книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

а остальные компоненты деформации равны нулю. Не­ нулевые компоненты напряжения соответственно равны

Девиаторное соотношение между напряжениями и деформациями (3.93) для компонент с индексами zz в силу (3.97) и (3.98) принимает вид

(Z, I) - охх (z, S) = \ G, ( l - l ' ) (dlkk (z, S')/öS') d t . (3.99)

о

Подобным же образом уравнение (3.94) с учетом (3.97)

и(3.98) принимает вид

£« (*. і) + 2oxx(z,l) =

о

Единственным нетривиальным уравнением равновесия оказывается уравнение

Граничные условия таковы: .

Согласно (3.101) и (3.102), требуется, чтобы выполня­ лось условие

Применим теперь к (3.99) и (3.100) преобразование Лапласа по |. Оно дает

л

преобразования. Исключив еьь. из (3.104) и (З.Г05), по­ лучим

а хх(-Z, s) = —sG lG2a(z, s )/(2G i + G2). (3.106)

С помощью обратного преобразования Лапласа можно

Тем самым завершено решение задачи для напряжений. Если задано температурное поле, которое предполагает­ ся совместным с начальными условиями, то £ находится из (3.86), R — из (3.107), а затем находятся напряже­ ния из (3.109). Более общее исследование вместе с под­ робными численными результатами этой задачи дали Муки и Стернберг [3.16]. Ли и Роджерс [3.13] указа­ ли, что эту задачу можно решить без использования преобразования Лапласа, которое применялось здесь; затем ту же задачу рассматривал Стернберг [3.19]. Близкую по смыслу, но более трудную задачу об опре­ делении температурных напряжений в цилиндре реша­ ли Локкет и Морленд [3.14].

Ранее уже было указано, что связанная теория тер­ мовязкоупругости, в которой учитывается зависимость функций механических свойств от переменного поля тем­ пературы, непременно должна быть нелинейной. Эта связь между тепловыми и механическими явлениями вы-

зывается учетом истории изменения температуры в опре­ деляющих соотношениях для напряжений и учетом исто­ рии изменений объема в уравнении теплопроводности. Однако только что приведенный пример был линейным во всех отношениях даже с учетом зависимости механи­ ческих свойств от температуры. Это связано с тем фак­ том, что температурное поле считалось определенным независимо и решение связанной задачи оказалось не­ нужным. Однако следует ожидать, что аналитическое ре­ шение связанных задач термовязкоупругости с учетом зависимости механических свойств от заранее неизвест­ ной температуры встретит большие трудности.

Задачи

3.1.Какие модификации следует провести, чтобы учесть несжи­ маемость материалов при термодинамическом выводе линейной тео­ рии в § 3.1? Считайте условия изотермическими и материалы изотроп­ ными.

3.2.Следуя процедуре § 3.2 и используя диссипативное неравен­ ство, выведите необходимые ограничения для изотропных функции интегрирования в выражении для свободной энергии, где эти огра­

ничения следуют из последовательного применения двух ступенчатых функций изменения деформации и температуры.

3.3. Рассуждения в § 3.1 основаны на представлении свободной энергии, включающем функции релаксации. Можно использовать дру­ гой способ вывода, если применить функции ползучести. Проделайте это, вводя преобразование Лежандра между свободной энергией А, отнесенной к единице массы, и функционалом pW в виде

где предполагаются изотермические условия. Далее примите pW в виде

t t

pW (t) = Va j' j Jtikl (2t — г — T)) (00;/ (х)/дх) (дои O l)/*l) dxdr\,

ои

где Jijh i(t) — изотермические функции ползучести, которые принима­ ются в частном виде, при котором суммируются два возможных не­ зависимых аргумента времени. Используя вывод, подобный тому, который использовался в § 3.1, покажите, что окончательное опреде­ ляющее уравнение для деформации имеет вид

адиссипативное неравенство представляется в форме

г(0 > о,

где

При переходе отсюда к соотношениям теории упругости функционал pW становится просто упругой дополнительной энергией. Можно ли в вязкоупругом случае дать функционалу pW интерпретацию в тер­ минах энергии?

ские функции напряжений и деформаций.

3.5. Произведите анализ температурных напряжений для термо­ реологически простой вязкоупругой сферы подобно тому, как это бы­ ло сделано в § 3.6 для плиты. Считайте температурное поле симмет­ ричным относительно точки и заданным по всей сфере в виде Т (г)

(см. работу [3.16]).

3.6. Покажите, что постулат о термореологически простом по­ ведении эквивалентен утверждению, что времена релаксации т,- в функции релаксации вида

G (t) = G0 + Е G( ë ~ t/Xi l= 1

связаны с температурой зависимостью

Хі = XiF(T),

где г , — времена релаксации при исходной температуре Г0, а F(T ) — функция от температуры, такая, что

F (T 0) = 1.

Чтобы подтвердить такую интерпретацию, начните с того, что выбе­ рите F(T ) в виде

F (T ) = 10-ftx).

Какие выводы отсюда следуют относительно механических моделей при такой интерпретации термореологически простого материала?

3.1.Biot М. А., Linear Thermodynamics and the Mechanics of Solids, Proc. 3rd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech., 1, 1958.

3.2.Breuer S., Onat E. T., On the Determination of Free Energy in Linear Viscoelastic Solids, Z. Angew. Math. Phys., 15, 184 (1964).

3.3.Christensen R. M., Naghdi P. M., Linear Non-Isothermal Visco­

elastic Solids, Acta M echanica, 3, 1 (1967).

3.4.Crochet M. J., Naghdi P. M., A Class of Simple Solids with Fading Memory, Int. J. Eng. Sei., 7, 1173 (1969).

3.5.Crochet M. J., Naghdi P. M., On «Thermorheologically Simple» Solids, Proc. IUTAM Symp. Thermoelasticity, p. 59, New York, 1970.

3.6.Eringen A. C., Irreversible Thermodynamics and Continuum Me­ chanics, Phys. Rev., 117, 1174 (1960).

3.7.Ferry J. D., Mechanical Properties of Substances of High Mo­ lecular Weight; VI. Dispersion in Concentrated Polymer Solu­

tions and Its Dependence on Temperature and Concentration,

J. Amer. Chem. Soc., 72, 3746 (1950).

3.8.Ferry J. D., Viscoelastic Properties of Polymers, 2nd ed., New York, 1970. Русский перевод 1-го издания: см. стр. 50.

3.9.Gurtin М. Е. Herrera I., On Dissipation Inequalities and Linear Viscoelasticity, Quart. Appl. Math., 23, 235 (1965).

3.10.Hunter S. C., Tentative Equations for the Propagation of Stress, Strain, and Temperature Fields in Viscoelastic Solids, J. Mech. Phys. Solids, 9, 39 (1961).

3.11.Kovacs A. J., La Contraction Isotherme du Volume des Polyméres Amorphes, J. Polym , Sei., 30, 131 (1958) .

3.12.Leaderman H., Elastic and Creep Properties of Filamentous Ma­ terials and Other High Polymers, p. 175, Washington, 1943.

3.13.Lee E. H., Rogers T. G., Solution of Viscoelastic Stress Analysis

Problems Using Measured Creep or Relaxation Functions,

J. Appl. Mech., 30, 127 (1963).

3.14.Lockett F. J., Morland L. W., Thermal Stresses in a Viscoelastic,

Thin-Walled Tube with Temperature Dependent Properties, Int.

J. Eng. Sei., 12, 879 (1967).

3.15.Morland L. W., Lee E. H., Stress Analysis for Linear Viscoelastic

Materials with Temperature Variation, Trans. Soc. Rheol., 4,

233 (1960).

3.16.Muki R., Sternberg E., On Transient Thermal Stresses in Visco­ elastic Materials with Temperature Dependent Properties, J. Appl. Mech., 28, 193 (1961).

3.17.Schapery R. A., Application of Thermodynamics to Thermome­ chanical Fracture and Birefringent Phenomena in Viscoelastic Media, /. Appl. Phys., 35, 1451 (1964).

3.18.Schwarzl F., Staverman A. J., Time-Temperature Dependence of Linear Viscoelastic Behavior, J. Appl. Phys., 23, 838 (1952).

3.19.Sternberg E., On the Analysis of Thermal Stresses in Viscoelastic Solids, Proc. 3th Symp. Nav. Struct. Mech., 348, New York, 1964.

Глава 4

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН

Проблема распространения волн в вязкоупругих ма­ териалах имеет много различных важных аспектов; не­ которые из них рассматриваются здесь для изотропной среды. В первом параграфе этой главы исследуется изо­ термическое распространение возмущений в полубесконечных стержнях. Некоторые из результатов такого ис­ следования обобщены на случай распространения пло­ ских возмущений в трехмерной среде. В частности, най­ дены две возможные скорости распространения плоско­ стей разрыва напряжений и деформаций в бесконечной среде. Исследование особенностей распространения гар­ монических волн рассмотрено в § 4.3 и 4.4.

Трудности, которые возникают при решении задач о распространении волн в теории вязкоупругости, потребовали развития специального метода решения та­ ких задач, который применим в некоторых случаях. В частности, в § 4.2 дается довольно общий способ ана­ лиза задач о динамическом поведении тел с ограничен­ ными размерами. Этот метод с практической точки зре­ ния более удобен, чем обычное прямое применение интегральных преобразований, которое принято исполь­ зовать в задачах распространения волн.

Другая важная задача распространения волн отно­ сится к исследованию распространения плоских гармо­ нических волн в неограниченной среде. Этот случай ана­ лизируется, и рассматриваются эффекты распростране­ ния связанных термических волн с применением связанной теории термовязкоупругости, развитой в §3.1. Приложение этих результатов для частного случая за­ дачи с изотермическими условиями дало возможность получить в первом параграфе скорости распространения

и скорости затухания изотермических гармонических волн в трехмерной среде. Для аналогичной задачи тео­ рии упругости импульсы могут распространяться в сре­ де без изменения формы и без затухания. Результаты этого параграфа показывают, что скорости распростра­ нения гармонических волн в вязкоупругой среде зависят от частоты. Следовательно, импульсы, составленные из некоторого спектра гармонических волн, испытывают влияние дисперсии, и форма импульса не сохраняется. Этот эффект, вместе с эффектом затухания вязкоупру­ гих волн, обнаруживает глубокое различие между осо­ бенностями распространения волн в вязкоупругой и упругой средах.

В§ 4.3 рассматриваются только плоские волны; в этом случае направления распространения и затухания сов­ падают. В § 4.4 показывается, что это ограничение не всегда имеет место. Здесь рассматривается задача от­ ражения гармонических волн от свободной поверхности полупространства и показывается, что один из двух ти­ пов отраженных волн действительно имеет различные направления распространения и затухания.

Впоследнем параграфе исследуется технически важ­ ная, но трудная задача о нагрузке, очень быстро движу­ щейся по поверхности вязкоупругого полупространства. Несмотря на то что полное аналитическое решение за­ дачи невозможно, получены некоторые частные резуль­ таты.

§4.1. Изотермическое распространение волн

Одноосный случай

Когда упругое тело подвергается действию разрыв­ ного изменения напряжения на всей или части его гра­ ницы, этот разрыв напряжения распространяется по те­ лу. Для упругой среды скорость распространения сингу­ лярной поверхности, при переходе через которую напряжение претерпевает разрыв, может быть легко определена в некоторых случаях. Рассмотрим теперь со­ ответствующую задачу вязкоупругости. Точнее, начнем исследование с определения скорости, с которой будут

156 Гл. 4. Распространение волн

разрывов напряжения и деформации, которые приводят к распространению разрыва в первой производной пе­ ремещения. Такие типы волн обычно называют ударны­

Из работы Томаса [4.21] известны кинематические условия, связывающие скачки в первых производных перемещения:

следовательно, скорость распространения разрыва равна

Соотношение (4.6) определяет скорость распростране­ ния одноосной вязкоупругой ударной волны, если из­ вестны начальное значение одноосной функции релакса­ ции и плотность.

Тот же результат для скорости распространения вол­ ны можно получить путем прямого применения метода интегральных преобразований к уравнению движения. Однако такая процедура неизбежно является менее строгой, чем приведенная выше, так как вывод уравне­ ния движения как уравнения локального предусматри­ вает некоторые условия, которые на сингулярной по­ верхности ударной волны оказываются нарушенными. Тем не менее такие процедуры широко используются и в данной задаче дают результаты, полностью согласую­ щиеся с теми, которые получены с помощью строго уста­ новленных условий на скачке.

Для решения задач о распространении волн может использоваться как преобразование Фурье, так и преоб­ разование Лапласа. Если используется преобразование