Основы_акустики_Гринченко_Вовк

при которых — устойчивый узел?

11.3. Проведите исследование уравнения маятника θ + sinθ = 0 с помощью ЭВМ. Получите зависимости θ(t) и θ(t) для разных амплитуд

колебаний θ0, постройте соответствующие траектории на фазовой плоскости.

11.4.С помощью модели маятника в виде осциллятора с кубиче- ской нелинейностью оцените угловую амплитуду колебаний маятни- ка, для которой период на 1% отличается от значения, которое дает линейная теория.

11.5.Определите период малых колебаний массы m, которая дви- гается вдоль оси Ox, если зависимость потенциальной энергии от ко-

ординаты x имеет вид U (x ) = U0 (x /l )3 − 3x /l .

Указание: разложите потенциальную энергию в ряд Тейлора вблизи минимума, оставляя при этом два ненулевых члены ряда.

Ответ: 2π ml2 /(6U0 ) .

11.6. Определите с точностью до числовой постоянной период ко- лебаний массы m , если потенциальная энергия U (x ) = k x n , n > 1.

Покажите, что колебания будут изохронными только при n = 2. Как изменяется период колебаний для разных n , если амплитуда колеба- ний стремится к нулю.

Ответ: при 1 < n < 2 период колебаний уменьшается, а при n > 2 уве- личивается при условии, что амплитуда колебаний стремится к нулю.

11.7. В работе [24, с. 52] описан следующий опыт. Возьмите два камертона, которые соответствуют двум нотам с частотами 440 и 523 Гц. Возбуждая их, можно услышать не только эти две ноты, но и ко- лебание, которое близко к третьей ноте с частотой 349 Гц. Это явле- ние связано с нелинейностью слуха. Какой характер нелинейности проявляется в этом опыте?

Ответ: кубический.

11.8. Исследуйте устойчивость малых колебаний маятника (рис. 11.29) при ω = 10 с–1, l = 0,5 м, A = 10 мм.

Ответ: в данном случае параметры (11.149) равны a ≈ 0,784 , b = 0,04; итак, согласно рис. 11.30 колебания маятника устойчивые.

11.9. Найдите наименьшую частоту fmin, при которой переверну- тый маятник (рис. 11.32) устойчив, если l = 0,2 м, A = 5 мм.

Ответ: fmin ≈ 63 Гц.

801

Р А З Д Е Л 12

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЯХ

Штормит весь вечер, а пока заплаты пенные латают разорванные швы песка, Я наблюдаю свысока, Как волны головы ломают.

В.С. Высоцкий

12.1. Нелинейная акустика как раздел физики нелинейных волн

В четвертом разделе была получена полная система урав- нений акустики идеальной среды. Эта система уравнений оказалась нелинейной, но, принимая во внимание малость амплитуды звуковых волн, была выполнена ее линеаризация. При этом полагалось, что от- носительные возмущения начального состояния среды — это малые величины порядка μ (здесь μ — некоторый малый параметр):

При этих условиях скорость v является малой величиной порядка μ по сравнению со скоростью звука с0, т.е. v/с0 μ. Напомним, что ρ0 и

Р0 — плотность и давление в невозмущенной среде, а c0 = γP0 ρ0 ,

где γ = CP/Cv для газов и эмпирическая постоянная для жидкостей.

В линейной теории параметры плоской звуковой волны связаны между собой соотношениями

тогда перепишем условия малости параметров звуковой волны в та- ком виде:

Высоцкий Владимир Семенович (1938—1980) — российский поэт, актер, автор и исполнитель песен.

802

В гидродинамике [29] отношение скорости потока к скорости зву- ка называют числом Маха. Согласно терминологии в акустике отно- шения амплитуды колебательной скорости v0 звуковой волны к скоро- сти звука с0 называют акустическим числом Маха* для волны с час- тотой ω, т.е. М = v0/с0. Для исходной гармонической волны пишут также Мω, подчеркивая тем самым, что речь идет об акустическом числе Маха для волны с частотой ω. В дальнейшем будем говорить кратко — число Маха. Итак, согласно (12.2) степень малости величин ρ и р относительно параметров невозмущенной среды ρ0, Р0 опреде- ляется числом Маха. Отметим, что для нелинейных звуковых волн ти- пичными являются величины М = 10–4…10–2, т. е., действительно, М << 1. Например, на “болевом пороге”, когда восприятие звука ухом человеком сопровождается болевым ощущением, амплитуды звуково- го давления и колебательной скорости приблизительно составляют 200 Па и 0,5 м/с. Это соответствует числу М ≈ 10–3.

Если вернуться к параграфу 4.1, то можно увидеть (см. сравни- тельный анализ величин ∂v/∂t и v∂v/∂x), что в ходе процесса линеари- зации уравнений акустики отбрасываемые члены соотносятся с ос- тавшимися, как М : 1. Понятно, что погрешность при линеаризации будет тем меньше, чем меньше число Маха. Однако, как правило, эта погрешность накапливается, и поэтому при произвольном значении М звуковая волна при распространении постепенно изменяется по сравнению с волной, которая является решением линейной системы уравнений акустики. Для очень малых М звуковая волна может за- тухнуть прежде, чем станет заметной изменение формы звуковой волны. Однако скорость накопления погрешности возрастает вместе с амплитудой волны. Поэтому, начиная с некоторых значений числа Маха, изменение волны становится существенным даже при наличии поглощения. В таких случаях говорят о волне конечной амплитуды (или нелинейной волне), в то время как при исследовании линейной системы уравнений акустики говорят о волне бесконечно малой ам-

плитуды (или линейной волне).

В задачах линейной акустики выполняется принцип суперпози- ции, и, следовательно, волны не взаимодействуют между собой и распространяются независимо. Это прямое следствие линейности системы уравнений акустики. Если брать за основу нелинейную сис- тему уравнений, то принцип суперпозиции перестает выполняться,

ивозникает большое количество так называемых нелинейных эф-

*Мах (Mach) Эрнст (1838—1916) — австралийский физик и философ.

803

фектов. К ним можно отнести изменение формы начальной сину- соидальной волны на пилообразную, возникновение комбинацион- ных частот (в случае распространения нескольких волн), нелинейное поглощение, разные параметрические эффекты, рассеяние звуковых волн одна на другой, акустические течения, радиационное давление, кавитация и многое другое. Весь этот круг вопросов принято назы-

вать нелинейной акустикой.

Нелинейную акустику можно отнести к тем важным разделам фи- зики нелинейных волн, которые имеют давнюю историю и вместе с тем переживают сейчас новый период интенсивного развития. Рост интереса к нелинейным акустическим явлениям начался в 1960-х го- дах, и для этого есть весомые причины. Прежде всего, это развитие вычислительной техники, позволившее получить численные решения дифференциальных уравнений, описывающих распространение волн в различных средах.

Вторым толчком стало создание мощного математического аппа- рата, позволяющего, в принципе, определить точное аналитическое решение ряда нелинейных уравнений в частных производных.

Третий важный фактор — это широкие экспериментальные воз- можности нелинейной акустики. Дело в том, что для акустических волн, длины которых довольно малы при относительно небольших частотах, необходимые уровни нелинейности достаточно просто по- лучить в воде и в воздухе. Поэтому они оказываются удобным объек- том для физического эксперимента.

Вообще исследования в области нелинейной акустики приобре- тают все большее практическое значение, причем круг таких про- блем сейчас существенно расширился. В качестве примера приве- дем использование нелинейных эффектов распространения звука в приборах неразрушительного контроля, которые используются в промышленности и медицине. В приборах с малой интенсивностью звука, где процесс взаимодействия звуковых волн со средой являет- ся линейным, используется одно уникальное свойство звуковых волн — их возможность проникать на достаточно большую глубину. Акустическая “прозрачность” материала и биоткани позволяет ульт- развуку (обычно это частоты в диапазоне от 500 кГц до 15 МГц) “считывать” в среде необходимую информацию и переносить ее в приемное устройство, где происходит обработка рассеянной волны или прошедшей волны через среду. В последнее время в промыш- ленности, строительстве, геофизике и медицине все большее внима- ние уделяется нелинейным методам неразрушающего контроля и диагностики. Эти методы открывают принципиально новые воз- можности для получения информации о свойствах среды. Нелиней- ная диагностика использует свойство акустической волны “запоми- нать” свойства своего “партнера” - другой волны, с которой она пе-

804

ресекается в некоторой конечной области пространства, а также “запоминать” физические параметры того объема среды, где возник- ло пересечение волн. Ко второй группе нелинейных акустических методов, которые используются в биологии и медицине, можно от- нести “силовое” воздействие звуковой волны значительной мощно- сти. Примерами областей применения данного свойства являются ультразвуковая терапия и хирургия.

Вообще количество научных работ, посвященных вопросам нели- нейной акустики, не уменьшается. Много интересной информации по нелинейной диагностике можно найти в обзоре [42]; дополни- тельном выпуске “Акустического журнала” (2005 г.), посвященном смежным с акустикой и геофизикой вопросам.

Природа, действительно, нелинейна и многогранна по своим про- явлениям. Однако вместе с осмыслением исследователями этого фак- та пришло и понимание того, что практически вся многогранность нелинейных волновых процессов может быть сведена к небольшому количеству типичных ситуаций, которые описываются с помощью одних и тех же уравнений (их называют эталонными), или, другими словами, с помощью небольшого количества математических моде- лей. Вообще в целом ряде научных исследований понятие “понимаю” означает “могу рассчитать, могу использовать”. В науках о нелиней- ных явлениях “понимаю” значит “могу предложить достаточно про- стую модель”. Это очень важный момент! В данном разделе рассмот- рим свойства ряда эталонных уравнений и тем самым сделаем пер- вый шаг в мир нелинейных волновых процессов.

12.2. Простые волны

12.2.1. Волны Римана

Рассмотрим распространение плоской волны в идеальной среде, которая позволяет исследовать волновые процессы в газе или жидкости при отсутствии поглощения. Параметры невозмущенной среды: ρ0 — плотность, Р0 — давление. Пусть плоская волна распро- страняется вдоль оси Ох декартовой системы координат. Такое предположение делает задачу одномерной, что естественно облегча- ет ее анализ. Исходными уравнениями служат уравнения идеальной жидкости (см. раздел 4), которые для одномерного движения запи- шутся в виде

уравнение движения

уравнение неразрывности

805

= ρ0 + ρ — плотность среды, ρ — переменная плотность, Р = Р0 + р — давление в среде, р — акустическое давление.

Уравнение состояния можно записать в виде ряда

Здесь целесообразно сделать следующее замечание. Нелинейность уравнений движения (12.3) и неразрывности (12.4) не обусловлены свойствами среды. Поэтому такую нелинейность называют геомет- рической. Наоборот, в уравнении состояния (12.6), которое связывает между собой приращения давления и плотности, нелинейные члены обусловлены свойствами среды. Такую нелинейность называют физи-

ческой.

В разделе 4 при условии, что число Маха М << 1, была проведена линеаризация системы уравнений (12.3)—(12.5) и получено волновое уравнение. Сейчас не будем пренебрегать нелинейными членами, а попробуем получить решение системы уравнений (12.3)—(12.5). Впервые такое решение получил Риман* в 1860 г. Задача о распро- странении плоской волны в идеальной среде является одной из не- многих задач, которая дает возможность получить точное решение.

Согласно системе уравнений (12.3)—(12.5), волновой процесс опи- сывается двумя функциями: колебательной скоростью v(x, t) и плот- ностью ρ(x, t) или давлением P(x, t). Последние связаны между собой через уравнение состояния ρ = ρ(P) или P = P(ρ). В случае линейной теории для описания плоской волны было достаточно одной функции, поскольку справедливы соотношения (12.1).

Итак, для описания нелинейной волны нужно знать две функции: υ(x, t) и P(x, t) или ρ(x, t). Сделаем следующее предположение: пусть одна из этих функций может быть выражена через другую. Вообще волновой процесс, в котором все параметры, описывающие этот про- цесс, могут быть определены в виде функций одного из них, напри- мер,

* Риман (Riemann) Георг Фридрих Бенгард (1826—1866) — немецкий мате- матик.

806

называют простой волны. Очевидно, простые волны являются обоб- щением бегущих линейных волн. Однако если функциональная зави- симость содержит интегралы или производные, то волна не является простой. Физически это означает появление дисперсии, т.е. зависи- мость эволюции волнового возмущения от его спектрального состава.

Пусть давление P(x, t) является функцией колебательной скорости

видно, это скорость волны бесконечно малой амплитуды (линейной волны), но в среде с параметрами Р и ρ, т.е. Р и ρ — средние значения давления и плотности на некотором участке. Именно при этом сред- нем значении давления определяется производная ∂ρ/∂Р. Поэтому ве-

личину c можно назвать местной скоростью звука.

С учетом данного определения уравнения (12.8) приобретают вид

Система уравнений (12.9), (12.10) является однородной системой уравнений относительно ∂υ/∂t и ∂υ/∂x. Она имеет решение, если ее

детерминант равен нулю. Легко убедиться, что это условие приводит к соотношению

откуда

807

Итак, формулы (12.11) и (12.12) устанавливают связь между Р, ρ и υ в нелинейной плоской бегущей волне. Выбор знака в последнем со- отношении зависит от направления распространения волны. Рас- смотрим волну, которая распространяется в положительном направ- лении оси Ох (знак плюс). Тогда с учетом соотношения (12.11) урав- нение (12.9) или (12.10) преобразуется в следующее нелинейное урав- нение для колебательной скорости частичек среды υ:

Получите самостоятельно уравнение для давления Р в нелинейной вол- не, проведя аналогичные преобразования с уравнениями (12.3) и (12.4), но полагая при этом, что колебательная скорость υ является функцией давления Р. Естественно, снова будет получено соотношение (12.11), а именно, уравнение для давления будет иметь вид

Понятно, что подобные выкладки приводят и к уравнению для плот- ности:

Формулы (12.11)—(12.15) дают точное решение поставленной за- дачи. Проведем его анализ. Еще раз отметим, что величина с, которая фактически определяет скорость звука в соответствии с линейной теорией c2 = ∂P/∂ρ, является функцией состояния среды, т.е. произ- водная берется при среднем значении плотности на данном участке среды. Пусть x есть некоторая точка наблюдения, в которой имеем определенное давление и колебательную скорость. Несложно убедить- ся в том, что, когда точка наблюдения х двигается со скоростью (с + υ), то параметры звукового поля (Р, ρ, υ) остаются постоянными. Действительно, приравнивая к нулю полный дифференциал от неко- торого параметра звукового поля (например, υ) в точке наблюдения х при условии, что скорость перемещения этой точки dx/dt = c + υ, имеем

808

Сравнивая полученное выражение с уравнением (12.13), убеждаемся в справедливости этого утверждения.

Таким образом, каждая точка профиля бегущей плоской волны с некоторыми значениями P, ρ и υ, перемещается при распространении волны с постоянной скоростью (с + υ). При этом скорость (с + υ) зави- сит от значений параметров звукового поля Р, ρ и υ, а следовательно, будет зависеть от координаты x . Поэтому скорость (с + υ) = cл назы-

вают локальной фазовой скоростью или просто локальной скоростью.

Итак, искомое решение для колебательной скорости имеет вид

где Ф — произвольная функция. Подобное решение имеют уравнения для давления (12.14) и плотности (12.15), мы в дальнейшем анализе будем опираться на уравнение для колебательной скорости (что, ра- зумеется, не является принципиальным). Таким образом, выражение (12.16) является неявным решением уравнения (12.13). Это и есть ре- шение Римана, определяющее нелинейную бегущую волну. Решение Римана — это точное решение нелинейных уравнений акустики

(12.3)—(12.5).

Конкретная функциональная зависимость c (υ) определяется

свойствами среды и уравнением состояния (12.5). Запишем эту зави- симость для идеальной среды (идеальная сжимаемая жидкость). По- скольку звуковые волны распространяются практически адиабатиче- ски, то уравнение состояния (см. (4.19)) имеет вид

Отметим, что для газов всегда γ > 1 (так, для воздуха при 20 °C и ат- мосферном давлении γ = 1,43). В случае жидкостей уравнения (12.17) можно рассматривать как приближенные эмпирические; в этом слу- чае постоянные γ и Р0 определяются по данным эксперимента. Для жидкостей Р0 представляет собой внутреннее давление, обусловлен- ное взаимодействием молекул.

Дифференцируя по плотности одно из уравнений (12.17), получа- ем выражение для местной скорости звука с2 = ∂Р/∂ρ:

где с0 — скорость звука в соответствии с линейной теорией:

809

Приравнивая дифференциалы левой и правой частей уравнения

(12.18), получаем

Отсюда с учетом (12.18) и (12.19) имеем соотношение

Подставим (12.21) в выражение (12.12):

Из формулы (12.22) получаем выражение для местной скорости звука при адиабатических процессах сжатия:

Тогда локальная фазовая скорость (см. (12.14)) имеет вид

Имея соотношения (12.17) и (12.22), нетрудно определить связи (12.7) между параметрами Р, ρ, υ для адиабатического уравнения состоя- ния:

Подставляя (12.24) в (12.16), записываем выражение для нелинейной волны колебательной скорости:

Таким образом, формулы (12.24)—(12.26) определяют процесс рас- пространения нелинейной волны в идеальной среде при условии адиа-

810