книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

üPo { (TsO— l) 2 + 4"^/0Vso}

щей задачи теории упругости. Действительно, если в этих соотношениях отбросить экспоненты, то результаты бу­ дут полностью применимы к аналогичным задачам тео­ рии упругости. Мы видим, что для вязкоупругих опреде­ ляющих соотношений величины разрывов переменных поля экспоненциально убывают с глубиной, в противопо­ ложность случаю упругих определяющих соотношений, для которых эти величины с глубиной не меняются. При­ мечательно, что в вязкоупругой задаче для вычисления названных разрывов нужны только начальные значения и наклоны функций релаксации.

Подобная задача о нагрузке, движущейся по вязкоупругому слою конечной толщины, с учетом отражения волн рассмотрена в работе [4.7].

Задачи

4.1. Опишите поведение полубесконечного стержня, на конце ко­ торого действует внезапно приложенное и остающееся затем по­ стоянным напряжение; материал стержня сответствует модели Макс­ велла. Используйте прямое приложение метода интегральных преоб­ разований.

4.2. Для одноосной задачи распространения волн получите асим­ птотическое разложение для напряжения в примыкающей к фронту волны области, сохранив в разложении еще один член по сравнению с выводом в § 4.1.

4.3. В задаче о течении сдвига в § 4.2 проведите полный вывод решения для напряжения для вязкоупругого материала обще­ го вида. Дайте частный случай этих результатов для функции релак­ сации, представленной моделью Максвелла, и сравните результаты с (4.61). В заключение получите полное решение соответствующей упругой задачи, для которой модуль сдвига равен начальному значе­ нию функции релаксации при сдвиге.

4.4. Используя метод граничных условий, зависящих от времени, при допущениях линейной теории опишите поведение свободно опер­ той однородной вязкоупругой балки под действием внезапно прило­ женной нагрузки, которая затем остается постоянной во времени.

4.5.Распространите метод § 4.4 на учет отражения и преломле­ ния падающих гармонических волн на поверхности раздела между двумя вязкоупругими средами (см. работу [4.17]).

4.6.Пренебрегая инерционными членами, получите квазистати­ ческое решение задачи в § 4.5, вводя движущуюся нагрузку на вяз­ коупругом полупространстве (при плоской деформации).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

4.1.Achenbach J. D., Vibrations of a Viscoelastic Body, АІАА J., 5, 1213 (1967). Русский перевод: Ракетная техника и космонавти­ ка, 5, № 6, 221 (1967).

4.2.Achenbach J. D„ Reddy D. P., Note on Wave Propagation in Linearly Viscoelastic Media, Z. Angew. Math. Phys., 18, 141

(1967).

4.3.Berry D. S., A Note on Stress Pulses in Viscoelastic Rods, Phil. Mag. [8], 3, 100 (1958).

4.4.Berry J. G., Naghdi P. M., On the Vibration of Elastic Bodies Having Time-Dependent Boundary Conditions, Quart. Appl. Math., 14, 43 (1956).

4.5.Christensen R. M., Application of the Method of Time-Dependent

Boundary Conditions in Linear Viscoelasticity, I. Appl. Mech., 34, 503 (1967).

4.6.Chu В. T., Stress Waves in IsotropicLinear Viscoelastic Mate­ rials, J. Alec., 1, 439 (1962).

4.7.Chu В. T., Response of Various Material Media to High-Velocity Loadings; I. Linear Elastic and Viscoelastic Materials, J. Mech.- Phys. Solids, 13, 165 (1965).

4.8.Cooper H. F., Jr., Reflection and Transmission of Oblique Plane Waves at a Plane Interface between Viscoelastic Media, I. Acoust. Soc. Amer., 42, 1064 (1967).

4.9.Cooper H. F., Jr., Reiss E. L., Reflection of Plane Viscoelastic Wa-

4.12. Hunter S. C., Tentative Equations for the Propagation of Stress,

Int. ]. Eng. Sei., 5, 119 (1967).

4.14. Knauss W. G., Uniaxial Wave Propagation in a Viscoelastic Mate­ rial Using Measured Material Properties, /. Appl. Mech., 35,

449 (1968).

4.15.Lee E. H., Kanter L, Wave Propagation in Finite Rods of Vis­ coelastic Material, J. Appl. Phys., 24, 1115 (1953).

4.16.Lee E. H., Morrison J. A., A Comparison of the Propagation of

Longitudinal Waves in Rods of Viscoelastic Materials, J. Polytn. S ei, 19, 93 (1956).

4.17.Lockett F. J., The Reflection and Refraction of Waves at an In­ terface between Viscoelastic Materials, J. Mech. Phys. Solids, 10, 53 (1962).

4.18.Mindlin R. D., Goodman L. E., Beam Vibrations with Time-Depen­ dent Boundary Conditions, J. Appl. Mech., 17, 377 (1950).

4.19.Petrof R. C., Gratch S., Wave Propagation in a Viscoelastic Ma­ terial with Temperature-Dependent Properties and Thermomecha­ nical Coupling, I. Appl. Mech., 31, 423 (1964).

4.21.Thomas T. Y., Plastic Flow and Fracture in Solids, New York, 1961. Русский перевод: Томас T., Пластическое течение и раз­ рушение твердых тел, «Мир», М., 1964.

4.22.Tsai Y. М., Kolsky Н., Surface Wave Propagation for Linear Viscoelastic Solids, /. Mech. Phys. Solids, 16, 99 (1968).

4.23.Valanis К- C., Propagation and Attenuation of Waves in Linear Viscoelastic Solids, J. Math. Phys., 44, 227 (1965).

4.24.Valanis К- C., Chang S., Stress Wave Propagation in a Finite Viscoelastic Thin Rod with a Constitutive Law of the Hereditary Type, in «Developments in Theoretical and Applied Mechanics» (Huang T. C., Johnson M. W., Jr., eds.), New York, 1965.

4.25.Valanis К- C., Sun С. T., Axisymmetric Wave Propagation in a Solid Viscoelastic Sphere, Int. J. Eng. Sei., 5, 939 (1967).

4.26.Wolosewik R. M., Gratch S., Transient Response in a Viscoelastic Material with Temperature-Dependent Properties and Thermome­ chanical Coupling, J. Appl. Mech., 32, 620 (1965).

202 Гл. 5. Общие теоремы и формулировки

Для доказательства этой теоремы допустим, что су­ ществуют два различных решения уравнений поля при заданных граничных и начальных условиях, в которых

и считаются непрерывными функциями времени и коор­

ным условиям. В силу этого можно записать следующее соотношение:

к (5.10) теорему Гаусса — Остроградского и использо­ вав уравнения (5.1) и (5.2), отвечающие разности ре­ шений, находим

Теорема из книги Дейча [5.4] утверждает, что если пре­ образование Лапласа от непрерывной функции равно пулю на бесконечном множестве точек действительной оси, которые образуют арифметическую прогрессию, то и сама функция тождественно равна нулю. Применяя эту теорему к нашему случаю, обнаруживаем, что раз­ ности функций ud. и 0d должны быть тождественно рав­

Поскольку решение для разностей тождественно рав­ но нулю, решение краевой задачи связанной термовяз­

что в настоящем доказательстве фигурируют только на­ чальные значения функции релаксации.

Использование преобразования Лапласа для уста­ новления теоремы единственности является здесь в не­ котором смысле искусственным. Хотя методы интеграль­ ных преобразований служат весьма ценным инструмен­ том для решения краевых задач, их применение при ус­ тановлении общих теорем менее привлекательно из-за ограничений, с которыми оно связано. В этом парагра­ фе преобразование Лапласа используется только из-за простоты его приложения именно в этом частном дока­ зательстве; оно не является существенным элементом доказательства единственности. Доказательство изотер­ мической теоремы единственности в § 2.2 производилось без использования интегральных преобразований.

В § 2.2 были даны ссылки на несколько различных изотермических теорем единственности. Стернберг и Гёртин [5.14] дали теорему единственности для неизотерми­ ческого случая, применимую в условиях, отличных от приведенных здесь.

§ 5.2. Представление через функции перемещения

В теории упругости две особенно удобные процедуры, дающие возможность перейти к несвязанным уравнени­ ям равновесного состояния, состоят в использовании век­

тора Галеркина и функции напряжений Папковича — Нейбера. Обратимся к обобщению этих методов теории упругости на случай вязкоупругости. Такое обобщение связано с использованием введенной в § 1.2 свертки Стильтьеса.

Напомним, что в теории упругости уравнения равно­ весия в перемещениях без учета объемных сил име­ ют вид

и Ѵ - и — скалярное произведение. Решение этого урав­ нения с помощью вектора Галеркина записывается как

Такимобразом, решение уравнений равновесия теории упругости сводится к задаче отыскания бигармониче­ ской векторной функции g. Альтернативная процедура связана с использованием функции напряжений Папко­ вича— Нейбера; при этом вектор перемещения име­ ет вид

В этом случае интегрирование уравненийравновесия сводится к отысканию четырех гармонических функций.

Для задач вязкоупругости уравнения квазистатического равновесия в форме, аналогичной (5.21), имеют вид

§ 1.2. Это представление можно проверить, если исполь­ зовать уравнение ац, j — 0 вместе с (2.3), приняв Gx(t) — = 2 p ,(f), G2( t ) = 3 k ( t ) , а также соотношения между де­ формациями и перемещениями.

Обобщение упругого вектора Галеркина на вязкоуп­ ругость дается зависимостью

Для того чтобы доказать, что такое представление удов­ летворяет уравнениям равновесия, выражение (5.27) можно прямо подставить в (5.26). Чтобы проделать это, получим из (5.27) две следующие зависимости:

ассоциативности и дистрибутивности свертки Стильтье-

Наконец, воспользуемся свойством коммутативности свертки Стильтьеса, чтобы показать, что зависимость (5.32) удовлетворяется, и доказательство закончено.