книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости
.pdf§ 1.6. Преобразование Фурье определяющего соотношения 37
Представление девиаторных соотношений между на пряжениями и деформациями при помощи механической модели дает возможность указать очевидный способ различения вязкоупругих твердых тел и жидкостей. Мо дель Максвелла, разумеется, соответствует вязкоупру гой жидкости, тогда как модель Фойхта определяет твердое тело. Столь же очевидное различие между дву
мя типами механического поведения |
представляют |
и обобщенные механические модели. |
|
Хотя первый пример, приведенный |
здесь, привел |
к зависимости между функцией релаксации и дифферен циально-операторной формой соотношения между на пряжениями и деформациями, с помощью (1.18) легко получить и соответствующую функцию ползучести. Вто рой пример включал собственно функцию ползучести (1.47), однако это в некотором смысле вырожденный случай, так как соответствующей ограниченной функции релаксации не существует. Впрочем, добавление отдель ной положительной константы в представлении (1.47) функции ползучести обеспечит существование соответ ствующей функции релаксации. Вероятно, проще всего уяснить это, рассматривая соответствующие механиче ские модели на рис. 1.2 и 1.5.
Хотя имеются обширные исследования по использо ванию механических моделей (см., например, Бленд [1.1]), в общем виде мы ими заниматься больше не бу дем. Мы придерживаемся той точки зрения, что, несмот ря на полезность механических моделей в истолковании некоторых конкретных случаев, они обычно носят слиш ком ограниченный характер и, безусловно, не могут слу жить основой для развития содержательной теории ма териалов с памятью.
§ 1.6. Стационарное состояние и применение преоб
разования Фурье к определяющему соотношению меж ду напряжениями и деформациями
На практике встречаются случаи, когда вязкоупру гие тела могут находиться в состоянии стационарного колебательного процесса. Выведенные ранее соотноше ния между напряжениями и деформациями применимы
38 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
и в таких случаях, однако разумно ожидать, что в усло виях стационарных гармонических колебаний появятся специальные зависимости. Этот случай и будет сейчас разобран.
Рассмотрим сначала случай изотропных материалов. Пусть соотношение между напряжениями и деформа циями
t
о — \ Grj (/ — т) (ds(x)jdx) dx |
(1.51) |
определяет как девиаторную, так и объемную части об щей зависимости между напряжениями и деформациями в зависимости от того, будет ли а = 1 или а = 2 . Пусть, далее, история деформаций определяется гармонической функцией времени в соответствии с формулой
е(1) = 70 еш , |
(1.52) |
где ео — амплитуда, а © — частота |
колебаний. Прежде |
чем подставить (1.52) в (1.51), разложим Ga (t) на две части
Ga (0 = Ga + G a (0. |
(1-53) |
где |
|
л |
оо. |
Ga (t) - > 0 ПрИ t |
Теперь подставим (1.53) в (1.51), чтобы разложить по следнюю зависимость на две части, а затем подставим
,e(t) |
из (1.52); в результате получим |
|
|
t |
|
|
о (t) = Ga е0 еш -f kое0 \Ga (t — т) eim dx. |
(1.54) |
Путем замены переменной t—т = ц (1.54) можно |
пере |
|
писать в виде |
|
|
o(t) |
= G„ © I" sin ©Ц Ga(l])dr\-f |
|
ö
+ l'ffl Л s0eiwt П .55) cos ©T] Gjt}) dr\
§ 1.6. Преобразование Фурье определяющего соотношения |
39 |
Чтобы не возникло противоречия с условиями стацио нарности, принятыми для истории деформации, зададим выражение для напряжений в той же стационарной форме
а (t) = G*a (ia>) е0 еш , |
(1.56) |
где G *(im) — комплексный модуль — представляет со
бой комплексную функцию частоты, подлежащую опре делению. Выделяя действительную и мнимую части
G* (tea), получаем
G ;( f o ) = G > ) + t G > ) . |
(1.57) |
Результаты (1.55) — (1.57) можно объединить так:
оо
Ga (со) =* Ga \-(i) j Ga Cn) sin COT] dr|, |
(1.58) |
0 |
|
00 |
|
Ga (®) ■ = со J Ga (т])cos cor) dr], |
(1.59) |
о |
|
Величины Ga (со) и G"a (со) иногда называют модулями
накопления (storage) и потерь (loss) соответственно.
Кроме того, G*(i(o) иногда называют динамическим мо
дулем, однако такая терминология может привести к не доразумениям, так как значение G* (гео) совершенно не
связано с тем, сохраняются или нет инерционные члены в уравнениях сохранения количества движения. При известной функции релаксации соотношения (1.58) и (1.59) определяют действительную и мнимую части комплексного модуля G^ (гео), который входит в вязко-
упругое соотношение (1.56) между напряжениями и де формациями при стационарном состоянии. Интересно исследовать предельный случай соотношений, следую щих из (1.58) и (1.59). Для этого проинтегрируем соот ношения (1.58) и (1.59) по частям, что дает
Ga (со) = Ga ~г Ga(0) + j (dGa (rj)/dr|) cos COT] dr] (1.60)
0
4І) |
Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения |
|
И |
|
|
|
со |
|
|
Ga (tt>) = — J (dGa(Tl).'rfri) sin СОТ| rfri. |
(1.61) |
|
о |
|
При нулевой частоте отсюда следует, что для экспонен циально убывающих функций релаксации
G«(0) = Ga = |
G«(0l/->~ |
(1.62) |
и |
|
|
g; ( 0) = |
о. |
(1.63) |
При бесконечно большой частоте с помощью замены пе-
ременнбй оэг| = т можно показать, |
что (1.60) |
и (1.61) |
дают |
|
|
Ga (оо) = Ga + Ga (0) = |
Ga (t) |<-*o, |
(1-64) |
Ga(oo) = 0. |
|
(1.65) |
Соотношения (1.62)— (1.65) связывают предельные зна чения комплексных модулей с предельными значениями функций релаксации.
Отметим, что, согласно соотношениям (1.64) и (1.65), при очень большой частоте возбуждения мнимая часть комплексного модуля обращается в нуль. В результате при этих условиях материал ведет себя как упругое тело. Аналогично, соотношения (1.62) и (1.63) показывают, что если частота возбуждения очень мала, то материал ведет себя либо как упругое твердое тело, либо как вяз кая жидкость. Другими словами, вязкоупругие твердые тела, участвующие в очень быстрых или очень медлен ных процессах, ведут себя как упругие, тогда как вязкоупругие жидкости ведут себя как упругие при очень быстрых процессах и как вязкие при очень медленных процессах. Последние соображения будут строго доказа ны в § 1.7.
Простую форму соотношения (1.56) между напряже ниями и деформациями можно записать и в ином виде
o(t) - I G a (гео) I е0 Д (со' +ф“ \ |
(1 .6 6 ) |
§ |
1.6. |
Преобразование Фурье определяющего соотношения |
41 |
|
где I G* I |
— абсолютная величина G* и |
|
|
|
1 |
СЛ 1 |
(X |
|
|
|
|
Фа (со) = arctg [Ga (сo)!Ga (ft))]. |
(1.67) |
|
Величину tg фа иногда называют тангенсом потерь. |
Ин |
|||
терпретация (1.66) важна с физической точки зрения. При стационарном процессе гармоническая деформация запаздывает по сравнению с напряжением на величину, определяемую фазовым углом фа . Разумеется, в физи ческих приложениях имеет смысл не полная комплекс ная форма, а действительная пли мнимая части напря жений и деформаций.
Вывод соотношений (1.66) и (1.67) подсказывает экспериментальный способ определения комплексных модулей путем регистрации зависимости между напря-
Р и с. 1.7. Действительная и мнимая части комплексного модуля.
жениями и деформациями в образце, испытывающем простую гармоническую деформацию. Подробности та кой процедуры будут рассмотрены в гл. 7. Кривые зави симостей G'a и G"a от частоты схематически представле
42 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
ны на рис. 1.7. Не обязательно, чтобы кривая зависимо сти G a’ от к» или In и имела один относительный
максимум. В действительности на ней может быть не сколько таких локальных максимумов, каждый из кото рых каким-то образом связан с довольно сложным по ведением материала на молекулярном уровне.
Уравнения (1.58) и (1.59) можно рассматривать как преобразования Фурье по синусу и косинусу, в силу че го обратное преобразование дает
G„ (t) = |
— |
\ |
------ - sin at da |
(1.68) |
“ |
Я |
J |
О) |
|
ü
и
Л |
9 |
г G„ fco) |
(1.69) |
G„ (t) — — |
\------cos at da. |
||
“ |
n |
,) CO |
|
|
0 |
|
|
Уравнение (1.68) |
можно записать и в другой форме, ес |
||
ли проинтегрировать второй член подинтегрального вы
ражения. С учетом (1.53) |
это дает |
|
|||
|
|
со |
|
|
|
G„ (t) = |
— |
f |
|
sin &t da. |
(1.70) |
“ |
Я |
0J |
CO |
|
|
Уравнения (1.68) и |
(1.69) |
дают способ |
определения |
||
функций релаксации, если считать известным комплекс ный модуль.
Из (1.68) и (1.69) с очевидностью следует, что дейст вительная и мнимая части комплексного модуля (1.57) не являются независимыми друг от друга и должны
быть каким-то образом связаны. Эту |
связь легко |
уста- |
л |
из (1.69) в |
(1.58), |
новить, подставляя значение Ga (t) |
||
что после некоторых упрощений дает |
|
|
О » - О . |
V) |
dk. |
(1.71) |
Я *J %( 0)2 — |
|
|
|
Это соотношение вместе с некоторыми |
другими |
подоб |
|
ными формулами дал Гросс [1.7]. |
|
|
|
§ 1.6. Преобразование Фурье определяющего соотношения 43
Станем теперь на более общую точку зрения и вместо допущения о стационарных гармонических условиях движения применим преобразование Фурье к соотноше ниям между напряжениями и деформациями, выражен ными в общей форме релаксационных интегралов. Это приводит к некоторой форме соотношений между на пряжениями и деформациями, аналогичной форме пре образования Лапласа (1.17). В последующих выводах будут использоваться как преобразование Фурье, так и преобразование Лапласа соотношений между напря жениями и деформациями. Прямое и обратное преобра зования Фурье определяются формулами
оо |
|
/ (со) = j / (t) е~ ш dt |
(1.72) |
и
Д^) = (1/2я) J / (со) еш d®. |
(1-73) |
Используя (1.72), можно получить преобразование Фурье девиаторного соотношения между напряжениями и деформациями (1.10) в виде
S,і (со) = I |
J Gy (t— г) (detj (x)/dx) е ~ ш <и. (1.74) |
Используя преобразования (1.72) и (1.73) вместе с вы ражением для G* (гео) из (1.57) — (1.59), можно приве
сти (1.74) к простой форме
su (со) = G* (гео) і (7 (со). |
(1.75) |
Подобная процедура применима и к объемной части со отношений между напряжениями и деформациями
(1.11), откуда
0ftk(®) = G2(I'®)e**(®)- |
О-76) |
Преобразование Фурье соотношений между напряжени ями и деформациями (1.75) и (1.76) дает компактную и физически содержательную форму вязкоупругих соот
44 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
ношений между напряжениями и деформациями. Подоб ные формы могут быть получены и для анизотропного случая.
§ 1.7. Ускоренные и замедленные процессы
Полезно исследовать характер вязкоупругой деформа ции при очень быстрых и очень медленных процессах. Введем одномерное соотношение между напряжениями и деформациями, которое символизирует как соотношение (1.10) с одной ненулевой компонентой сдвига, так и объ емное соотношение (1.11). Тогда
t
а (0 = j Ga it — т) (,іе (x)/dx) dx, а = 1,2. (1.77)
о
При заданной истории деформации e(f) ускоренная история определяется выражением
е(т0. Ѵ >1 .
азамедленная по отношению к е (t) история определится выражением
е(ѵ0. Y<1-
Ускорение истории деформации вызывает тот же эффект, что и сжатие (или сокращение) масштаба времени. В со ответствии с этим мы хотели бы связать с историей де формации e(yt), у > 1 , напряжения о (t/y). Используя для этой ускоренной истории деформации формулу (1.77), получаем
t/y |
|
0 (t/y) ~ j Ga (t/y — т) (de (yx)/dx) dx. |
(1.78) |
Изменим переменную интегрирования в (1.78) так,
что
t/y |
|
° ({!у) = j Ga (t/y — Т]ly) (de (r\)jdr\) dr\. |
(1.79) |
§ 1.8. Другие функции, описывающие механические свойства 45
Если теперь величина у становится очень большой, то, очевидно,
а (//у) = |
Ga (0) е (Оу), |
у~>оо. |
(1.80) |
Таким образом, для |
достаточно |
ускоренного |
процесса |
поведение среды приближается к поведению некоторого упругого материала с модулем Ga (0), равным началь ному значению функции релаксации. Как уже отмеча лось, разрывные изменения деформаций вызывают раз рывы напряжений, пропорциональные Ga (0), что на ходится в полном соответствии с (1.80).
Что касается замедленных историй деформации, то напряжения o(tly ), соответствующие замедленной ис тории деформации е(у, t), у < 1 , также даются форму лой (1.79). В этом случае, когда величина у становится очень малой, эта формула дает
° W y ) = G a (oo)e(t/y), Y - 0. |
(1.81) |
Зависимость (1.81) показывает, что очень медленные вязкоупругие процессы по своей природе приближаются к упругим, исключая случай Ga( ° o )= 0 . Как уже было указано в § 1.3, случай Gі ( о о )= 0 соответствует вязкоупругой жидкости.
Хотя результаты этого параграфа интуитивно оче видны, они убедительнее, если имеют строгое аналити ческое подтверждение. Более подробное исследование, учитывающее работу, производимую вязкоупругим ма териалом в ускоренных и замедленных процессах, про ведено в работе [1.8].
§ 1.8. Другие функции, описывающие механические свойства
В соответствии с общепринятыми обозначениями те
ории упругости символы |
для обозначения |
изотропных |
функций релаксации при |
простом сдвиге |
и объемном |
расширении часто принимают в виде р (0 и k (t), где |
||
[і (t) = Gx (0/2, |
k 01) = G2 (0/3. |
(1.82) |
Функции релаксации, соответствующие другим одно родным напряженным состояниям, можно также опре
46 Гл. 1. Вязкоупругие определяющие соотношения
делить через Gi(£) и G2(0 - Сравнение преобразования Лапласа изотропных вязкоупругих соотношений между напряжениями и деформациями (1.17) и соответствую щих соотношений между напряжениями и деформация ми изотропной теории упругости показывает, что функ ции релаксации, отвечающие другим напряженным со стояниям, определяются с помощью соотношений теории упругости путем простой замены упругих модулей преобразованием соответствующих функций релаксации теории вязкоупругости.
Так, например, из соотношений теории упругости (см. [1.12] б) следует, что функция релаксации, характе ризующая состояние одноосного растяжения, определя ется через ее преобразование как
J T |
__ 3 Gf (s) G2 (s) |
_ 9 II (s) k (s) |
^ |
|
G1 (s) + 2 G 2 (s) |
i T ( s ) + 3 l ( s ) ' |
|
Кроме того, при одномерном растяжении вязкоупругий коэффициент Пуассона v ( t ) определяется как взятое со знаком минус отношение зависящей от времени попереч ной деформации к постоянной осевой деформации в ус ловиях релаксации напряжений. При этом преобразова
ние этого коэффициента, выраженное через Gi(s) и G2(s ), дается формулой
_ |
G2 (s) — Gj (s) |
_ |
3 fe (s) — 2 [X (s) |
(1.84) |
|
s[G i(s) + 2G 2 (s)] |
|
2 s [ jl( s ) + 3 f t ( s ) ] |
|
|
|
|
которая следует из подобного же соотношения теории упругости.
Функцию релаксации K ( t ) , аналогичную первой по стоянной Ламе в теории упругости, можно определить зависимостью
^(s) = 1/3 [Ga( s ) - G 1(S)] = k ( s ) - * ; 3ü(s). |
(1.85} |
Вязкоупругое соотношение между напряжениями и де формациями, выраженное через функции релаксации Я (0 и ц (0 . теперь имеет вид
См. примечание на стр. 14. — Прим, перев.