книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости
.pdf§ 1.2. Интегральная форма определяющих соотношений |
17 |
[1.10], что дает |
|
Oil (0 = j Ч і (t — s) dGiikl (s); |
(1.2) |
о |
|
здесь функции интегрирования Gijki(t) образуют тензор четвертого порядка, такой, что G ijki(t)— 0 при — o o e t C < 0 , и каждый его элемент имеет ограниченную вариа цию в любом замкнутом подинтервале из области — о о < C t C . оо. Действительно, интеграл в (1.2) представляет собой свертку (интеграл) Стильтьеса. Принятая форма интеграла приводит к тому, что определяющее соотноше ние (1.2) не зависит ни от каких сдвигов по шкале вре мени. Такое поведение называется инвариантностью по
отношению к переносу по времени, и все результаты в этой книге получены в предположении, что это условие выполняется. Симметрия тензоров напряжений и дефор маций приводит к зависимостям
Gilki(t) = |
Glikl(t) = |
Gillk(t). |
(1.3) |
Полагая e{j(t)— 0 |
при ^ < 0 |
и считая, |
что тензор |
Gijhi(t) и его первая производная по времени непрерыв
ны на интервале 0 ^ ^ < о о , можно переписать (1.2) |
в сле |
|
дующем виде: |
|
|
а И(0 = |
Giiki (0) Eki (0 + J &kt (t — s) (dGijki (s)/ds) ds. |
(1.4) |
Очевидно, |
о |
|
(1.4) можно получить из (1.2) с помощью ин |
||
тегрирования дельта-функции Дирака, входящей в диф ференциалы функций интегрирования Gijhi(t) при t = 0. Иной способ перехода от (1.2) к (1.4) основан на зави симости между сверткой Стильтьеса и сверткой Римана. Это обстоятельство обнаружили и использовали в своем выводе Гёртин и Стернберг [1.9].
Другую форму соотношений, определяющих напря жения, можно получить из (1.4) заменой переменной т — t—s и интегрированием по частям, что дает
t
аи (0 = j Gm (t — T) №ki (T)/'dT) dx. |
(1.5) |
0 |
|
До сих пор величина гы (t) считалась непрерывной функ-
2— 851
аУч л.'- : г--У ,і: іИЧЕСНА - ; 1 БИБЛИОТЕКА СС £>
18 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
цией времени, и это было необходимым требованием для применимости теоремы представления Рисса. Одна ко желательно иметь способы исследования разрывных историй деформирования. Такой способ был получен в ра боте [1.9] с помощью представления истории деформации еa ( t ) , которая имеет разрыв при / = 0 , в виде равномер но сходящейся последовательности непрерывных функ ций. В результате получается обобщение зависимости (1.5) в следующей форме:
t
° іі (i)=G iSkl (i) ekl (0 )+ j Gnu (t — t ) (dskl (r)/dx) dx. (1.6) 0
Этот способ вывода, приведенный в работе [1.9], дает возможность избежать введения дельта-функций; другим способом (1.6) можно получить из (1.5) путемъ интег рирования получающейся дельта-функции. Однако в дальнейшем в приведенных здесь выводах будут приме няться стандартная ступенчатая функция и дельта-функ
ция, описанные в приложении |
А, и форма (1.5) будет |
||
использована и при разрывных |
историях |
деформации. |
|
Кроме того, хотя E ij(t)— 0 при ^ < 0 , |
при |
выводе (1.5) |
|
нижний предел интегрирования |
(1.5) |
можно взять— оо |
|
вместо 0 с помощью сдвига шкалы времени при условии,
что Bij(t) - > 0 при t->— ОО .
Соотношение между напряжениями и деформациями (1.5) является одной из форм общих вязкоупругих опре деляющих законов. Функции интегрирования йцы (0 определяют механические свойства материала и называ ются функциями релаксации. Определение функций ре лаксации будет рассмотрено в § 1.5 и в гл. 7.
Зависимость между напряжениями и деформациями (1.5) , как мы видим, основывается только на гипотезе о существовании памяти, предположении о гладкости и на математической теореме представления. При этом не потребовалось прибегать к физической интуиции или к каким-либо модельным представлениям. Этот способ вывода дает возможность наметить план действий в бо лее сложном случае неизотермического поведения, при веденном в гл. 3.
§ 1.2. Интегральная форма определяющих соотношений |
19 |
Имея зависимость между напряжениями и деформа циями (1.5), можно убедиться, что она имеет очень про стую физическую интерпретацию. Ее можно рассматри вать как формулировку принципа суперпозиции Больцма на, согласно которому текущее напряжение определяется суперпозицией откликов на полный спектр прира щений деформации. Эту точку зрения подробно обсуж дали Штаверман и Шварцль [1.13].
Другую форму соотношения между напряжениями и деформациями можно получить, поменяв в предшест вующем выводе ролями деформации и напряжения таким образом, что мгновенные деформации определяются мгновенными значениями и историей изменения напря жений. Тогда можно найти зависимость
|
t |
|
|
|
е,-і (0 = J Juki ( t~ |
т) (dakl (т) /dt) dx, |
(1.7) |
где |
J üki (0 = Ju k i (0 = J ulk (0 |
(1.8) |
|
|
|||
и |
при —o o < ^ < 0 ; |
тензор f i j k i ( t ) и его первая |
|
производная по времени непрерывны на интервале Osg: ^ < о о . Функции Jijki (0 называются функциями пол зучести; так же, как и функции релаксации, они характе ризуют механические свойства материала.
Большой практический интерес представляют изотроп ные формы вязкоупругих соотношений между напряже ниями и деформациями. Рассмотрим сначала тензор функций релаксации. Наиболее общее изотропное пред ставление тензора четвертого порядка имеет вид
|
GiM (t) = 1ls\G2( t ) ~ G 1(t)] б,-/ökl + |
|
|
+ 1M G 1(/)](6i*6/Ä+ M ft); |
(1.9) |
здесь |
Gi (0 и G2 (t) — независимые функции |
релакса |
ции, |
а би — символ Кронекера. Проделывая |
процедуру, |
аналогичную той, с помощью которой в теории упругос
ти вводятся девиаторные компоненты напряжений |
и |
деформаций ец, и используя (1.9), можно свести |
(1.5) |
к виду |
|
Sjj — j Gi (t — x)(deu(x)!dx) dx |
(1.10) |
2* |
19 |
*20 |
Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения |
|
|||
И |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<*kk = |
f G2 (t — t) (dskk (x)jdx) dx, |
(1.11) |
||
|
— |
oo |
|
|
|
где |
|
|
|
|
(1.12) |
|
sil ~ |
Ѵз^г'/ |
sü = |
0; |
|
|
еИ = ьц — Vafy/e**, |
= |
0- |
(1.13) |
|
Подобным же образом получается интегральная форма изотропных соотношений ползучести между напряжения
ми и деформациями |
(1.7): |
|
|
|
|
еа = |
J1 |
J 1{t — x){dsi! {x)ldx)dx, |
(1.14) |
||
— |
оо |
|
|
|
|
4 k = |
Jt |
h i t — v) (dokk (x)dx) dx, |
(1.15) |
||
— |
«ОО |
|
|
|
|
где Ji(t) и J 2( t ) — две независимые изотропные функ |
|||||
ции ползучести. Очевидно, |
Gi(^) |
и J\(t) — это функции |
|||
релаксации и ползучести, |
соответствующие состояниям |
||||
сдвига, тогда как функции |
G2(t) |
и J 2(t) соответствуют |
|||
состояниям объемного расширения. |
' |
||||
Ясно, что соотношения |
(1.14) |
и (1.15) |
не являются |
||
независимыми от (1.10) и (1.11) соответственно. Отсюда
следует, что функции ползучести |
и релаксации |
J a (t) и |
Ga (t) (<х=1, 2) должны быть |
взаимосвязаны. |
Чтобы |
вскрыть зависимость между этими функциями, |
можно |
|
ввести преобразование Лапласа (подробнее см. прило жение Б ). Пусть f(t) — некоторая непрерывная функция на интервале 0 ^ ^ < о о , и пусть при t-*~оо она ведет се
бя как экспонента. Тогда преобразование Лапласа f (s)
^функции f(t) определяется следующим образом: |
|
||
|
](s) = |
] f ( t ) e - stdt. |
(1.16) |
|
|
о |
|
Применив преобразование Лапласа к соотношениям |
|||
(1.10), |
(1.11), (1.14) и (1.15), находим |
|
|
S[/ — |
Ofcfc — sG2ekk, |
Сц sJjSu, |
(1.17) |
§ 1.2. Интегральная форма определяющих соотношений |
21 |
Из (1.17) следует, что |
|
J a = ( s'Gar \ а = 1,2. |
(1.18) |
Соответствующее соотношение в теории упругости меж ду модулями и податливостями имеет вид / a = G~1. Ин туитивным обобщением этого результата теории упруго
сти на вязкоупругость явилась бы зависимость |
/ а (t) = |
= [G a (0 ]_1. которая, как следует из (1.18), |
неверна. |
Однако, используя теоремы о начальном и конечном зна
чениях |
из теории преобразования |
Лапласа, можно по |
|
казать, |
что |
|
|
|
lim /a (0 = |
lim [Ga (0]-1 |
|
и |
<->■О |
t-*о L |
J |
|
|
|
|
|
lim Уа (0 = |
lim [Ga (0]-1 - |
|
|
Г->-оо |
t-*-oo |
|
Для упомянутой выше свертки Стильтьеса использу ется обозначение, которое может с успехом применяться во многих случаях. Эта возможность будет рассмотрена здесь и использована в § 2.12, 5.2 и 5.3.
В соответствии с подходом Гёртина и Стернберга
[1.9] |
зависимость между напряжениями и деформация |
|||
ми (1.2) можно переписать в следующем виде: |
||||
|
а ц = Ч і * d G i i k l . |
( 1. 19) |
||
Здесь |
свертка Стильтьеса |
ф* с?ф двух функций ф(^) и |
||
ф (0 |
определяется формулой |
|
||
|
|
t |
|
( 1.20) |
|
Ф * |
= I ф ( ^ — т ) с іф ( т ), |
||
где ф(^)-Л) при t ->— |
оо и функция ф(^) |
непрерывна на |
||
интервале 0г^Л<;оо. |
Предполагая далее, что ф (£ )= 0 |
|||
при ^ < 0 , можно показать, |
что форма (1.20) подчиняет |
|||
ся коммутативному закону: |
|
|
||
|
ф * dip = ф * dq>. |
(1.21) |
||
Используя это свойство, можно переписать зависимость
22 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
между напряжениями и деформациями (1.2) в следую щем эквивалентном виде:
а іі = Giiki * ^8/л>
который, разумеется, является символическим предста влением зависимости (1.5). Подобным образом изо тропная форма соотношений между напряжениями и де формациями может быть представлена как
su = Gj. |
* <1еи = е и * dGх и akk= G 2 * d&kk = ßkk * dG2, (1.22) |
причем |
6 i j( 0 = 0 при t < . 0. |
В последующих приложениях такого представления будут полезны свойства ассоциативности и дистрибутив
ности свертки Стильтьеса. |
При сделанных |
выше |
пред |
|
положениях относительно |
ф(^) и ф(£) эти свойства за |
|||
писываются следующим образом: |
|
|
|
|
Ф * d (ф * da) = (ф * |
сіф) * cf® = ф * <іф * d(o |
(1.23) |
||
и |
|
|
|
|
Ф * (іф -|- со) = |
ф *с(ф + |
ф * dar. |
|
(1-24) |
Доказательства этих тождеств |
просты; |
их |
можно |
|
найти в работе [1.9]. |
|
|
|
|
§ 1.3. Следствия из гипотезы о |
затухающей памяти |
|||
и различия между вязкоупругими телами и жидкостями
Как уже было указано в предыдущем параграфе, вы веденные в нем соотношения между напряжениями и деформациями основывались лишь на гипотезе о су ществовании памяти, на предположении о гладкости и на математической теореме представления. Займемся теперь изучением следствий, вытекающих из возможных дополнительных физических гипотез. Точнее говоря, по пытаемся найти ограничения, которые можно наложить на соотношения между напряжениями и деформациями для того, чтобы эффект памяти относился к какому-ли бо определенному типу. Повод для этих действий восхо дит к большой теоретической работе, которая была по
§ 1.3. Следствия из гипотезы о затухающей памяти |
23 |
священа исследованию одного типа памяти — так назы ваемой затухающей памяти.
Первая математическая формулировка понятия зату хающей памяти была дана Вольтерра [1.16]. Более позднее и более полное определение гипотезы о затухаю щей памяти дали Колеман и Нолл в нескольких публи кациях, упомянутых в обзоре Колемана и Майзела [1.5]. Гипотеза о затухающей памяти с большим успехом ис пользовалась в нескольких работах, например, в данной Колеманом [1.4] термодинамической формулировке не линейной теории вязкоупругости. Формальное определе ние этого типа эффекта памяти более сложно, чем это требуется здесь для приложения к теории инфинитези мальных деформаций. Такое формальное определение будет использоваться в гл. 6 для построения нелинейной теории вязкоупругости.
Для целей, которые .ставятся в линейной теории, бу дет достаточно более простого определения затухающей памяти следующего вида. Если мгновенное значение не которой переменной поля представляется линейной функциональной зависимостью от полной предыдущей истории изменения другой переменной поля, то гипотеза о затухающей памяти утверждает, что первая переменная сильнее зависит от недавней истории изменения второй переменной, нежели от далекой истории этого изменения. Точнее говоря, зависимость мгновенного значения пер вой переменной от значений второй переменной в пред шествующее время определяется с помощью некоторой весовой функции, которая должна обеспечивать непре рывно убывающую зависимость от прошлых событий по мере их непрерывного удаления от рассматриваемого момента.
Использование термина «весовая функция» становит ся ясным в последующем обсуждении ограничений, которые следует наложить на зависимость между напря жениями и деформациями, чтобы удовлетворить гипоте зе о затухающей памяти. Из зависимости между напряже ниями и деформациями (1.2) или (1.4) видно, что весо выми функциями, которые характеризуют область, где на текущие значения каждой компоненты напряжения влияют значения деформаций в прошлом, являются тан
24 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
генсы угла наклона графика функции релаксации. Для того чтобы все компоненты вязкоупругих зависимостей между напряжениями и деформациями удовлетворяли условию затухающей памяти, достаточно, чтобы значе ния тангенсов угла наклона для каждой компоненты тен зорной функции релаксации были непрерывными убы вающими функциями времени; отсюда
\dGi m m t\ t.,u < \ d G i]kl(t)ldt\t=h при tt> t 2> 0 . (1.25)
Гипотеза о затухающей памяти оправдана в том смыс ле, что было бы физически нереальным ожидать усиле ния памяти материалов по отношению к более отдален ным событиям. Действительно, все экспериментальные измерения функций релаксации дают результаты, согла сующиеся с критерием (1.25). Легко установить и тот факт, что гипотеза о затухающей памяти удовлетворяет ся также, если наложить следующие условия на тензор
ную функцию ползучести: |
м |
\dJ{jkl(t)/dt\t= fi< \ d J {lkl(t)!dt\t=u |
при t , > t 2> 0. (1.26) |
Дальнейшие ограничения, касающиеся вида функций релаксации, приводятся в § 3.3.
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о различии между вязкоупругими твердыми телами и жидкостями. Хотя интуитивно и ясно, что упругая среда является твердым телом, а вязкая среда является жидкостью, для вязкоупругих материалов ситуация является значительно более сложной, поскольку они проявляют признаки как упругого, так и вязкого поведения. Не ясно, будет ли некоторый вязкоупругий материал твердым телом, жид костью или и тем, и другим одновременно (последняя возможность будет обоснована ниже). В обобщенном смысле провести границу между твердыми и жидкими телами не так просто, как может показаться с первого взгляда. Строгое определение этих понятий, которое дали Трусделл и Нолл [1.14], весьма сложно; оно будет рас смотрено в гл. 6. Следствие такого формального опреде ления жидкости состоит в том, что жидкость в отличие от твердого тела должна быть изотропной.
§ |
1.3. Следствия из |
гипотезы о затухающей памяти |
25 |
|
Для |
наших целей |
мы |
будем различать жидкости |
|
и твердые тела с помощью |
следующего простого |
и не |
||
строгого |
физического рассуждения. Вязкоупругая |
жид |
||
кость, подвергнутая фиксированным касательным на пряжениям, после переходного процесса переходит в со стояние стационарного течения. Кроме того, в вязкоуп ругой жидкости, подвергнутой фиксированной деформа ции сдвига, возникает напряженное состояние, которое со временем исчезает. В противоположность этому изо тропное вязкоупругое твердое тело, подвергнутое фикси рованной деформации чистого сдвига, будет обладать соответствующими компонентами напряжения, которые остаются ненулевыми, пока сохраняется деформация. Иначе говоря, вязкоупругая жидкость имеет неограни ченное количество недеформированных конфигураций, тогда как вязкоупругое твердое тело — только одну.
Установим теперь следствия, связанные с различием между вязкоупругими твердыми телами и жидкостями и касающиеся их механических свойств. Далее в этом параграфе будет удобно ввести различие между коорди натами частиц в частном фиксированном состоянии от счета и координатами частиц в любом состоянии воз можной деформации. Это различие аналогично ситуа ции, описанной в начале § 1.2, где координаты частицы в начальном и деформированном состояниях обознача лись через Хі и Хі = Х і {т, Хі) соответственно. Такая ус
ловность противоречит |
нашим обычным обозначениям |
в инфинитезимальной |
теории, где хі — координаты |
в фиксированном состоянии отсчета.
Рассмотрим вязкоупругий материал, который под вергается деформации простого сдвига, определяемой следующими компонентами перемещения из фиксиро ванного состояния отсчета:
л
Ui(xi,f) = u X i h(t), и2 = « з = 0,
где h(t) — единичная ступенчатая функция. Используя соотношение между перемещениями и деформациями
из (1.10) получаем единственное ненулевое соотношение
26 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
между компонентами напряжений и деформаций в виде
«и (0 = [Gi (0/2] и,
где, как мы напоминаем,
G1(t) = 0 при t < 0.
Из определения изотропного вязкоупругого твердого те ла следует, что для того, чтобы некоторый изотропный вязкоупругий материал представлял собой твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы
lim Gx (t) -> const Ф 0 (изотропное твердое тело). t—*■ со
Для того чтобы вязкоупругий материал был жидкостью, необходимо, чтобы
WmGxit) 0 (жидкость).
Однако этого требования для предельного поведения функции релаксации при сдвиге недостаточно для того, чтобы материал был жидкостью. Как будет показано да лее, для достаточности требуется, чтобы материал удов летворял условию стационарности течения.
Поскольку вязкоупругая жидкость обладает тем свойством, что допускается ее течение в условиях стаци онарного состояния, мы можем ввести соответствующий коэффициент вязкости. Существование такого коэффи циента вязкости при стационарном течении достаточно для того, чтобы материал был жидкостью. Для получе ния этого коэффициента вязкости напомним сначала, что соответствующее определяющее соотношение для напряжений в ньютоновской вязкой жидкости имеет вид
su = 2r\dlh |
(1.27) |
где
da = 7я [dxt (t)/dxj (t) + dXj (f)fdxt (/)];
«
здесь X i(t) —координаты в текущий момент времени t, a X i ( t ) — компоненты скорости. Отметим различие меж