/=0

и

C2h(x YsOУ) ljc-Ys04f = о-

Эти выражения и другие аналогичные формы показыва­ ют, что поля скоростей и напряжений претерпевают раз­ рывные изменения при переходе через линии

х = уІ0 У и X = Yso У•