книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

доступна обращению форма (4.43) при реальных пред­ ставлениях механических свойств материалов. Все эти шаги просты и выполнимы для большого числа техниче­ ски важных задач. Такие решения обсуждали и прово­ дили в своих работах Ахенбах [4.1] и Кристенсен [4.5]. Кроме того, Валанис [4.25], используя метод, подобный использованному здесь, но слегка отличный от него, ре­ шил много важных задач.

Стержни конечной длины

Для иллюстрации только что изложенного метода приведем два простых примера. Первая задача состоит в описании механического поведения вязкоупругого стержня, у которого один конец закреплен, а к другому внезапно прикладываются нагрузки.

Примем решение для перемещения в форме

оо

и(X, 0 = (0 sin[(2п — 1) nxj(2L)] + К (/)x/L. (4.44) /1=1

Члены в правой части под знаком суммы представля­ ют собой собственные функции для упругого стержня длиной L; координата х отсчитывается от закрепленного конца. Последний член в правой части (4.44) отвечает квазистатическому решению для находящегося под дей­ ствием концевых напряжений стержня при тех же усло­ виях закрепления. В этом члене K (t) — функция време­ ни, которую можно определить, удовлетворяя зависящим от времени граничным условиям. Эти граничные условия принимаются в виде

Оказывается, что преобразование Лапласа уравнения (4.45) удовлетворяется, если

где использованы соотношения (4.2), (4.44) и &= dufdx. Подставляя (4.44) и (4.46) в уравнение движения

(4.7), получаем

Коэффициенты Сп определяются путем умножения

(4.47) на sin [(2m — l)n x /(2 L )], m —l, 2,..., и интегриро­ вания от 0 до І с использованием соответствуюхцих ус­ ловий ортогональности. В результате находим

Для вязкоупругого материала общего вида функция ре­ лаксации принимается в виде

где A (s) — полином степени N по s, а B (s) — полином степени N +1 по s. Положим, что Pn(s), полином по s, имеет вид

P n(s) = (2п— 1) 2п2А (s) -f 4L2psß (s) , (4.52)

и перепишем его как произведение

где öj.n — комплексные корни. Используя (4.51) — (4.53), можно сразу получить обращение (4.49) в виде

Эта зависимость представляет полное динамическое решение для напряжений в стержне конечной длины под действием внезапно приложенного на конце напряже­ ния. Процесс обращения, использованный здесь, совпа­ дает с таким же процессом в квазистатических задачах гл. 2, причем на механические свойства не накладывает­ ся никаких ограничений, отличных от тех, которые сле­ дуют из представления (4.50). Корни а^п полинома (4.53) удобнее всего находить с помощью использования стандартных программ для ЭВМ.

Задача о течении сдвига

Во втором примере общий метод анализа динамиче­ ских задач применяется к задаче о течении. В частности, рассматривается задача, когда неограниченный слой вязкоупругой жидкости толщиной h, вначале находящий-

X

т777Ш777тгтГГГГГГ77777777777777777ГГ777Т77ТГГГТТТт77

Р и с . 4.1. Задача о течении сдвига.

ся в состоянии покоя, на одной границе подвергается разрывному изменению скорости, в то время как его другая граница остается в покое. Такая система пока­ зана на рис. 4.1. Соответствующие граничные условия таковы:

172 Гл. 4. Распространение волн

ды можно оборвать на члене n = N. Значение, приведен­ ное выше для оху, является просто напряжением, необ­

ходимым для деформирования жидкости в условиях стационарного течения сдвига после того, как произошло затухание всех начальных неустановившихся процессов.

дим, что динамическое решение быстро затухает, пере­ ходя в решение для стационарного течения. Представля­ ет интерес сравнить это решение с решением соответст­ вующей задачи теории упругости. Для упругой среды при граничных условиях (4.55) напряжение оху при x = h как функцию времени можно представить в виде возра­ стающей функции ступенчатого типа. Протяженность каждой ступеньки во времени представляет собой время, которое требуется фронту упругой волны, чтобы пройти по всей толщине слоя от x = h до л := 0 и отразиться об­ ратно к x = h . Если упругий модуль сдвига ц принять рав­ ным G0, начальному значению вязкоупругой функции релаксации, то первый шаг упругого решения дает зна­ чение ординаты на рис. 4.2, в точности равное семи. При данных, соответствующих рис. 4.2, время, которое тре­ буется фронту волны, чтобы пройти расстояние 2h, со­

рис. 4.2.

Если через кривую осциллирующего динамического решения на рис. 4.2 провести гладкую монотонно убы­ вающую кривую, то она пересечет ось ординат, имея на-

Р и с. 4.2. Напряжение на границе в задаче о течении сдвига.

чальное значение, приблизительно равное семи. Это зна­ чение и является решением соответствующей упругой задачи.

Осцилляция вязкоупругого решения связана не с ди­ намическими эффектами, а (аналогично поведению ря­ дов Фурье) с образованием рядов, используемых для представления переменных в этой задаче. Сохраняя в ря­ дах большее число членов, можно свести к минимуму

осцилляцию решения и точнее определить его для обла­ сти небольших времен после возмущения. Учитывая это, мы видим теперь, что динамическое вязкоупругое реше­ ние вначале ведет себя так же, как упругое, однако со временем приближается к поведению вязкой жидкости. Этот пример иллюстрирует разнообразие эффектов, ко­ торые можно наблюдать в вязкоупругих материалах.

В случае максвелловской модели жидкости замкну­ тая форма решения данной задачи (с надлежащим обра­ зом модифицированными обозначениями) дается зависи­ мостью (4.20) для тех моментов времени, когда еще нет эффектов отражения. Однако более сложные модели нельзя рассматривать методом, использованным при вы­ воде (4.20). В противоположность этому вычисления ти­ па, приведенного в рассмотренном примере, легко выпол­ нить, если для получения более точных результатов вклю­ чить большее число членов в представление функции релаксации и в ряд, представляющий решение.

§4.3. Гармонические термовязкоупругие волны

внеограниченной среде

Рассмотрим теперь распространение гармонических волн в неограниченной изотропной среде при изотерми­ ческих и неизотермических условиях. В неизотермиче­ ском случае это исследование представляет собой прило­ жение линейной связанной теории термовязкоупругости, развитой в гл. 3. Изотермические результаты получают­ ся просто как частный случай результатов неизотерми­ ческих.

При использовании линейной теории термовязкоупру­ гости, развитой в гл. 3, отклонения температуры от за­ данной исходной температуры необходимо должны быть инфинитезимальными и механические свойства не долж­ ны зависеть от этих изменений температуры. В то же время механические свойства могут быть различными для разных исходных температур. Некоторые следствия из этих ограничений будут обсуждены нами в конце на­ стоящего параграфа. Однако одно прямое следствие этих ограничений, касающееся механических волн, за­ ключается в отсутствии связи волн сдвига с тепло-