книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

Используя (2.16), можно связать абсолютные величины двух членов, входящих в соотношения (2.15), с помощью зависимости

Обозначим через константу А верхнюю границу s(t), так что

При этих обозначениях нам требуется доказать сле­ дующее неравенство:

Очевидно, неравенство (2.20) справедливо при т — 0; докажем методом индукции, что оно справедливо и для всех других целых положительных значений пг. Иначе говоря, предположим, что (2.20) справедливо при m = r, и докажем, что оно справедливо и при m= r-j-l. Для то­ го чтобы провести это доказательство, начнем с нера­ венства

jW r i\fnÜ)\ — irß \fnb)\?<to > 0 .

Вразвернутой форме оно принимает вид

Отсюда, учитывая зависимости (2.18) и (2.20) при m = = г, получаем

од(*;Д ) = o il(xi)F (t).

Прежде всего следует отметить, что для того, чтобы было возможно разделение переменных в общей форме (2.25), необходимо, чтобы вязкоупругий коэффициент Пуассона был действительной константой. Это можно видеть как из уравнений равновесия, так и из условий совместно­ сти. Например, подставляя щ (хі, t) из (2.25) в (2.10), пренебрегая инерционными членами и полагая /%==0, мы видим, что уравнения равновесия удовлетворяются при подстановке (2.25) только тогда, когда

где К — константа. Используя соотношения (1.84) и (1.85), легко видеть, что вышеприведенное равенство влечет за собой условие О

v(t) = ѵ = const.

Другое следствие из требования постоянства коэффици­ ента Пуассона состоит в том, что отношение функции ре­ лаксации при сдвиге и функции релаксации при измене­ нии объема должно быть константой, т. е.

С2 (O/Gi (0 = Sk (/)/(2u. (0) = (1 + v)/(l - 2v). (2.26)

Наконец, отсюда следует, что две изотропные функции ползучести /ДО и / 2(0 должны быть связаны зависи­ мостью

Существуют и другие необходимые условия, помимо по­ стоянства коэффициента Пуассона, которые должны соблюдаться, чтобы существовало решение с разделен­ ными переменными. Однако, прежде чем перейти к са-

9 Мы исключаем из рассмотрения предельный класс задач, для которого условие (2.25) применяется со специальным ограничением

ОО

Ui,ij = U k,h^con si, причем вязкоупругий коэффициент Пуассона остается произвольным. На это обстоятельство автору указал профес­ сор М. Кэррол.

мому общему случаю, полезно рассмотреть два частных случая.

Первая краевая задача

Допустим, что по всей границе действуют напряже­ ния, заданные в разделенной форме

и массовые силы подчиняются зависимости

Уравнения совместности (2.7) записываются в напряже­ ниях с использованием интегральных соотношений пол­ зучести (1.14) и (1.15), равенства (2.27) и уравнений равновесия (2.5). Процедура, в соответствии с которой это выполняется (см., например, [2.32] ’>), такова же, как и в теории упругости, и дает

t

Зависимости (2.31) и (2.32) являются просто уравнения­ ми совместности Бельтрами — Митчелла теории упруго­ сти. Предположим, что решение для напряжений имеет форму

где функция F(t) известна из граничных условий и за-

О

Дания массовых сил. Тогда решение для ОгД-хД получает-

См. также Лурье А. И., Теория упругости, изд-во «Наука», 1970. — Прим, перев.

в точности соответствует задаче теории упругости. Когда определены напряжения, решение для перемещений за­ дается в форме

где необходимо найти как щ (Хі), так и u(t). Деформа­ ции, которые отвечают условию (2.34), в этом случае вы­ ражаются как

Подставляя (2.33) и (2.35) в интегральные соотношения

Результаты, относящиеся к разделению переменных для приведенных здесь задач двух типов, заимствованы из работы [2.37]. Аналогичные результаты для несжима­ емых материалов были получены ранее в работе [2.1].

Смешанная краевая задача

Комбинируя результаты двух уже рассмотренных за­ дач, можно видеть, когда возможно разделение пере­ менных в задаче со смешанными граничными условия­ ми. В частности, перемещения и напряжения на грани­ це должны иметь форму, определяемую условиями

oo

где x — константа. Разумеется, массовые силы должны изменяться во времени так же, как поверхностные силы, а вязкоупругий коэффициент Пуассона должен быть по­ стоянным.

§ 2.4- Условия стационарного состояния гармонических колебаний

Если граничные условия и массовые силы для крае­ вой задачи вязкоупругости заданы как стационарные гармонические функции времени, то таким же образом зависит от времени и решение для всех переменных по­ ля. Соотношение между напряжениями и деформациями для стационарного состояния (1.56) можно записать в виде

и

где черта над переменной обозначает преобразование Лапласа, а s — переменную преобразования.

Система условий (2.51) — (2.58) имеет вид, тождест­ венный по виду уравнениям линейной теории упругости, если преобразованные вязкоупругие переменные считать

соответствующими упругим переменным, а sp(s) и sk(s) считать упругими модулями р, и k. Отсюда следует, что для задачи, определяемой условиями (2.1) — (2.9), и при установленных там условиях преобразование Лапласа решения задачи вязкоупругости получается непосредст­ венно из решения соответствующей задачи теории упру­

гости путем замены р и k соответственно на sp(s) и

sk(s). Окончательно решение получается путем обраще­ ния преобразованного решения.

f В общем случае из решений задачи упругости можно получить преобразования Лапласа решений задач вязко­ упругости, заменив модуль упругости и упругий коэффи­ циент Пуассона преобразованиями Лапласа соответст­ вующих вязкоупругих функций релаксации и вязкоупру­ гого коэффициента Пуассона, умноженными на параметр преобразования. Совершенно аналогичная процедура ис­ пользуется и в анизотропном случае.

Такую связь интегрального преобразования решения задачи вязкоупругости с решением соответствующей за­ дачи упругости иногда называют принципом соответст­ вия упругой и вязкоупругой задач, или упруго-вязкоуп­

ругой аналогией. Хотя использованный здесь вывод основан на преобразовании Лапласа, совершенно анало­ гичная процедура может быть основана и на преобразо­ вании Фурье. Рид [2.29] впервые заметил эту связь для случая преобразования Фурье, тогда как в работах

5 -8 5 1