книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

где

А2 = [[Gj — G])(com/&p) + w2]2 + [(Gg + G’3)((am/kp) — со2]2.

Вторые члены в (4.86) и (4.87) дают вызванные связно­ стью поправки первого порядка для фазовой скорости затухания несвязанных тепловых волн.

Этим завершается анализ распространения гармони­ ческих волн в связанной теории термовязкоупругости. Хотя с точки зрения механических характеристик рас­ сматриваемые волны являются волнами расширения, мы видим, что распространение гармонических волн сдвига, т. е. волн, для которых Ыі,і — 0, не будет сопровождаться связанными термическими эффектами. Действительно, повторяя анализ, проведенный здесь для волн расшире­ ния, можно показать, что фазовая скорость и затухание плоской гармонической волны сдвига даются первым членом в (4.83) и (4.84) с той разницей, что G\ (Ію) за­

Эти рассуждения показывают, что при распростра­ нении вязкоупругих волн не только происходит затуха­ ние, но проявляется также эффект дисперсии, вызванной тем, что фазовая скорость зависит от частоты. Следова­ тельно, невозможно передать импульс по вязкоупругой среде, не меняя его формы.

В только что проведенном анализе продольных волн использовалась линейная теория, описываемая уравне­ ниями § 3.1, и приходилось пренебрегать эффектом дис­ сипации энергии и зависимостью вязкоупругих механи­ ческих свойств от температуры, за исключением зависи­

что роль этих эффектов будет значительной, и в силу этого предшествующие рассуждения являются в высо­ кой степени идеализированными. Исследования, в кото­ рых учитывались эти нелинейные эффекты, связанные с энергией диссипации и зависимостью механических свойств от температуры, провели Петров и Грач [4.19], Волосевик и Грач [4.26] и Хантер [4.13].

На ограниченность проведенного в данном параграфе исследования нужно указать и с другой точки зрения. Мы допустили, что волны являются плоскими и что для опи­ сания направления распространения и направления за­ тухания достаточно одной пространственной координаты. Это является, разумеется, законным частным случаем, однако, как мы увидим в следующем параграфе, не всег­ да верно. При решении задачи об отражении гармониче­ ских вязкоупругих волн от свободной границы мы встре­ чаемся с волнами, в которых направление затухания отлично от направления распространения.

§ 4.4. Отражение гармонических волн

В задачах, обсуждавшихся до сих пор в этой главе, не рассматривалось непосредственно влияние граничных условий на распространение волн. Такого рода эффекты учитывались лишь косвенно в примерах § 4.2. Исследуем теперь общую задачу об отражении гармонических волн от свободной поверхности вязкоупругого полупростран­ ства. В дальнейшем изложении мы следуем работе Лок-

кета [4.17].

Преобразование Фурье уравнений движения таково:

Р* (Щ Uk,jj + [Я* (гео) + р* (ІО))] и P j k = — PO)2 uk. (4.91)

Эти уравнения движения можно разделить, как это бы­ ло сделано в (4.30) и (4.31), поочередно, полагая

ния. Получающиеся в результате уравнения движения имеют вид

ние соответственно поперечных и продольных волн. Эти

где U — вектор комплексной амплитуды, L и М — комп­ лексные параметры, а ©= соо — частное значение интере­ сующей нас частоты. При записи (4.96) предполагается, что движение волны в декартовой системе координат X, у, z не зависит от координаты г . Преобразование Фурье уравнения (4.96) дает

где 6( ) — дельта-функция. Подставляя (4.97) в (4.94), получаем

ствительности уравнение (4.98) можно получить и не прибегая к преобразованию Фурье, поскольку в данном случае рассматриваются только гармонические волны, однако здесь оно применено для удобства.

Параметры L и М в общем случае являются комп­ лексными. Однако перед тем, как рассматривать самый общий случай, рассмотрим сначала частный случай,

в котором отношение L/М является действительным числом.

Случай действительного отношения ЫМ

Когда отношение комплексных чисел L/M действи­ тельно, решение (4.98) дает

Из (4.103) мы видим, что в этом частном случае волна затухает в зависимости от пройденного расстояния и на­ правление распространения совпадает с направлением затухания. Волна, обладающая этим свойством, по тер­ минологии работы [4.17] называется простой волной. Из (4.102) мы видим, что tg a = m//, где угол а, отсчиты­ ваемый от оси X , определяет направление распростра­ нения. Параметр ф определяет характеристику затуха­ ния. Рассмотрим теперь общий случай, когда отношение L/M не является действительным.

Случай комплексного отношения L/M

В этом случае отношение комплексных постоянных L и М является комплексным. При таких обстоятельст­ вах затухание происходит не в направлении распрост­

где теперь

ß/v Ф. Чш.

Этот тип волны является более общим, чем гармониче­ ские волны, рассмотренные в § 4.3, где направления рас­ пространения и затухания считались совпадающими.

В дальнейшем будет удобнее использовать не вектор­ ные, а компонентные обозначения. Таким образом, пре­ образование компонент перемещения и и ѵ в направле­ ниях X и у принимается в виде

Теперь, используя (4.105), (4.108) и (4.109), можно пе­ реписать компоненты перемещения в виде

Решения (4.110) далее будут конкретизированы для сле­ дующего случая.

Отражение падающей 5-волны от свободной границы

Пусть плоскость х = 0 определяет свободную от на­ пряжений границу полупространства. Найдем характе­ ристики отражения падающей 5-волны от этой границы, если угол падения равен сц.

Вектор полного перемещения получается суперпозицией компонент всех трех типов (4.111) — (4.113):

U = U si Т - U s + Up И V — V st + V s + V p .

Уравнения движения удовлетворяются в силу условия (4.98), для выполнения которого в данном случае тре­ буется, чтобы

Условие (4.116), переписанное для преобразований пере­ мещений, имеет вид

ди(х, у, а )/д у + дѵ(х, у, а )/д х = 0 при х = 0 . (4.117)

Подставляя выражения (4.111) — (4.113) в (4.117), по­ лучаем уравнение, содержащее экспоненциальную зави­