книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

ное для какого-либо допустимого поля напряжений.

Доказательство этой теоремы аналогично способу рассуждений, который использован при доказательстве предыдущей теоремы.

Что касается применения минимальных теорем, то Кристенсен [5.3] использовал их, чтобы получить оцен­ ки эффективных комплексных модулей для двух частных типов композитных вязкоупругих материалов. В некото­ рых случаях, когда невозможно получить точные реше­ ния для эффективных комплексных модулей композит­ ных вязкоупругих материалов, эти минимальные теоре­ мы могут использоваться для оценок действительных и мнимых частей этих модулей путем использования до­ пустимых полей перемещений и напряжений. В работе [5.3] рассмотрены два частных типа композитных мате­ риалов, состоящих из однородного материала, содержа­ щего пустоты или абсолютно жесткие включения; мате­ риалы обоих этих типов могут быть квалифицированы двояко — и как однородный материал, и как композит­ ный материал. Тем самым разрешается кажущееся про­ тиворечие в отношении применимости минимальных тео­ рем для однородных материалов к композитной среде.

Задачи

5.1. Теорему единственности для изотермической анизотропной динамической линейной теории вязкоупругости можно установить без требования существования преобразования Лапласа, выдвинутого в § 5.1. Эта теорема единственности, использующая метод Вольтерра, приведена в работе [5.5]. Проведите полное доказательство этой теоремы, следуя доказательству, данному в [5.5].

5.2. Используя теорему взаимности, приведенную в § 5.3, найди­ те общую объемную деформацию вязкоупругого тела под действием поверхностных и массовых сил. (Получающаяся в результате форму-

ла содержит только поверхностные и массовые силы и объемную функцию ползучести.)

5.3. Используя свертку Стильтьеса, выведите вариационные тео­ ремы теории вязкоупругости, соответствующие теоремам теории упру­ гости о стационарности потенциальной и дополнительной энергии.

5.4. Проведите полные доказательства третьей и четвертой ми­ нимальных теорем, сформулированных в § 5.5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

5.1.Biot М. A., Linear Thermodynamics and the Mechanics of Solids, Proc. 3rd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech., 1, 1958.

5.2.Christensen R. M., Variational and Minimum Theorems for the

Linear Theory of Viscoelasticity, Z. Angew. Math. Phys., 19,

233 (1968).

5.3.Christensen R. M., Viscoelastic Properties of Heterogeneous Me­ dia, 1. Mech. Phys. Solids, 17, 23 (1969).

5.4.Doetsch G., Handbuch der Laplace-Transformation, Band 1, S. 74, Bazel, 1950.

5.5.Edelstein W. S., Gurtin M. E., Uniqueness Theorems in the Li­ near Dynamic Theory of Anisotropic Viscoelastic Solids, Arch. Ration. Mech. Anal., 17, 47 (1964).

5.6.Graham G. A. C., The Contact Problem in the Linear Theory of Viscoelasticity, Int. J. Eng. Sei., 3, 27 (1965).

5.7.Gurtin M. E., Variational Principles in the Linear Theory of Vis­ coelasticity, Arch. Rat. Mech. Anal., 13, 179 (1963).

5.8.Gurtin M. E., Sternberg E., On the Linear Theory of Viscoelasti­ city, Arch. Rat. Mech. Anal., 11, 343 (1962).

in «Progress in Applied Mechanics» (Drucker D. C., ed), The Pra­ ger Anniversary Volume, p. 349, New York, 1963.

5.11.Schapery R. A., On the Time Dependence of Viscoelastic Varia­ tional Solutions, Quart. Appl. Math., 22, 207 (1964).

5.12.Sokolnikoff 1. S., Mathematical Theory of Elasticity, 2nd ed., New York, 1956.

5.13. Sternberg E., On the Analysis of Thermal Stresses in Viscoelas­ tic Solids, Proc. 3rd Symp. Nav. Struct. Mech., p. 348, New York, 1964.

5.14.Sternberg E., Gurtin M. E., Uniqueness in the Theory of Thermorheologically Simple Ablating Viscoelastic Solids, in «Progress in Applied Mechanics» (Drucker D. C., ed.), The Prager Anniver­ sary Volume, p. 373, New York, 1963.

Глава 6

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

Нелинейная теория вязкоупругости имеет много об­ щего с линейной теорией; главное, что объединяет обе теории, — это гипотеза о памяти. В отношении связи между напряжением и деформацией это просто означа­ ет, что текущее значение напряжения определяется не только текущим значением деформации, но и всей истори­ ей деформации. Гипотеза о том, что материал сохраняет память о прошедших событиях, является отправной точкой для развития линейной теории и в той же мере — для тео­ рии нелинейной. Следует ожидать, что способы решения задач в нелинейной теории будут более сложными, по­ скольку здесь уже неприменимы теоремы и методы, раз­ витые для линейных функционалов. Однако конечные результаты оправдывают эти промежуточные усложне­ ния, поскольку развиваемая полная нелинейная теория, не связанная ограничением инфинитезимальное™ де­ формаций, все же может быть использована при реше­ нии по крайней мере некоторых простых краевых задач. Здесь будут приведены два примера^ которые иллюстри­ руют полезность и общность этой нелинейной теории.

Стимулом для развития и исследования общей нели­ нейной теории вязкоупругости является для нас то, что при практических приложениях вязкоупругих материа­ лов они часто находятся в условиях, несовместимых с допущениями линейной теории. Для многих материалов диапазон деформаций, в котором справедлив принцип суперпозиции, а следовательно, и допущение о линей­ ности, оказывается весьма ограниченным и очевидна необходимость в более общей теории. Изложение нели­ нейной теории, несомненно, может занять намного боль-

240 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости

ше места, чем одна глава в книге по теории вязкоупру­ гости, однако здесь будут даны лишь краткие основы данного предмета. Кроме того, мы рассмотрим лишь один частный тип нелинейной теории вязкоупругости, хотя будут упомянуты и несколько других типов теории как в этой главе, так и в § 7.6, посвященном определе­ нию механических свойств. При этом, однако, не делает­ ся попытки дать сколько-нибудь полный обзор таких теорий.

Обращаясь к нелинейной механике сплошной среды, необходимо использовать полностью нелинейный под­ ход к кинематическим аспектам проблемы. В соответст­ вии с этим применяемые нами частные меры деформа­ ции должны иметь требуемые координатно-инвариант­ ные характеристики. Или, говоря более общими словами» необходимо, чтобы все математические описания физи­ ческих величин и событий, используемые здесь, были независимы от системы отсчета, к которой они относят­ ся. Это требование иногда называют принципом объек­ тивности или принципом независимости материала от координат; он подробно рассмотрен Трусделлом и Нол­ лом [6.21]. Все излагаемые здесь результаты удовлетво­ ряют этому требованию.

Используемая нами формулировка теории основана на развитой Колеманом [6.5, 6.6] общей термодинамиче­ ской теории нелинейной вязкоупругости. Работа Коле­ мана представляет собой частный случай теории про­ стых материалов Нолла [6.18] применительно к мате­ риалам с затухающей памятью. Некоторые детали, излагаемые ниже, заимствованы из работ [6.4] и [6.15], которые в свою очередь основываются на работе Коле­ мана. Подход Колемана не ограничивается изотермиче­ скими условиями, но для простоты изложения в даль­ нейшем мы рассмотрим лишь изотермический случай. Кроме того, мы построим отдельные теории для нелиней­ ных вязкоупругих твердых тел и жидкостей. Наконец, следуёт упомянуть, что Трусделл и Нолл [6.21] дали общий подход к нелинейной механике сплошной среды, рассмотрев в качестве частных случаев твердые тела и жидкости.

242 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости

по отношению к переносу по времени. Отметим для при­ мера, что материалы, которые обладают пределом теку­ чести, или критерием текучести, из этого последнего класса автоматически исключаются. Такие материалы со свойством текучести обладают, помимо прочего, той особенностью, что природа, или тип, функционала, вхо­ дящего в функциональные соотношения, меняется в за­ висимости от того, удовлетворяется ли критерий теку­ чести и, следовательно, меняется со временем.

Другим примером являются частично кристалличе­ ские полимерные материалы в условиях достаточно больших деформаций и скоростей деформаций. При этих условиях в таких материалах меняется уровень и приро­ да кристалличности, и тогда одного функционального определяющего соотношения типа (6.1) опять-таки не­ достаточно, чтобы охарактеризовать поведение этих ма­ териалов при упомянутых условиях. В данном случае наши интересы ограничиваются простыми материалами упомянутого частного типа, и, когда мы наложим на определяющие соотношения для простого материала требование о затухающей памяти, мы придем к теории вязкоупругих материалов.

Нолл [6.18] развил теорию простых материалов и по­ лучил частные формы определяющего соотношения для напряжения (6.1), удовлетворяющие принципу объек­ тивности. Одну из таких возможных форм мы вкратце опишем и далее (в этом и двух следующих параграфах) применим ее к твердым телам, отождествляя конфигура­ цию отсчета с начальной недеформированной конфигу­ рацией.

Поскольку градиент деформации не удовлетворяет принципу объективности, начнем с выбора объективной меры деформации, приняв ее в виде

где бkl — обычный символ Кронекера. Градиент дефор­ мации Хи,к, используемый в (6.2), получается непосред­ ственным дифференцированием, если известны Хи {Хк, т ). Как видно из (6.2), в индексах строчные буквы исполь­ зуются для компонент тензора, отнесенных к коорди­ натам в деформированной конфигурации, а заглавные

Чтобы подставить в (6.3) выражение (6.6) для на­ копленной энергии, нужно найти его производную по времени. Но выполнить это не так просто, как это сдела­ но в § 3.1 для линейной теории, поскольку (6.6) являет­ ся не частным представлением, а всего лишь формализ­ мом. Чтобы получить производную по времени от А в (6.6) в обобщенном смысле, удобнее всего действовать следующим путем. Предположим, что функции Е к ь (х), которые считаются зависящими от Хк, определяют исто­ рию деформации. Определим норму на совокупности историй формулой

Совокупность историй с конечной нормой образует гиль­

бертово пространство.

э

Допустим, что функционал накопленной энергии ф( )

s — 0

является дифференцируемым по Фреше в этом гильбер­ товом пространстве, соответствующем h (s). Тогда

оо

Д ’о [E k l V — s ) + Ь Е к ь (* — s )> E k l ( 0 ) =

.5 = 0

линейный относительно бEKL(t—s) и непрерывный по всем аргументам. Соотношение (6.9) представляет собой разложение функционала истории ЕКь (t—s) + бЕКь (і—s) в окрестности функционала истории E KL(t—s). Это раз­ ложение того же типа, который использовался в вариа­