книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости
.pdf§ 1.3. Следствия из гипотезы о затухающей памяти |
27 |
ду конфигурацией отсчета, используемой здесь, и фикси рованной конфигурацией отсчета, используемой в ин финитезимальной теории. В данном случае конфигура цией отсчета является текущая конфигурация X i ( t ) , тогда как в инфинитезимальной теории конфигурация отсчета, определяемая координатами Хі, фиксирована и для любого тела обычно отождествляется с недефор мированной конфигурацией. В общем случае неинфини
тезимальных деформаций |
скорость изменения |
тензора |
||
d a, определяемая формулой (1.27), |
и скорость |
измене |
||
ния тензора инфинитезимальных деформаций |
|
|||
; , ) = |
i J L f i ü £ . + |
iüL\ |
|
|
11 |
2 dt |
'dX j |
дХ { J |
|
совершенно различны; однако можно показать, что они совпадают в частном случае течения простого сдвига. Это состояние течения определяется условиями
x1(t) = vX2th(t) + Xъ х2 (і) = Х2, x3(t) = X 3. (1.28)
Чтобы описать состояние течения простого сдвига при помощи перемещений, требуется соотношение
Щ(/) = X; (0 — Хіг
которое определяет компоненты перемещения через ко ординаты. Тогда состояние течения можно эквивалент ным образом определить с помощью зависимостей
«1 (t) — vX2 th (t), u2 |
(t) — u3 (t) — 0. |
(1.29) |
С помощью этих зависимостей |
и соотношений |
(1.28) те |
перь можно показать, что ец и d a тождественно совпа дают. Таким образом, состояние течения простого сдвига можно использовать для определения эквивалентного ко эффициента вязкости вязкоупругой жидкости, выражен ного через ее функцию релаксации.
Подстановка в формулу (1.10) выражений (1.29) для перемещений дает
28 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
о |
* |
(1.30) |
sia (t) = (о/2) j |
G, (< — т) du. |
о
Подстановка же выражений (1.28) для деформаций в за висимости (1.27) для ньютоновской вязкой жидкости приводит к равенству
S12 = Л |
(1 -Зі) |
Стационарное напряженное состояние достигается вяз коупругой жидкостью при больших значениях времени. Таким образом, приравнивая выражения (1.30) и (1.31) при больших значениях времени, получаем
оо |
|
Л = Ѵ2 \G As)ds. |
(1.32) |
о |
|
Отсюда следует, что, если вязкоупругая жидкость в со стоянии течения простого сдвига подвергается только деформациям со стационарными скоростями, она будет вести себя в точности как ньютоновская вязкая жид кость с определяемым формулой (1.32) коэффициентом вязкости (мы предполагаем, что соответствующий инте грал существует). Действительно, использование коэффи циента вязкости, определяемого формулой (1.32), влечет за собой не только стационарную скорость деформации в вязкоупругой жидкости, но также исчезающе малую скорость деформации. Это необходимо для того, чтобы соотношение (1.30), которое основывается на инфините зимальной теории, было справедливо при больших зна чениях времени, как это и следует из (1.32). Вязкость, определяемая зависимостью (1.32), называется вязк о стью при нулевой скорости сдвига. За этим нестрогим исследованием характеристик течения вязкоупругих жидкостей в стационарных условиях последует изучение общей нелинейной вязкоупругой жидкости (см. гл. 6).
Для вязкоупругой жидкости функция ползучести при сдвиге имеет вид
=— 2і\),
где функция Ji(t) при больших значениях времени
§ 1.3. Следствия из гипотезы о затухающей памяти |
29 |
асимптотически стремится к конечному положительному значению, а г] — вязкость при нулевой скорости сдвига, определяемая формулой (1.32). Вывод этой формулы предлагается читателю в качестве упражнения.
Для полимерных материалов, если их рассматривать в молекулярном масштабе, различие между твердыми телами и жидкостями является очень простым. В случае жидкости отдельные длинные цепи молекул совершенно не связаны и за длительные промежутки времени обла
дают неограниченной |
подвижностью по отношению |
друг к Другу. В то же |
время в твердых телах между |
смежными молекулами имеются дискретные химические связи, которые называются поперечными связями и ко торые препятствуют неограниченному течению. Однако' в случае материала с очень слабыми поперечными свя зями различие между твердым телом и жидкостью мо жет быть почти незаметным, если рассматривать его> с точки зрения методов и приемов, используемых инфи нитезимальной теорией.
Теперь у нас есть средства для установления разли чия между вязкоупругими телами и жидкостями. В по следующих приложениях будут рассматриваться оба ти па материалов. Однако необходимо помнить, что когда применяются зависимости между напряжениями и де формациями типа, который рассматривается в этой гла ве, независимо от того, идет ли речь о твердых телах или о жидкостях, не должны нарушаться предположе ния об инфинитезимальности деформаций по отношению к фиксированной конфигурации отсчета. В этом смысле различие между твердыми телами и жидкостями в усло виях инфинитезимальных деформаций для приложений не осложняется различиями в методах решения задач; это различие более важно для установления самой воз можности применения данной теории к частным типам задач. Таким образом, поскольку линейная теория не может использоваться для решения общих задач тече ния (при неинфинитезимальных деформациях) для вяз коупругих жидкостей, в случае жидкостей она наиболее полезна для вывода соответствующих форм определя ющих соотношений, которые в широких пределах опре делены и интерпретированы экспериментально.
30 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
§ 1.4. Дифференциально-операторная форма определяющих соотношений между напряжениями и деформациями
Интегральная форма соотношений между напряже ниями и деформациями для ползучести и релаксации отнюдь не является единственно возможной. Ниже бу дут даны две другие формы; первая из них, использую щая дифференциальные операторы, приводится здесь, а вторая будет дана в § 1.6.
Применительно к изотропным материалам рассмот рим следующую дифференциально-операторную форму зависимости между девиаторными компонентами напря жений и деформаций:
|
d2S{j (t) ___ |
|
|
|
||
Рейц® + |
dt + ра |
dt2 |
|
|
|
|
|
<7оС/ (t) + |
<7i |
den (0 |
q t* y J ä + |
, |
(1.33) |
|
dt |
42 dt2 |
|
|||
В более компактной форме эту зависимость можно за писать так:
P (D )si l (t) = |
Q(D)eil(t), |
(1.34) |
где |
|
|
P ( D ) ~ ' £ p kDk, |
Q (D )= % q kDk- |
(1.35) |
fc= 0 |
fe= 0 |
|
здесь D означает оператор d/dt. Соотношение (1.34) яв ляется, очевидно возможным соотношением между на пряжениями и деформациями, однако пока не ясно, име ет ли оно какое-либо значение для вязкоупругости. Чтобы изучить эту возможность, полезно посмотреть, можно ли установить какую-либо связь между (1.34) и (1.10). Для этого применим к (1.34) преобразование Лапласа, используя зависимость для преобразования производных. Тогда (1.34) примет вид
Р (s) Su (s) — (1 's) £ |
Pk 2 sr s(t r) (0) = |
k~l |
r=-=l |
§ 1.4. Операторная форма определяющих соотношений |
31 |
|||
|
N |
к |
|
|
= |
Q (s)7tl (s) - (1/s) 2 |
E / |
е? Г г) (0), |
(1.36) |
p |
(s) = E Pu (Sf, |
Q(S) = |
EЯи (s)*. |
(1.37) |
|
ft= 0 |
|
ft= 0 |
|
а запись s)*_r)(0) означает, что производная ( k - r ) - r o по
рядка от Sij(t) определяется при ^ = 0 ; подобное согла шение имеет место и для ец (і). Преобразование Лапласа от (1.10) дается первым уравнением (1.17). Оно эквива лентно (1.36), если
|
sGl = Q(s)/P(s) |
(1.38) |
и |
|
|
Е Pr s \ l - * H 0 ) = £ q re\rj^ )(ß ), |
(1.39) |
|
г=к |
г—к |
|
Уравнение (1.39) представляет собой требование, нала гаемое на начальные условия; таким образом, началь ные условия для напряжений и деформаций не являются полностью независимыми: должны удовлетворяться за висимости вида (1.39).
Соотношение (1.38) дает условия, при которых фор ма интеграла релаксации и дифференциально-оператор ная форма девиаторного соотношения между напряже ниями и деформациями эквивалентны. Совершенно аналогичным образом независимую часть изотропных соотношений между напряжениями и деформациями, от
носящуюся к объемной деформации, |
можно записать |
в дифференциально-операторной форме |
и можно уста |
новить эквивалентность этой формы и формы интеграла релаксации. Это влечет за собой Соотношение типа
L{D)akk(t) = M(P)Bkk(t),
где L(D ) и M (D) — операторы, подобные операторам (1.35), но с независимыми коэффициентами.
32Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
§1.5. Характеристики релаксации и ползучести. Механические модели
Для иллюстрации зависимостей, порождаемых соот
ношениями типа |
(1.38), приведем два |
примера. Для |
||
простоты будем |
рассматривать |
только |
функции |
G i(0 |
и J\(t), хотя те же результаты |
можно |
получить |
и для |
|
0 2(t) и / г ( 0 •
Рассмотрим состояние простого сдвига с ненулевыми напряжениями <ті2 и деформациями г\2. Примем, что деформация выражается через единичную ступенчатую функцию вида
8и (/) = еоА(0. |
(1 -40) |
где ео — амплитуда. Зависимость в виде интеграла ре лаксации (1.10) при условии (1.40) принимает форму
M 0 = Gi(0 ео-
Таким образом, действующее напряжение здесь пря мо связано с функцией релаксации.
Р и с . 1.1. Функция релаксации.
Только что описанная процедура дает способ опре деления функции релаксации. Типичные функции ре лаксации имеют вид убывающих функций времени, как
§ 1.5. Характеристики реакции и ползучести |
33 |
показано на рис. 1.1. Эти результаты показывают также, что тангенс угла наклона d G i(t)ld t со временем умень шается, что также согласуется с гипотезой о затухающей памяти (см. § 1.3). Функции релаксации, определенные из экспериментов, обсуждаются в гл. 7. Сейчас отметим только, что простейшая функция релаксации, соответст вующая затухающей памяти, представляет собой убы вающую экспоненциальную функцию
Gx{t) = G0e - tluh(t), |
(1.41) |
где Go — амплитуда, a t\— положительная временная константа, определяющая скорость убывания функции (параметр t\ называется временем релаксации). Исполь зуя преобразование Лапласа для (1.41), подставляя результат в (1.38) и учитывая (1.37), в результате по лучаем
N
Е qk (s)k
О* k=0______ (1.42) s ~Ь 1Кі
S pk (s)*+1 k=0
При /V— 1 уравнение (1.42) удовлетворяется, если
Po = 1 А> Pi = 1. <7о = 0, ft = G0. |
(1.43) |
Соответствующее дифференциально-операторное соотно шение между напряжением и деформацией, согласно (1.34), записывается так:
— а„ (t) + |
d-^ M L = G0 |
. |
(1.44) |
ti |
dt |
dt |
|
Очень простую физическую интерпретацию зависи мости (1.44) можно дать при помощи механической мо дели, состоящей из'пружин и демпферов. Действительно, модель, представленная на рис. 1.2 и характеризующая ся коэффициентом упругости пружины и коэффициентом вязкого сопротивления, в точности описывается зависи мостью (1.44). Функция релаксации вида (1.41) также может быть представлена с помощью такой механиче ской модели, которую обычно называют моделью Мак свелла.
3—851
34 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
|
Легко видеть, что функ |
|||
|
цию релаксации, являющу |
|||
|
юся суммой константы и ря |
|||
|
да убывающих экспоненци |
|||
|
альных членов, можно пред |
|||
■ 00h |
ставить с помощью механи |
|||
|
ческой модели, которая изо |
|||
|
бражена на рис. 1.3 и ко |
|||
|
торая |
объединяет установ |
||
|
ленные параллельные |
эле |
||
|
менты типа, показанного на |
|||
|
рис. 1.2. Такая модель назы |
|||
|
вается обобщенной моделью |
|||
|
М аксвелла. |
|
|
|
|
В качестве второго при |
|||
|
мера |
снова рассмотрим |
со |
|
Рис. 1.2. Модель Мак- |
стояние простого сдвига, но |
|||
теперь уже будем считать, |
||||
свелла. |
что напряжение |
выражено |
||
тую функцию вида |
через |
единичную |
ступенча- |
|
|
|
(1.45) |
||
0Т2 (0 = |
(0. |
|||
где <7о — амплитуда. Интегральное соотношение ползуче сти (1.14) в соответствии с (1.45) принимает вид
е„(0 = Л (*И - |
(1-46) |
Результирующая деформация при этом непосредственно определяет соответствующую функцию ползучести, что дает экспериментальный метод нахождения функций ползучести. Типичные функции ползучести представля ют собой функции, которые возрастают со временем, но имеют убывающий наклон, причем в зависимости от то го, является материал твердым телом или жидкостью с ростом t, асимптота может существовать или отсутст вовать.
Типичная функция ползучести представлена на рис. 1.4. Одна из простейших функций ползучести тако го вида определяется формулой
J 1(i) = |
J 0 { l - e ^ |
/t')h (f), |
, |
(1.47) |
где / о — амплитуда, t\ |
— положительная временная |
кон |
||
станта, определяющая |
скорость |
убывания |
первой |
про- |
$ 1.5. Характеристики реакции и ползучести |
35 |
изводной от Используя преобразование Лапласа уравнения (1.47) и подставляя результат в (1.18), в со ответствии с (1.38) получаем следующую зависимость:
|
|
N |
|
1-HlS |
|
2 Qk (S)k |
|
k=0 |
(1.48) |
||
J О |
|
N |
|
|
|
||
|
|
S Pk (s)k |
|
|
fe=0 |
|
|
При N = \ уравнение (1.48) |
удовлетворяется, |
если |
|
Po = Jo, Pi ~ |
0, |
q0 = 1, qi = U. |
(1.49) |
36 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
Дифференциально-операторное соотношение между на пряжениями и деформациями (1.34), соответствующее (1.49), имеет в этом случае вид
Л,*712 (0 = бі2 (t) -b г1! (de12 (t)/dt). |
(1.50) |
Механическая модель, соответствующая зависимости
Р и с . 1.6. Обобщённая модель Кельвина.
(1.50), называется моделью Кельвина, или моделью Фойхта, и представлена на рис. 1.5. Функции ползучести, которые являются суммой членов, содержащих констан ту минус убывающие экспоненциальные члены, можно интерпретировать с помощью механической модели, со четающей в себе элементы типа, изображенного на рис. 1.5. Когда эти элементы соединены между собой по следовательно, как показано на рис. 1.6, такая модель называется обобщенной моделью Кельвина.