книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

Обобщение упругой функции напряжений Папковича — Нейбера на вязкоупругость дается уравнением

шений, когда объемные силы не равны нулю, дали Гёртин и Стернберг [5.8].

Указанные два представления перемещений в виде сверток Стильтьеса существенно упрощают проблему интегрирования уравнений теории вязкоупругости. При использовании альтернативной процедуры необходимо провести интегральное преобразование уравнений, опи­ сывающих вязкоупругие поля и граничные условия, и применить упругие представления Галеркина или Папковича — Нейбера непосредственно в плоскости изобра­ жений. Процедура перехода к несвязанным уравнениям равновесия формально будет такой же, как в теории уп­ ругости; разумеется, упругое решение, полученное та­ ким образом, можно непосредственно превратить в пре­ образование вязкоупругого решения. Эту последнюю процедуру в общем случае применить проще, чем сверт­ ки Стильтьеса в формах (5.27) и (5.33). Однако между этими двумя методами перехода к несвязанным уравне­ ниям равновесия существует важное различие. Формы в виде свертки Стильтьеса можно применять и в тех за­ дачах, где интегральные преобразования не применимы. Например, контактные задачи, рассмотренные в § 2.12, относятся к типу, для которого неприменимы интеграль­ ные преобразования. Задача о вдавливании криволиней­ ного штампа в вязкоупругое полупространство была кратко рассмотрена в § 2.12. Весьма полный и общий анализ этой задачи дан в работе [5.6], где используется свертка Стильтьеса от только что рассмотренной функ­ ции напряжений Папковича — Нейбера.

Следует заметить, что, хотя в этих формулах перемен­ ные разделены, получающиеся решения краевой задачи в общем случае могут не иметь форму с разделенны­ ми переменными. Как доказано в § 2.3, для существова­ ния решения с разделенными переменными граничные условия для перемещений и напряжений должны иметь связанные друг с другом, но различные виды зависимо­ сти от времени, что в рассматриваемом случае не имеет места.

Теорема взаимности теории вязкоупругости (5.35), примененная к этим двум состояниям нагружения, дает

Это частный случай теоремы взаимности теории вязко­ упругости [применимый только тогда, когда справед­ ливы равенства (5.41) и (5.42)], имеющий в точности тот же вид, что и теорема взаимности теории упругости.

Особенно интересно приложение теоремы взаимности теории вязкоупругости при выводе формулы для объ­ емной деформации тела, аналогичной соответствующей формуле теории упругости (см., например, [5.12]). Этот вывод предложен в качестве задачи в конце главы.

Стернберг [5.13] показал, как можно модифициро­ вать теорему взаимности и несколько других общих тео­ рем для неизотермических условий, использовав анало­ гию с массовыми силами.

Гёртина является, по-видимому, наиболее общим. В его подходе используется свертка Стильтьеса, подобно тому, как это делалось в двух последних параграфах. В то же

принимаются невозмущенными.

Соотношения § 2.1, которые определяют квазистати­ ческую краевую задачу вязкоупругости, перепишем для удобства в виде

где Sj и А; — заданные напряжения и перемещения на границе, причем рассматривается общий анизотропный случай. В вариационных теоремах, которые будут те­ перь сформулированы, предполагается, что напряжения, деформации и перемещения непрерывны и непрерывно дифференцируемы. При некоторых условиях это ограни­ чение может быть несколько ослаблено (см., например,

работу [5.7]).

Установим теперь функционал F, для которого из уравнений (5.46) — (5.51) следует обращение в нуль ва­ риации бF, т. е. условие 8 F = 0 . Сначала точно опреде­ лим, что мы понимаем под вариацией функционала. Примем, например, что функционал зависит от истории одной переменной e (t—s ) и от текущего значения e (t):

Будем предполагать, что такое разложение для интере­ сующих нас здесь функционалов существует Д Можно заметить, что разложение (5.53) является разложением для функционалов, которое совершенно аналогично раз-

со

ложению в ряд Тейлора для функций. В (5.53) бф( )

s = 0

выражает функционал историй г ( і — s) и бе(^ — s), ко-

Достаточные условия существования разложения (5.53) будут обсуждены в гл. 6.

является функционалом Фреше второго порядка и явля­

Таким образом, первая вариация функционала есть не

в окрестностях истории e(t — s) плюс член, содержащий частные производные. Функционалы, в которых имеется более одного тензорного аргумента истории и которые рассматриваются ниже, определяются аналогично (5.54)

и (5.55).

Определим функционал /ц зависимостью

нице и все переменные считаются зависящими от коор­ динат.

где а — действительное число, а бмг(т) и ба^Чт)— про­ извольные изменения в историях.

Тогда первая вариация функционала F2 имеет вид

где в первом члене использовано свойство коммутатив­ ности свертки Стильтьеса вместе с зависимостью І ц ы =

--J klij-

Вдвух последних членах в (5.62) соответственно до­

бавим и вычтем величину Цог* dbiii. Используя теорему

Во

Гаусса — Остроградского, приводим (5.62) к следующе­ му виду:

Отсюда видим, что удовлетворение уравнений ноля (5.48) и (5.49) вместе с граничными условиями (5.50) и (5.51) при условии гц — Чг(«г, j + wi,*) обращает в нуль первую вариацию F2. Таким образом,

Можно также показать, что условие öF2 — 0 влечет за со­ бой зависимости (5.48) — (5.51) в качестве уравнений Эйлера, если выполняется равенство e ij= V 2(«ij+W j,i)- Этим завершается доказательство второй вариацион­ ной теоремы.