книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости
.pdf$ 3.4. Формулирование краевых задач термовязкоупругости 127
Полученное требование, наложенное на функции релак сации, при условиях (3.29) и (3.32), из которых следует dGa(t)/dts^.O, показывает, что функции релаксации дол жны быть неотрицательными непрерывно убывающими функциями времени. Это полностью согласуется с экс периментальными результатами. Гипотеза о затухающей памяти из § 1.3 накладывает дополнительные ограниче ния на производные функций релаксации dGa (t)ldt, а
именно требование d2Ga (t)/dt2'^0.
§ 3.4. Формулирование краевых задач
термовязкоупругости
Приведем сводку линейных уравнений связанной тео рии термовязкоупругости. Уравнения квазистатического равновесия или уравнения движения, соотношения меж ду деформациями и перемещениями и соотношения между напряжениями и деформациями соответственно имеют вид
он.,- + |
F i = |
°, РcPuJdt2, |
(3.45) |
|
8/ / - Ѵ а |
(3.46) |
|
|
t |
|
|
v,j ; = |
f Gm |
(t — x)(dekl (x)i'dx) dx — |
|
|
0 |
|
|
t
j1Фa it — т)(дѲ (x)U)x) dx (анизотропный случай), (3.47)
о
t
Sn = j G, (t — i)(deu (x)/dx) dx,
о
(изотропный случай), (3.48) t t
ak k = \GM—x)(dEkk(x)ldx)dx—3 jcp(t—x)(de(x)/dx) dx,
где девиаторные компоненты s„ и ëij определяются со гласно формулам (1.12) и (1.13) и нужно помнить, что Ѳ(т) обозначает инфинитезимальное изменение темпера туры от исходной температуры Т0. Уравнение теплопро-
128 |
|
|
Гл. |
3. |
Термовязкоупругость |
|
|
||
водности имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|||
= |
— Г m (t—х) |
дт |
dr + — |
Г фіу- {і — т) dJ± é -l dx |
|||||
Г 0 •" |
dt |
J |
4 |
' |
dt |
J |
; |
' dx |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
(анизотропный случай) |
|
(3.49) |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d&kk(x) dx |
|
-Ѳ ,, = — |
I m(^ — т) |
дѲ (X) |
dx -1-------- |
JФ (t — г) |
|||||
о ■ '* |
dt |
J |
' |
’ |
dx |
dt |
dx |
||
|
|
|
(изотропный случай), |
|
(3.50) |
||||
где kij или k, m (t) и q>a(t) или cp(t) определяют механи ческие свойства материала, когда аргументы взяты в аддитивной форме, как это описано в § 3.2. Начальные условия имеют вид
0 (f) = U i ( t ) = O i j ( t ) = 0 при t < 0, |
(3.51) |
а граничные условия берутся в форме
n , = |
S t ( x t, t ) |
на |
B0, |
t > 0 , |
|
Ut = |
А( (X;, t) |
на ß„, |
t > o, |
|
|
Ѳ= |
л |
на ßlf |
0 |
(3.52) |
|
Ѳ (xlt f) |
|||||
■ rij — |
0 |
на |
ß2, t |
0, |
|
где ß] — часть поверхности, на которой задана темпера тура, В 2 — другая часть поверхности, которая считается полностью теплоизолированной. Легко сформулировать и более общие граничные условия теплопередачи. Един ственность решения краевых задач, определяемых соот> ношениями (3.45) — (3.52), будет установлена в § 5.1.
Полезно исследовать вышеприведенные уравнения, после того как к ним применено преобразование Лапласа. В общем анизотропном случае они будут иметь вид
§ 3.4. Формулирование краевых задач термовязкоупругости 129
Стгj',j ~Ь Fi |
— |
О, рS2u, |
|
|
(3.53) |
||||
Ë t j |
= |
2 ( |
, j |
“I- Wj , i ) |
! |
|
|
(3.54) |
|
O ij |
— |
s G i j k i S k i |
S(J)ij0, |
|
|
(3.55) |
|||
|
0,ii ~ |
S^fTlQ — |
S^C pijE ij, |
|
(3.56) |
||||
|
|
|
|
T = |
л |
na |
5 lt |
(3-57) |
|
|
|
|
|
Ѳ |
|||||
|
|
|
k.. Ѳ . n. = |
0 |
на |
Ä |
|
||
|
|
|
и |
,i |
1 |
|
|
2 ’ |
|
где s — переменная преобразования. Краевая задача, оп ределяемая уравнениями (3.53) — (3.57), может быть ре шена, и в результате будут получены зависимости пере менных от координат таким же способом, как при реше нии связанных задач термоупругости. После выполнения этого шага путем обращения полученного преобразова ния находится полное решение. Эта процедура в точно сти совпадает с той, которая сформулирована в гл. 2 для изотермических задач. Действительно, оказывается, что термоупругие решения можно превратить в преобразо вания термовязкоупругих решений, заменив механиче ские характеристики умноженными на s преобразования ми вязкоупругих функций релаксации. Кроме того, процедура обращения решений, полученных таким спосо бом, тождественна той, которая сформулирована для изотермических задач; в частности, можно сослаться на решения краевых задач, полученные в гл. 2. Подобные же результаты можно получить и для случая, когда ис пользуется преобразование Фурье.
В задачах, для которых можно пренебречь связую щим членом, содержащим е ц в уравнениях (3.49) или (3.50), описывающих теплопередачу, задачи о механиче ском и тепловом поведении тел разделяются. После по лучения распределения температуры решением уравне ния теплопроводности или экспериментальным путем задача о механическом поведении тела определяется соот ношениями (3.45) — (3.48) и (3.51) — (3.52). При решении этих задач также оказываются полезными методы инте гральных преобразований.
9—851
130 |
Гл. 3. Термовязкоупругость |
Если для всех переменных поля принято стационар ное гармоническое изменение состояния, то определяю щие соотношения термовязкоупругости можно за писать через комплексные функции частоты в точности тем же способом, как это было сделано в изотермиче ском случае в гл. 2. В задачах такого типа зависимость от времени задана и смысл решений состоит в том, что бы найти зависимость от координат, как это имеет место
ив аналогичных задачах термоупругостн.
Впроведенном обсуждении мы ограничивались зада
чами квазистатического типа. Рассмотрим теперь задачи, в которых учитываются инерционные члены. Такие об щие задачи о динамическом поведении значительно сложнее задач квазистатического типа. Если к ним и применимы методы интегральных преобразований, то по лучающиеся обращения так же, как и в изотермическом случае, содержат точки ветвления. Лишь в задачах со стационарным гармоническим изменением переменных во времени включение инерционных членов не вызывает чрезмерных усложнений по сравнению с квазистатичес кими задачами. Пример такого типа будет дан в § 4.3, где рассматривается связанная задача о распростране нии термовязкоупругих волн.
§ 3.5. Зависимость механических свойств от темпера туры
При построении теории термовязкоупругости в § 3.1 предполагалось, что механические свойства зависят от фиксированной исходной температуры Т0, но любыми за висимостями от инфинитезимальных изменений темпера туры по отношению к исходной температуре Т0 мы пре небрегали. В данном параграфе мы рассмотрим некото рые характерные особенности зависимости механических свойств от температуры. Эта информация используется непосредственно для того, чтобы получить зависимость механических свойств материала от исходной темпера туры Т0 для применения в теории, развитой в § 3.1. В сле дующем параграфемы рассмотрим необходимые модифи кации, которые необходимо провести в теории термовяз коупругости для учета зависимости механических свойств
§ 3.5. Зависимость механических свойств от температуры |
131 |
ют температуры при непрерывном изменении температуры.
Некоторые механические свойства типичных полимер- ■ ных материалов характеризуются сильной зависимостью от температуры.
Такая зависимость от температуры действительной части комплексного модуля схематически изображена на рис. 3.1. (Символ G в этом параграфе используется
Р и с . 3.1. Зависимость комплексного модуля от температуры.
По оси абсц исс: log (о; по оси ординат: Io g G "((o ).
.для обозначения любой вязкоупругой характеристики.)
.Для функций релаксации схематические кривые, изо бражающие подобные зависимости, представлены на рис. 3.2. Напомним, что Т — абсолютная температура.
Существует общепринятая терминология, связанная с характерными графиками, представленными на рис. 3.1 :и 3.2. Диапазон высоких частот или коротких времен на зывается областью стекловидных состояний. Аналогично диапазон низких частот или длительных времен называ ются областью резиноподобных состояний. Данные, ана логичные приведенным на рис. 3.1 и 3.2, часто приводят ся в других координатах и представляют модуль как функцию температуры при некотором фиксированном значении времени или частоты. Варианты таких графиков представлены на рис. 3.3 и 3.4. Применительно к этим графикам -области высоких и низких температур снова
9*
132 |
Гл. 3. Термовязкоупругость |
можно назвать областями соответственно резиноподоб ных и стекловидных состояний.
Желательно иметь способ, который позволил бы для каждого материала провести различие между темпера турами, при которых наблюдается низкомодульное рези-
Р и с. 3.2. Зависимость функций релаксации от температуры.
По оси абсц исс: log t \ по оси ординат; lo g G H ).
ноподобное поведение, и температурами, при которых наблюдается высокомодульное стекловидное поведение. Область, в которой модуль резче всего меняется при из менении температуры, как это показано на рис. 3.3 и 3.4, т. е. в которой график зависимости имеет наибольший наклон, называется переходной областью. Соответствую щая температура, или точнее узкий интервал темпера тур, называется температурой стеклования Tg. Следует
отметить, что температура стеклования непременно за-
л
висит от времени измерения t функции релаксации, или
А
иначе от частоты и, при которой измеряется комплекс ный модуль.
Понятие о температуре стеклования имеет широкий смысл и полезно для многих приложений, при которых вязкоупругие материалы работают при меняющихся тем
§ 3.5. Зависимость механических свойств от температуры |
133 |
пературных условиях. В связи с этим далее будут рас смотрены два способа определения Tg.
Несколько более содержательный с физической точ ки зрения, чем указанный выше, способ определения Тн
Р и с . 3.3. Комплексный модуль как функция температуры.
Л
По оси абсц исс: 71; по оси ординат: logG '(C ö).
Ри с . 3.4. Функция релаксации как функция температуры,
Л
По оси абсц исс: Т ; по оси ординат: l o g G ( f ) ,
134 |
Гл. 3. Термовязкоупругость |
состоит в следующем. Если свободный от напряжений образец материала подвергнуть действию однородного изменяющегося во времени поля температуры, то изме нение объема ДЕ, начиная с некоторого начального объ ема, характеризуется графиком, изображенным на рис. 3.5. Температура, при которой наклон кривой имеет
Р и с . 3.5. Изменение объема как функция температуры.
разрыв, называемый, следуя химической терминологии,
переходом первого порядка, определяется как темпера тура стеклования Тй.
Поведение материала, представленное на рис. 3.5, по зволяет дать простую молекулярную интерпретацию су ществования стекловидных и резиноподобных областей вязкоупругого поведения. При высоких температурах объемное расширение придает отдельным молекулам большую подвижность с относительно небольшими огра ничениями, что проявляется макроскопически в виде ма лого значения модуля упругости. В то же время при низких температурах в силу уменьшения объема на дви жение молекул накладываются значительные ограниче ния; вследствие этого модуль упругости принимает боль шое значение и материал становится сравнительно жест
§ 3.5. Зависимость механических свойств от температуры 135
ким. Разрыв зависимости АР от Т при Тё свидетель ствует о том, что переход из резиноподобного со стояния в стекловидное происходит обычно довольно резко.
Трудность, с которой мы сталкиваемся при таком оп ределении Tg, основанном на изменениях объема, состо ит в том, что измерения при этом зависят также от вре мени. После изменения температуры образца, которая в последующем остается постоянной, мы обнаруживаем, что изменение объема происходит непрерывно и напоми нает по виду функцию ползучести. Такое зависящее от времени поведение подтверждается экспериментальными данными Ковача [3.11]. Кроме того, следует ожидать такого зависящего от времени поведения АѴ и на осно вании проведенного в § 3.2 обсуждения смысла коэффи циента теплового расширения для вязкоупругих мате риалов.
В заключение укажем способ определения Tg, осно ванный на использовании тангенса потерь комплексного модуля, т.е. безразмерного отношения G"(u))/G'(со) мни
мой и действительной частей G(co). |
Хотя функция |
G"(со)/G'(со) в зависимости от со и от log |
ю может иметь |
больше одного максимума, обычно локальный максимум наблюдается примерно при той же частоте, при которой действительная часть комплексного модуля меняется резче всего при изменении частоты.
Рассмотрим теперь данные о механических свойствах, представленные в трех измерениях, как показано на рис. 3.6. Здесь имеется одна пространственная кривая, которая соединяет относительные максимумы функции G" (и) /G' (ю) от log со. Проекция этой кривой на плос кость (Г, log со) определяет кривую, которую можно при нять за график зависимости температуры стеклования от частоты
Tg = f( со).
Зависимость такого типа дает простой способ устано вить, как ведет себя вязкоупругий материал при задан ной частоте или заданной преобладающей частоте воз буждения — как резиноподобный или стекловидный.
Рассмотрим теперь частный вид зависимости механи ческих свойств от температуры.
136 |
Гл. 3. Термовязкоупругость |
§ 3.6. Термореологически простые материалы
Состояния с постоянной температурой
Имеется частный вид зависимости механических свойств от температуры, который доступен аналитическо му описанию и применяется для широкого класса так на зываемых термореологически простых материалов. Соот ветствующее описание зависимости механических свойств от температуры впервые предложили Лидерман [3.12] и Ферри [3.7]. Первое приложение этого описания меха нических свойств дали Шварцль и Штаверман [3.18].
Дадим математическое описание зависимости механи ческих свойств этого класса материалов от температуры в случае состояний с постоянной температурой. Обозна чим изотропную функцию релаксации и функцию ползу чести при исходной температуре Т = Т о через