книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

Фурье. Таким приближенным методам обращения посвя­ щена обширная литература (см., например, [2.6] и [2.30]). Пример такого приближенного метода дан в при­ ложении В. Следует также отметить, что в некоторых случаях краевые задачи вязкоупругости можно свести к интегрированию интегральных уравнений стандартных типов. Хотя для получения аналитических решений уже описанным путем может использоваться метод интег­ ральных преобразований, другой путь получения реше­ ния состоит в непосредственном численном интегрирова­ нии интегральных уравнений.

Общие способы решения динамических задач будут рассматриваться в гл. 4, однако в частном случае зада­ чи о свободных колебаниях здесь приведена общая про­ цедура для решения задачи о собственных значениях. Несмотря на то что эта процедура формально подобна той, которая используется в теории упругости, некото­ рые ее элементы, вообще говоря, достаточно сложны. В частном случае, когда вязкоупругий коэффициент Пу­ ассона V является действительной константой, устанав­ ливается простая процедура анализа свободных колеба­ ний, использующая формы колебаний из соответствую­ щей задачи теории упругости. С помощью интегрально­ го преобразования Лапласа показывается, что переход­ ное поведение решения определяется таким же образом, как и при решении рассмотренной ранее квазистатиче­ ской задачи. В случае когда мнимая часть комплексного модуля мала по сравнению с действительной частью, по­ казывается, как эти величины можно непосредствен­ но связать с собственной частотой и с характеристикой затухания колеблющейся системы с одной степенью сво­ боды.

заданы напряжения, зависят от времени, нельзя указать общий метод анализа, и соответствующий метод должен быть найден в каждом отдельном случае. Ставят­ ся две такие задачи, и строятся решения, показываю­ щие, какой путь является возможным и практичным для каждой из них.

Задачи

2.1. Сформулируйте процедуру решения первой и второй краевых задач для несжимаемого вязкоупругого материала с применением метода разделения переменных. При этом предположите, что имеют место квазистатические условия.

2.2. Длинный вязкоупругий цилиндр с внутренним радиусом а

зуя преобразование Фурье, найдите квазистатическое решение для компонент перемещения и напряжения в виде полубесконечных инте­ гралов. При этом предположите существование условий плоской деформации.

2.3. Сфера с внутренним радиусом а и внешним радиусом b подвергается действию внутреннего давления p(t) = p 0h (t), тогда как ее внешняя граница свободна от нагрузки. Получите преобразование Лапласа решения для компонент перемещения и напряжения для вязкоупругого материала общего вида в квазистатических условиях. Выполните обращение при дальнейшем допущении о том, что функ­ ция релаксации при объемном расширении является упругой, тогда как функция релаксации при сдвиге состоит из одного экспоненциального члена.

2.4. Опишите квазистатическое поведение вязкоупругого полу­ пространства, на которое действует внезапно приложенная сосредо­ точенная нормальная нагрузка p(t) = p 0h(t) в некоторой точке, в то время как остальная поверхность остается свободной от нагрузки (это соответствует задаче Буссинеска из теории упругости). Считай­ те, что функция релаксации при объемном расширении является уп­ ругой, тогда как функция релаксации при сдвиге та же, что и для обобщенной модели Максвелла. Получите результаты для частного случая, когда задана функция релаксации при сдвиге, соответствую­ щая модели Максвелла.

2.5. Упругая балка с изгибной жесткостью Е еІе имеет вязкоупру­ гое покрытие, которое сообщает ей дополнительную жесткость. Пре­ образование Лапласа от вязкоупругого вклада в изгибную жесткость

балки равно E v(s ) I v. Модифицируйте анализ задачи о вдавливании штампа из § 2.12 таким образом, чтобы он охватывал балки такого типа. Найдите перемещение центра балки, когда нагрузка на штамп

задана в виде p ( t ) — pah(t) и когда функция Е ѵ отвечает одному убывающему экспоненциальному члену в функции релаксации.

2.6. Проведите анализ задачи о вдавливании штампа, подобный проведенному в § 2.12, но вместо вязкоупругой балки рассмотрите круглую вязкоупругую пластинку, для которой классическое уравне­ ние, связывающее нагрузку и прогибы упругой пластинки, модифици­ ровано так, чтобы описывать поведение вязкоупругой пластинки. Считайте края пластинки свободно опертыми.

2.7. Предлагается измерить комплексный модуль путем исполь­ зования эксперимента со свободными колебаниями. Рассматривается

п о Гл. 2. Изотермические краевые задачи

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

2.1. Alfrey Т., Nonhomogeneous Stresses in Viscoelastic Media. Quart. Appl. Math., 2, 113 (1944).

2.2. Barberan J., Herrera J., Unigueness Theorems and the Speed of Propagation of Signals in Viscoelastic Materials, Arch. Ration. Mech. Anal., 23, 173 (1966).

2.3.Brüll M. A., A Structural Theory Incorporating the Effect of Ti­ me-Dependent Elasticity, Proc. 1st Midwestern Conf. Solid Mech., 141, 1953.

2.4.Calvit IT. H., Numerical Solution of the Problem of Impact of a Rigid Sphere onto a Linear Viscoelastic Half-Space and Compa­ rison with Experiment, Int. J. Solids Structures, 3, 951 (1967).

2.6.Cost Т. L., Approximate Laplace Transform Inversions in Visco­ elastic Stress Analysis, AIAA J., 2, 2157 (1964). Русский перевод:

Ракетная техника и космонавтика, 2, № 12, 175 (1964).

2.7.Edelstein W. S., Gurtin М. Е., Uniqueness Theorems in the Li­ near Dynamic Theory of Anisotropic Viscoelastic Solids, Arch. Ration. Mech. Anal., 17, 47 (1964).

2.8.Essenburg F., On Surface Constraints in Plate Problems, J. Appl M ech., 29, 340 (1962).

2.9.Gottenberg W. G., Christensen R. M., An Experiment for Deter­ mination of the Mechanical Property in Shear for a Linear Isot­ ropic Viscoelastic Solid, Int. J. Eng. Sei., 2, 45 (1964).

2.10.Gottenberg W. G., Christensen R. M., Prediction of the Transient Response of a Linear Viscoelastic Solid, J. Appl. Mech., 33, 449 (1966) .

2.14.Graham G. A. C., The Correspondence Principle of Linear Vis­ coelasticity Theory for Mixed Boundary Value Problems Invol­ ving Time-Dependent Boundary Regions, Quart. Appl. Math., 26, 167 (1968).

2.15.Gurtin M. E., Sternberg E., On the Linear Theory of Viscoelastici­ ty, Arch. Ration. Mech. Anal., 11, 291 (1962).

2.16.Huang N. C., Lee E. H., Rogers T. G., On the Influence of Visco­ elastic Compressibility in Stress Analysis, in «Proc. 4th Int. Cong. Rheol.» (Lee E. H., ed.), New York, 1965.

2.17.Hunter S. C., The Hertz Problem for a Rigid Spherical Indentor and a Viscoelastic Half-Space, J. Mech. Phtis. Solids, 8, 219 (1960).

2.18.Hunter S. C., The Rolling Contact of a Rigid Cylinder with a Viscoelastic Half-Space, J. Appl. Mech., 28, 611 (1961).

2.19.Hunter S. C., The Solution of Boundary Value Problems in Linear Viscoelasticity, Proc. 4th Symp. Nav. Structural Mech., 257, Ox­ ford, 1965.

2.20.Jahnke E., Emde F., Tables of Functions, New York, 1945. Рус­ ский перевод: Янке Э., Эмде Ф., Таблицы функций с формула­ ми и кривыми, Гостехиздат, 1948.

2.21.Lee Е. Н., Stress Analysis in Viscoelastic Bodies, Quart. Appl. Math., 13, 183 (1955).

2.22.Lee E. H., Radok J. R. M., The Contact Problem for Viscoelastic Bodies, J. Appl. Mech., 27, 438 (1960).

2.23.Lockett F. J., Interpretation of Mathematical Solutions in Vis­ coelastic Theory Illustrated by a Dynamic Spherical Cavity Prob­ lem, J. Mech. Phys. Solids, 9, 215 (1961).

2.24.Lubliner J., Sackman J. L., On Uniqueness in General Linear Vis­ coelasticity, Quart. Appl. Math., 25, 129 (1967).

2.25.Morland L. W., A Plane Problem of Rolling Contact in Linear Viscoelasticity Theory, J. Appl. Mech., 29, 345 (1962).

2.26.Morland L. W., Exact Solutions for Rolling Contact between Viscoelastic Cylinders, Quart. J. Mech. Appl. Math., 20, 73 (1967).

2.27.Odeh F., Tadjbakhsh L, Uniqueness in the Linear Theory of Vis­

2.29. Read W. T., Stress Analysis for Compressible Viscoelastic Ma­

New York, 1956.

2.33.Struik L. С. E., Free Damped Vibrations of Linear Viscoelastic Materials, Rheol. Acta, 6, 119 (1967).

2.35.Ting T. С. T., Contact Problems in the Linear Theory of Visco­ elasticity, J. Appl. Mech., 35, 248 (1968).

2.36.Ting T. С. T., A Mixed Boundary Value Problem in Viscoelasti­

2.37.Tsien H. S., A Generalisation of Alfrey’s Theorem for Viscoelas­ tic Media, Quart. Appl. Math., 8, 104 (1950).

Глава 3

ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТЬ

Для материалов, рассмотренных в двух предыдущих главах, предполагались изотермические условия дефор­ мирования. Поскольку вязкоупругие материалы не со­ храняют энергию (смысл этого выражения будет уточ­ нен в данной главе), мы займемся сейчас такими вопро­ сами, как теплопередача, температурные состояния, а также ограничениями, накладываемыми при построении изотермической теории. В связи с этим будет дан непро­ тиворечивый термодинамический подход к построению общей линейной теории термовязкоупругости. Будут ис­ следованы некоторые из следствий и ограничений, на­ кладываемых линейной теорией. Последний параграф будет посвящен некоторым неизотермическим эффектам, выходящим за рамки линейной теории термовязкоупру­ гости.

§ 3.1. Термодинамический вывод определяющих соотношений

В этом разделе мы займемся выводом зависимостей линейной теории термовязкоупругости, основанным на двух фундаментальных термодинамических постулатах: законе сохранения энергии и неравенстве для роста энтропии. Эти два постулата вместе с двумя другими определяющими допущениями приводят к построению полной теории термовязкоупругости. Вывод, который здесь приведен, взят из работы Кристенсена и Нахди [3.3]. Другие способы вывода, также использующие термодинамические соображения, но отличные от приво­ димого здесь, дали Био [3.1], Эринген [3.6], Хантер

[3.10] и Шейпери [3.17].

Соответствующее локальное неравенство для роста

ичасто называется неравенством Клаузиуса — Дюгема.

Мы покажем, что если постулировать определяющие

соотношения для рА и Qi в соответствующей форме, то в процессе удовлетворения условиям (3.1) и (3.2) мож­ но вывести все прочие определяющие соотношения. Та­ ким образом, отправной точкой является получение вида выражения для свободной энергии рА.

Процедура, которая будет использована при установ­ лении вида выражения для свободной энергии, анало­ гична выводу определяющего уравнения для напряже­ ния, данному в § 1.2. Там постулировалось, что мгновен­ ное напряжение зависит не только от мгновенной дефор­ мации, но и от полной прошедшей истории деформации, что допускает представление напряжения в виде функ­ ционала истории деформации. В предположении, что функционал представляет собой линейное преобразова­ ние, можно, используя теорему представления, записать этот функционал в виде интеграла Стильтьеса. Отсюда получается обычная форма соотношения между напря­ жением и деформацией.

Относительно свободной энергии ситуация является более сложной. Свободная энергия зависит не только от истории деформации, но и от истории изменения темпе­ ратуры, поскольку условия задачи не считаются изотер­ мическими. Следовательно, свободная энергия является функционалом как истории деформации, так и истории изменения температуры и, как это сразу видно из соот­ ветствующего построения теории упругости, не может быть линейным функционалом. Однако свободную энер­ гию можно определить с помощью использования теоре­

Eij(t) стремится к нулю и T(t) стремится к Т0 при t-)— оо.