Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Рис. 12.6. Стационарная ударная волна уравнения Бюргерса

Введем амплитуду ударной волны a и характерную ширину фронта (рис. 12.6). Тогда из соотношения (12.76) следует, что εa2 /2 ηa / , откуда получаем связь между параметрами ударной волны:

эффициент η и чем меньше амплитуда а, или коэффициент ε. Стро- гий анализ уравнения Бюргерса подтверждает справедливость такой приближенной оценки.

В завершении параграфа приведем следующие качественные рас- суждения о распространении нелинейной волны в среде с поглощени- ем, всегда имеющим место в реальной среде. Если поглощение до- вольно мало и нелинейные эффекты преобладают над диссипатив- ными, то весь процесс распространения волны можно разделить на три этапа. На первом этапе (0 < z = x/xp < 1) происходит изменение профиля волны по закону простой волны. В точке z = 1 начинает об- разовываться разрыв, который достигает максимального значения при z = π/2. При z > 2 профиль волны становится почти пилообраз- ным. На втором этапе форма фронта волны стабилизируется в ре- зультате конкуренции нелинейных и диссипативных процессов, но амплитудное значение колебательной скорости уменьшается. В конце второго этапа амплитуда волны в результате поглощения уменьшает- ся настолько, что доминирующими становятся диссипативные эф- фекты. На третьем этапе амплитуда волны уже не зависит от своего

831

значения в начале процесса распространения; волна снова становит- ся гармонической и ее распространение происходит в соответствии с законами линейной акустики. В случае, когда диссипативные процес- сы в среде преобладают над нелинейными, нелинейность оказывается слабой и на любом расстоянии для амплитуд гармоник с номерами n и n + 1 выполняется условие Bn+1 << Bn.

Метод медленно изменяющегося профиля может быть обобщен и на трехмерный случай, когда волна представляет собой пучок, кото- рый расходится вследствие дифракции. Соответствующее уравнение было получено в 1970 г., и носит название уравнения Хохлова-

Заболотской-Кузнецова (ХЗК)*:

где = ∂2∂y2 + ∂2∂z2 — лапласиан по поперечным координатам.

Первое слагаемое в уравнении ХЗК определяет изменение давле- ния вдоль оси пучка, второе и третье слагаемые определяют влияние нелинейности и поглощения, соответственно. Поперечный лапласианр определяет дифракционные изменения пучка. Отбрасывая те или иные члены в уравнении ХЗК можно получить упрощенные уравне- ния, позволяющие отдельно проанализировать влияние нелинейности, поглощения, дифракции на процесс распространения акустических волн. Точного аналитического решения для уравнения ХЗК пока не найдено, но приближенные решения могут быть получены. Уравнение ХЗК оказалось особенно полезным для расчета так называемых пара- метрических антенн [19].

12.7. Нелинейные волны в среде с релаксацией. Уравнение Кортевега-де Вриза-Бюргерса

Многочисленные эксперименты и теоретические работы [23, 33] позволили выяснить, что при распространении упругих волн в среде происходят процессы периодической перестройки ее струк- туры или состояния. Такие процессы получили название релаксаци- онных (от латинского слова relaxatio — уменьшение, ослабление). Ре- лаксационные процессы разнообразны, но, несмотря на различную физическую природу, им присущи общие закономерности (они про- исходят будто бы по некоторой единой схеме). Мы не будем рассмат- ривать физику конкретного релаксационного процесса. Этим слож- ным вопросам посвящена специальная литература [33].

*Хохлов Рэм Викторович (1926—1977) — российский физик, академик АН СРСР (1974).

832

Однако, обобщая, можно сказать, что характерной особенностью любого релаксационного процесса является то, что при изменении плотности среды изменяется некоторый параметр ξ, характеризую- щий структуру вещества среды. При изменении ρ от ρ1 до ρ2 пара- метр должен изменяться от ξ01 к ξ02. Суть релаксационного процесса состоит в том, что параметр ξ не успевает изменяться вслед за ρ и, таким образом, в динамическом режиме в любой момент времени ξ отличается от ξ0(ρ). Вследствие такого запаздывания, как мы убедим- ся позже, в среде с релаксацией наблюдается дополнительное погло- щение звука, а также зависимость фазовой скорости от частоты.

Если бы изменение ρ происходило очень медленно (ω → 0), то па- раметр ξ мало отличался бы от ξ0, и в каждый момент процесс пере- стройки структуры был бы предельно близок к равновесному. Тогда

скорость была бы такой же, как в идеальной среде: c02 = (∂P∂p)ξ=ξ0 (индекс “0” у c соответствует низким частотам). При очень быстрых изменениях ρ (ω → ∞) параметр ξ вообще не успевает измениться и практически сохраняет значение ξ00, которое он имел бы в невозму- щенной среде. Оказывается, что упругие свойства среды в каждом из этих случаев различны, а, следовательно, различны скорости звука:

имеет место изменение скорости звука с частотой, т. е. дисперсия. Ме- рой дисперсионных свойств среды является величина

m = (c∞2 −c02 ).

c02

Практически всегда эта величина мала (m << 1), т.е. того же порядка,

что и p′/P0, ρ′/ρ0 и υ/c0, где ρ′ = ρ – ρ0, p′ = P – P0.

Перейдем к выводу уравнений распространения звука. В среде с релаксацией уравнения Эйлера и неразрывности остаются неизмен-

ными, изменяется лишь уравнение состояния: теперь P = P (ρ,ξ,s) . Однако можно считать, что, как и в случае вязкой среды, изменением энтропии s можно пренебречь. Тогда P = P (ρ,ξ). Разложим эту зави-

симость в ряд по степеням ρ′ и (ξ—ξ0). При этом следует учитывать, что изменения, вызванные релаксационными процессами, малы по сравнению с изменением параметров среды, вызванных самой зву- ковой волной (аналогично тому, как вязкие напряжения малы по сравнению с упругими). Поэтому будем считать величину (ξ – ξ0) ма- лой по сравнению с ρ′. Итак, с точностью до величин второго порядка малости

833

С учетом соотношений (см. (12.29), (12.35)),

уравнение (12.78) примет вид

Поскольку в системе уравнений акустики (уравнение Эйлера, не- разрывности и состояния) появилась новая неизвестная функция ξ (t,x), то эту систему следует дополнить еще одним уравнениям — уравнением релаксации. Здесь уместными будут следующие физиче- ские рассуждения. Для состояния, близкого к равновесному, можно считать, что скорость изменения параметра ξ, т.е. dξ/dt, пропорцио- нальна разности (ξ – ξ0).Тогда уравнение релаксации будет иметь вид

где b = 1/τp, τp — время релаксации. Нетрудно убедиться в том, что закон приближения ξ к равновесному значению ξ0 при начальном ус- ловии ξ(t = 0) = ξ(0) имеет экспоненциальную форму:

Для гармонической волны с частотой ω скорость звука в среде с ре- лаксацией изменяется от c0 при ωτp → 0 до c∞ при ωτp → ∞.

Подставив (12.80) в (12.79), получим такое уравнение:

Исключим ξ из уравнений (12.79) и (12.81). Для этого продиффе- ренцируем (12.79) по t. При дифференцировании следует обратить внимание на то, что параметр ξ0 соответствует текущему значению плотности, т.е. равновесное состояние ξ0 является функцией плотно-

834

Сравнивая (12.95) и (12.58), отметим, что уравнение пополнилось интегральным слагаемым, которое описывает эффекты, связанные с релаксацией (а именно: влияние поглощения и дисперсии скорости звука), в то время как первые два слагаемых описывают (как и в (12.58)) эффекты распространения и нелинейную деформацию про- филя волны.

Уравнение (12.95) является интегро-дифференциальным. Его можно упростить, если предположить, что р′ изменяется достаточно медленно на интервале, равному времени релаксации τр = 1/b, т.е. значительно медленнее, чем экспонента под знаком интеграла (12.95). Это позволяет заменить ∂p′/∂τ′ двумя первыми членами разложения

и вычислить интеграл в (12.95). Как следствие, получим дифферен-

циальное уравнение Кортевега – де Вриза – Бюргерса (проделайте эти несложные вычисления самостоятельно):

Структура этого уравнения указывает на то, что изменение фор- мы профиля волны, мерой которого является производная

(∂p′∂x )τ=const , определяется нелинейностью среды (второе слагаемое),

Кортевег (Korteweg) Дидегик Иоганн (1848 –1941) – голландский физик.

де Вриз (Vries) Густав (точные данные жизни не известны) — ученик Кортевега.

837

поглощением (третье слагаемое, сравните (12.96) с уравнением Бюр- герса (12.73)) и дисперсией звука (четвертое слагаемое). Если отбросить третье слагаемое, то получим уравнение Кортевега – де Вриза, кото- рое описывает распространение волн в среде с дисперсией, но без по- глощения. Уравнение (12.96) не изменит свою структуру, если учесть вязкость и теплопроводность среды. При этом изменится лишь коэф- фициент при ∂2р′/∂τ2, который в этом случае пополнится слагаемыми, учитывающими поглощение за счет вязкости и теплопроводности.

12.8. Плоские бегущие волны в слабонелинейной поглощающей среде с дисперсией

Перепишем уравнение Кортевега-де Вриза-Бюргерса в та-

ком виде:

где обозначения а1, а2, а3 понятны из (12.96). Это уравнение позволя- ет исследовать совместное влияние нелинейности, вязкости и релак- сации на структуру волны. Однако поиск точного решения данного уравнения — это сложная задача. В нашей ситуации на первом этапе исследования целесообразно получить приближенное решение, ис- пользуя наиболее простые методы.

Итак, применим метод последовательных приближений. Согласно этому методу, ограничиваясь вторым приближением, представим p′

в виде суммы двух слагаемых: р′ = р(1) + р(2), причем р(2) << р(1). Понят- но, что полученное ниже решение имеет область применимости, ог- раниченную условием малости нелинейной добавки р(2) по сравнению с линейной волной р(1). Подставляя р′ = р(1) + р(2) в (12.97), получаем уравнение для р(1) и р(2) (выполните самостоятельно):

Пусть неискаженная волна — гармоническая и будем считать, что в начале координат (х = 0) искажения еще отсутствуют, т.е.

p(2) x =0 = 0 . Решение уравнения (12.98) представим в виде, который

соответствует волне, распространяющейся в среде с поглощением (см. параграф 5.3):

838

где τ = t – x/c0, δ (ω) = k0 – k, k0 = ω/c0, k = ω/c.

Подставив (12.100) в уравнение (12.98), определяем величины

δ(ω) и α1 :

Согласно (12.100) в среде с поглощением и релаксацией имеем волну, амплитуда которой уменьшается по экспоненциальному закону, а фа- зовая скорость зависит от частоты с ≡ с(ω) ≠ с0. Действительная часть решения (12.100) будет такова:

Имея решение (12.101), находим нелинейную добавку второго приближения р(2) из уравнения (12.99). Его правая часть F играет роль некоторой возбуждающей силы, действующей вдоль оси Ох. Вычис- ляя F, находим, что зависимость F(t,x) имеет структуру бегущей волны удвоенной частоты:

Фазовая скорость этой “волны влияния” — такая же, что и волны пер- вого приближения p(1) .

Решение неоднородного уравнения (12.99) состоит из двух частей: решения соответствующего однородного уравнения (с частотой 2ω) и

частного решения. Первое из них p1(2) , аналогично (12.101), имеет вид p1(2) = A exp(−α2x )sin(2ωτ + δ(2ω)x + ϕ), (12.103)

где α2 = а2(2ω)2, А і ϕ — неизвестные постоянные.

Для того чтобы найти частное решение неоднородного уравнения (12.99), целесообразно представить (12.102) в виде суммы экспонен-

циальных слагаемых: F = F1 + F1* , где * — знак комплексного сопряже- ния,

В силу линейности уравнения (12.99) его решение также будет сум- мой комплексно-сопряженных слагаемых. Будем искать одно из них в виде экспоненты с таким же показателем, что и в (12.104), но с неиз- вестной амплитудой. Подставляя искомое решение в (12.99), находим

839

амплитуду, и после ряда несложных преобразований (сделайте само- стоятельно) получаем

где

Подберем амплитуду А и фазу ϕ в формуле (12.103) таким образом, чтобы нелинейная составляющая p(2) = p1(2) + p2(2) была равна нулю

× exp(−α2x )cos (2ωτ + δ(2ω)x − θ) − exp(−2α1x )cos (2ωτ + 2δ(ω)x − θ) .

Формула (12.106) позволяет проанализировать совокупную роль нелинейности, поглощения и дисперсии скорости звука на начальном отрезке пути распространения волны, где еще справедливы предпо- ложения метода последовательных приближений.

Рассмотрим частные случаи. Пусть дисперсия отсутствует, т.е.

δ (ω) = δ (2ω) = 0. Тогда

Пусть поглощение также стремится к нулю. Тогда, используя при- ближение exp(–αx) ≈ 1 – αx, получаем

Таким образом, нелинейность волнового процесса приводит (в рамках второго приближения) к росту амплитуды второй гармоники, которая пропорциональна отрезку пути х. При больших значениях х пропорциональность нарушается, и рост второй гармоники ограни- чивается [28, 44]. При наличии поглощения амплитуда второй гармо- ники вначале увеличивается, поскольку растет разность величин

840