книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

228 Гл. 5. Общие теоремы и формулировки

Начнем доказательство с того, что примем допусти-

где Ui(xi)u(t) — точное решение для поля перемещений и варьируемые перемещения, как видим, содержат толь­ ко вариации зависящих от координат частей перемещений.

При этих условиях доказываемая минимальная те­

где М1 определяется с помощью (5.87) для поля пере­ менных, характеризующих решение краевой задачи те-

О

ории вязкоупругости, тогда как Мі обозначает значение (5.87) для любого другого допустимого поля перемеще­ ний.

Раскроем (5.89), используя (5.87) и (5.88); тогда

Последний интеграл выпишем в виде интеграла по всей

границе (поскольку б«* = 0 на В и) и затем превратим его в интеграл по объему с помощью теоремы Гаусса — Ос­ троградского. Это в результате дает

4 - ^ ! =

Члены в квадратных скобках обращаются в нуль, по­ скольку решение должно удовлетворять зависимостям между напряжениями и деформациями (5.65) и (5.66) и уравнениям равновесия (5.49), так что уравнение (5.91) принимает вид

этому равенству вид зависимости между напряжениями и деформациями. Тогда из (5.92) и (5.93) следует, что (5.89) удовлетворяется, если для рассматриваемого про­ цесса или процессов выполняется условие

для всех материалов, для которых неотрицательна про-

230 Гл. 5. Общие теоремы и формулировки

изведенная работа. Следствия из требования неотрица­ тельности работы обсуждались в § 3. 3; было обнаруже­ но, что если накопленная энергия и скорость диссоциа­ ции энергии считаются неотрицательными, то требование

убывающих экспонент, как в зависимости (2.68), эти ус­ ловия всегда удовлетворяются, так что ко всем этим про­ цессам применима минимальная теорема.

Естественно ожидать существования второй мини­ мальной теоремы, которая соответствует теореме мини­ мума дополнительной энергии в теории упругости и при соответствующих условиях сводится к ней. Чтобы уста­ новить такую теорему, определим функционал М2 так:

t

ЛІ2= ^ j [р (dW (т) 'Зт) — Г (т)] dxdv —

V о

t

— 2 I [ (âot (т) от) А(- (т) dxda, (5.95)

К ь

где функции pW (х) п Г(т) находятся из (5.78) и (5.79). Так же как и в условиях первой теоремы, допустим, что условия задачи допускают решение с разделением переменных в виде (5.74). Допускается варьирование только зависящих от координат частей переменных. При таких условиях можно сформулировать вторую мини­

мальную теорему.

Д ля краевой задачи теории вязкоупругости, которая

от координат частью. Из этих допустимых состояний од ­ но, которое является решением краевой задачи, описыва­

емой зависимостями (5.46), (5.49) — (5.51), (5.67) и (5.68), доставляет минимум функционалу М2, определи-

напряжениями и деформациями. Из (5.100) и (5.101) следует, что (5.96) удовлетворяется, если для рассмат­ риваемого процесса выполняется условие

(5.102)

Интерпретировать требование (5.102) не столь про­ сто, как это было сделано в случае первой минимальной теоремы с требованием (5.94) неотрицательности рабо­ ты. Разумеется, в частном случае упругого материала из (5.102) следует 7 ^ 0 , где J — упругая податливость на сдвиг. Однако в случае вязкоупругих материалов легко показать, что условие (5.102) может быть нарушено. Например, используя столь простую зависимость как одномерное соотношение между напряжением и деформа­ цией для модели Максвелла и задавая две ступенчатые функции приложения напряжения, можно показать, что условие (5.102) нарушается. В то же время условие (5.102) , очевидно, выполняется в условиях опыта на пол­ зучесть, если / ( 0 ) ^ 0 и на коэффициент Пуассона нало­ жены соответствующие ограничения.

Хотя первая минимальная теорема применима к обычным вязкоупругим материалам, условия примени­

с выполнением условия (5.102). Таким образом, приме­ нимость второй теоремы ограничена.

Тем не менее существуют такие частные условия, при которых вторая теорема применима. Одним из таких случаев являются условия опыта на ползучесть. Другим случаем являются стационарные условия гармонических колебаний. Хотя, накладывая соответствующие ограни­ чения на процессы деформирования, в принципе можно доказать, что две последние теоремы применимы в дан­ ном случае, практически удобнее непосредственно выве­ сти две новые минимальные теоремы для стационарного процесса гармонических колебаний. Таким образом, мы установим третью и четвертую минимальные тео­ ремы.

где М3— функционал (5.103), определенный для реше-

О

ния краевой задачи, а М3— значение (5.103), найденное

для какого-либо допустимого состояния перемещений.

Мы начнем доказательство теоремы с определения

О

допустимого поля перемещений m (X i,t) в виде

ация 6e,j разлагается на объемные и девиаторные компо­ ненты.

Для действительных 8ец доказательство теоремы

следует непосредственно из (5.105). Поскольку Ьщ(Хг) представляет собой отклонения от зависящей от коор­

динат части решения иДх,), для того, чтобы Ьщ (хі) и зависящая от координат часть допустимого поля пере­

мещений были действительными, функция т{Хі) должна быть действительной. Это согласуется с условиями тео­ ремы. Можно показать, что если вязкоупругий коэффи­ циент Пуассона не является действительной константой

или если среда неоднородна, то функция аДлД будет комплексной и минимальная теорема при этих условиях несправедлива. В неявной форме подразумевалось, что в краевой задаче заданы как напряжения, так и переме­

щения на поверхности и массовые силы таким образом, что фазовый угол между заданными поверхностными усилиями и массовыми силами, с одной стороны, и за­ данными перемещениями с другой, должен иметь такое значение, которое позволяет зависящей от координат части перемещения быть действительной. Этот фазовый угол определяется формулой arc tg(Im p,*/Re р *). Огра­ ничение, связанное с однородностью материала, нахо­ дится в прямом противоречии с соответствующей теоре­ мой теории упругости, применимой и к неоднородным ус­ ловиям.

Последняя минимальная теорема является аналогом второй минимальной теоремы для стационарного состо­ яния гармонических колебаний и одновременно анало­ гом теоремы о минимуме дополнительной энергии из теории упругости. Определим функционал УИ4 с помощью выражения

Пуассона снова считается действительной константой. Все переменные поля являются гармоническими функ­ циями времени, и вариации по отношению к точному решению краевой задачи берутся только в зависящих от времени частях переменных, а не в частях, выражаемых гармоническими функциями времени.

Четвертая минимальная теорема формулируется сле­ дующим образом.

Для краевых задач теории вязкоупругости о гарм о­

нических колебаниях допустимыми считаются только

такие состояния, для которых а) напряжения удовлет­

воряют граничным условиям, б) напряжения удовлетво­