книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

Можно сформулировать вариационную теорему, ко­ торая связана с первой из приведенных здесь теорем, но в которой используется упрощенный функционал

f [Vaö,,*! * de,j * dekl — F, * du,] d v — f (5,- * du,) da,

только перемещения при условии, что для них будут удовлетворяться граничные условия (5.51). Такая вариа­ ционная теорема является обобщением на теорию вяз­ коупругости теоремы теории упругости о стационар­ ности потенциальной энергии. Подобным же образом можно сформулировать вариационную теорему, которая связана со второй приведенной здесь теоремой, но в ко­ торой используется упрощенный функционал

+ Va f (Juki * d°ij * doki)dv — j' (ot * dA,) da.

В этом случае варьируются одни только напряжения при условии, что удовлетворяются уравнения равнове­ сия (5.49) и граничные условия для напряжений (5.50). Этот тип вариационной теоремы является обобщением на теорию вязкоупругости теоремы теории упругости о стационарности дополнительной энергии. Такие ограни­ ченные вариационные теоремы были доказаны в работе

[5.7].

Только что доказанные первая и вторая вариацион­ ные теоремы дают строгий способ обобщения на теорию вязкоупругости приближенных методов теории упруго­ сти, которые основываются на вариационных теоремах. Так, например, теория упругих пластинок Рейсснера имеет вязкоупругий аналог, который выводится тем же способом, что и в упругом случае, но с использованием приведенной здесь второй вариационной теоремы.

В действительности такое использование вариацион­ ных теорем встречается редко, поскольку для получения приближенной вязкоупругой теории из соответствующей приближенной упругой теории обычно проще непосред­ ственно применить методы интегральных преобразова­ ний. Иначе говоря, вариационные теоремы теории упру-

Эти результаты можно теперь сформулировать в ви­ де третьей вариационной теоремы.

Для краевой задачи теории вязкоупругости, которая

допускает в решении разделение переменных, первая ва ­

риация 8F3 функционала F3, определяем ого зависимостя­ ми (5.69) — (5.71), обращается в нуль тогда и только

тогда, когда удовлетворяются уравнения поля и гранич­ ные условия (5.46), (5.49) — (5.51), (5.65) и (5.66). При этом допускается варьирование лишь зависящих от коор­ динат частей переменных поля.

Выведем теперь четвертый тин вариационной теоре­ мы, который так же, как и вторая теорема, соответствует вариационной теореме Хеллингера — Рейсснера теории упругости. В этом случае мы определим функционал F 4 так:

V0

+2 (dFt (х)/дх) щ (х) + р (dW (х)/дх) — Г (т)} dx dv +

и теории вязкоупругости в условиях разделения перемен­ ных подсказывает возможность существования при тех же условиях подобной связи между минимальными теоре­ мами теории упругости и теории вязкоупругости.

Такая возможность исследуется далее, и действитель­ но выясняется, что минимальные теоремы в теории вязко­ упругости установить можно. Однако, как мы увидим, эти минимальные теоремы теории вязкоупругости не яв­ ляются простыми обобщениями соответствующих тео­ рем теории упругости, как это имеет место для вариа­ ционных теорем.

§ 5.5. Минимальные теоремы

Только что рассмотренные вариационные теоремы устанавливают условия стационарности некоторых функционалов. При определенных ограничениях можно получить намного более сильные результаты и показать, что некоторые функционалы имеют не только стационар­ ное, но и минимальное значение.

Минимальные теоремы, которые будут теперь доказа­ ны, связаны с двумя последними вариационными теоре­ мами из предыдущего параграфа. Краевая задача тео­ рии вязкоупругости описывается теми же зависимостями, что и в предыдущем параграфе, а именно (5.46), (5.49) — (5.51) и (5.65) — (5.68). Как и в приведенных вариаци­ онных теоремах, предполагается, что напряжения, де­ формации и перемещения являются непрерывными и не­

и для случая упругого материала сводится к ней. Опре­ делим функционал Мі формулой