книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

а величины Л(э) и B (s ), которые следует определить из гранйчных условий, соответствуют каждому из четырех решений (4.11). Далее будет рассмотрен один частный вид граничных условий.

Полубесконечный стержень

Рассмотрим частный случай полубесконечного стержня с концом х = 0 . Постоянную А нужно поло­ жить равной нулю, чтобы распространение волн проис­ ходило только в направлении + х . Таким образом, реше­ ние для напряжения дается формулой

Еще не отыскивая частных решений, можно получить из (4.13) некоторую информацию общего характера. За­ пишем обращение уравнения (4.13); в соответствии с приложением Б оно имеет вид

V—i«

где действительное число у находится справа от любой особенности в комплексной области s. Этот контур замы­ кается справа от s = y бесконечной полуокружностью, для которой I s I —>-оо. Экспоненциальный член в (4.14) записывается в виде

ехр [— s (х (рIs Ё ) /г — i) j .

Однако при Is I —>-оо следует, что s £ (s ) -v £ (0) согласно

конечной полуокружности обращается в нуль, и, по­ скольку внутри контура нет никаких особенностей, соот­ ветствующее напряжение в (4.14) должно быть тожде­ ственно равно нулю согласно интегральной теореме Ко­

Равенство (4.15) и соответствующие уравнения для пе­ ремещения, скорости и деформации показывают, что воз­ мущения в вязкоупругом стержне могут распространять­ ся не быстрее, чем со скоростью [£'(0)/р]1/2. А это просто скорость распространения возмущений в упругом стерж­ не с модулем упругости Е, равным £ (0 ), т. е. начальному значению функции релаксации.

Рассмотрим частный пример. В этом примере, взятом из работы Ли и Моррисона [4.16], происходит распро­ странение волн в материале, характеризующемся мо­ делью Максвелла (см. § 1.5). Функция релаксации для модели Максвелла имеет вид

где Е и т] — параметры механической модели. Преобра­ зование Лапласа от уравнений (4.16) при невозмущенных начальных условиях в сочетании с (4.12) дает

Условие на конце принимается таким же, как при раз­ рывном изменении скорости частицы в случае удара, и определяется зависимостью

a (x ,s ) — [— рс V/(s2+£s/r|)1/2] exp [—c~1x(s2+£'s/r))l/2], (4.19)

где с — (Е /р )1/2. Теперь задача состоит в обращении формулы (4.19). Зависимость (4.19), как можно заме­ тить, имеет точки ветвления, которые получаются в про­ цессе контурного интегрирования при обращении. Обра­ щение (4.19) (см. таблицу преобразований Лапласа) имеет вид

а (х, t) = p cV e-(Etm / 0 [(E/2r\)(f—* V ) 7*] h ( t — х/с), (4.20)

где /0( ) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Хотя обращение (4.19) получа­ ется легко, следует заметить, что более сложные, чем (4.16), соотношения между напряжением и деформаци­ ей приводят к задаче обращения, которая быстро стано­

Приведенное использование модели Максвелла для ре­ шения задачи о поведении стержня, разумеется, являет­ ся весьма искусственным не только из-за обычной ограниченности простейших механических моделей, но также и вследствие того, что использованная здесь мо­ дель Максвелла заключает в себе механические харак­ теристики жидкости.

Можно избежать только что упомянутых трудностей в проведении обратного преобразования, если искать асимптотическое решение. Продемонстрируем такой

где O(s) дается формулой (4.12). Теперь разложим E (t)

справедливы подобные формулы. Тогда преобразование Лапласа от (4.23) имеет вид

Подставляя (4.24) в (4.12) и выполняя указанное раз­ ложение, получаем

Применяя к этому выражению биномиальное разложе­ ние, находим

Q ( s ) = s ІЕ[ р ( О ) ] 7 « - ± [ р/Е ( 0 ) ] 7 Ё‘ Ж + . . . ; ( 4 . 2 6 )

остальные члены содержат положительные степени (1Is). Как мы уже знаем, решение имеет вид

для неограниченной среды, нужно использовать трехмер­ ные уравнения движения. Преобразование Лапласа от уравнений движения имеет вид

где предполагаются невозмущенные начальные условия. Рассмотрим два частных случая движения. Сначала рассмотрим случай, в котором обращается в нуль дивер­ генция вектора перемещения. Этот случай определяется зависимостью = 0, которая допускает одни лишь

сдвиговые возмущения, и (4.29) сводится к виду

Во втором случае предположим равным нулю ротор век­ тора перемещения, что приводит к безвихревому движе­

чае распространения волны в стержне. По аналогии с ре­ зультатами, полученными для стержня, отсюда следует, что плоское возмущение, описываемое уравнением (4.30), может распространяться со скоростью не больше, чем [рі(0) /р]1/2, а плоское возмущение, описываемое уравне­

разрывы распространяются со скоростью [pt(0)/р]1/2, тог­ да как объемные (продольные) разрывы распространя­ ются со скоростью [ (Л-(О) -j-2|x(0)) /р ]1/2*

Тот же результат можно установить и более строго путем использования соответствующих условий на скач­ ке того же типа, который использовался в одномерном случае. Этот подход применяли Фишер и Гёртин [4.10], которые рассмотрели не только ударные волны, но также волны разрыва вторых производных перемещения (вол­ ны ускорения) и волны более высокого порядка. Подоб­ ное же исследование провел Валанис [4.23].

164 Гл. 4. Распространение волн

концах, и задача будет аналогична той, которая реша­ ется для полубесконечного стержня. Некоторых упро­ щений можно достигнуть, следуя рассуждениям Ли и Кантера [4.15], которые показали, что решение для вязкоупругого стержня конечной длины можно полу­ чить непосредственно из решения для полубесконечного стержня, если воспользоваться суперпозицией волн, дви­ жущихся влево и вправо. Это подобно способу решения задачи для упругих стержней. Такой метод не приводит, однако, к каким-либо упрощениям в задаче обращения интегральных преобразований, которую все же приходит­ ся решать для полубесконечного стержня.

В общем случае прямое приложение методов инте­ гральных преобразований в динамических задачах всегда ведет к сложным задачам обращения. Более сложные формы соотношений между напряжением и деформацией неизбежно ведут к необходимости большего числа раз­ резов по ветвям в процессе контурного интегрирования. В целом процедура контурного интегрирования быстро становится непрактичной в случае реальных представле­ ний механических свойств. Переходим к изложению дру­ гого метода решения, который полностью исключает на­ званные трудности для некоторых типов динамических задач.

Этот метод решения состоит в перенесении на вязко­ упругость метода, применяемого в теории упругости при

а также Берри и Нахди [4.4]. Мы рассмотрим такие ти­ пы задач, в которых вязкоупругий коэффициент Пуассо­ на является действительной константой и для которых

Следует отметить, что приведенная выше форма гранич­ ных условий не столь уж частного вида, как это может по­ казаться с первого взгляда, так как с помощью суперпо­ зиции можно получить значительно более широкий класс задач.

Преобразование Лапласа уравнений движения име­ ет вид

U i,)}+ [1/(1 — 2 = (рs ln (s ))u u (4.33)

начальные условия для перемещения и скорости прини­ маются тождественно нулевыми. Решение ищется в форме

где Cn(t) — неизвестные функции времени, которые под­ лежат определению, а функции Unt и ѵі получаются сле­

дующим образом. Функции Un.(xi) являются собствен­

ными векторами соответствующей задачи о собственных значениях из теории упругости, описываемой уравне­ ниями

Соответствующие собственные значения k n и собствен­ ные векторы {/" удовлетворяют соотношению

Функции Ѵі (хі, t) представляют квазистатическое реше­ ние краевой задачи вязкоупругости. Иначе говоря, функ­ ции Ѵі (хі, t) удовлетворяют уравнениям

где Ѵі (хі) и Wi(Xi) — зависящие от координат части квазистатического решения.

Определив таким образом U" и ѵи мы видим, что ре­

шение (4.34) тождественно удовлетворяет граничным ус­ ловиям (4.32) динамической задачи. Остается только удовлетворить уравнениям движения (4.33). Подставим перемещения (4.34) в уравнения движения (4.33) и вос­ пользуемся уравнением (4.40); тогда получим

Используя (4.37), можно переписать это уравнение в виде

X Сп [К И- -+ Ps) Щ = (— P P /W Vt — psuWt■ (4.42)

Условие ортогональности собственных векторов Un. в нор­

мализованной форме позволяет определить С„ из (4.42) в форме

Принимая функцию релаксации ц(/) в виде ряда убыва­ ющих экспонент, видим, что (4.43) имеет только про­ стые полюсы и что решение можно завершить прямым выполнением процесса обращения.

Резюмируя, можно сказать, что метод решения дина­ мических задач вязкоупругости, для которых коэффици­ ент Пуассона является действительной константой, вклю­ чает решение соответствующей квазистатической задачи вязкоупругости, соответствующей упругой задачи о соб­ ственных значениях и обращение зависимости (4.43). Как уже было показано в гл 2, решать квазистатические задачи при реальных механических свойствах материа­ лов практически вполне возможно. Подобным образом