Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Рис. 10.34. Действительная (кривая 1) и мнимая (кривая 2) части без- размерного импеданса излучения осциллирующего диска в жестком кольце- вом экране конечных размеров при фиксированном значении ka = 0,5 и

переменной величине ширины экрана k(b −a)

На рис. 10.34 показана вещественная (кривая 1) и мнимая (кри- вая 2) части импеданса излучения Zи /(ρcS ). При этом, волновой ра- диус диска фиксирован ka = 0,5 , а переменной величиной является волновая ширина экрана k(b −a). Как видно, при отсутствии экрана, когда k(b −a) = 0 , вещественная часть импеданса излучения весьма

мала и составляет величину около 0,01. Следовательно, и энергетиче- ская эффективность осциллирующего диска, как излучателя звука, тоже будет весьма низка. Однако, с ростом величины k(b −a), веще-

ственная часть импеданса быстро растет и уже при значении k(b −a) ≈1,2 достигает уровня 0,1, что соответствует уровню пульси-

рующего диска при том же значении ka = 0,5 (сравни с кривой 1 на рис. 10.29). В дальнейшем, при k(b −a) ≥1.2 , вещественная часть им-

педанса излучения колеблется, асимптотически приближаясь к вели- чине 0,12 .

Влияние экрана на диаграмму направленности в значительной степени зависит от волнового размера диска ka . При малых величи- нах ka экран оказывает существенное влияние на диаграмму на- правленности, в случае большой величины ka влияние экрана неза- метно.

10.8.4. Диск в свободном пространстве

Рассмотрим теперь колебания диска в свободном про- странстве, без каких либо экранов (рис. 10.35). Здесь, в принципе, амплитуды и фазы колебательных скоростей на обеих поверхностях диска могут существенно отличаться друг от друга. Более того, харак- тер распределения колебательной скорости по поверхностям диска,

671

также может быть различным. Однако мы несколько упростим задачу и ограничимся рассмотрением только частного случая, когда колеба- тельная скорость распределена равномерно по обеим поверхностям диска.

Рис. 10.35. Диск 1 в свободном пространстве без экрана

Итак, пусть амплитуда колебательной скорости правой стороны диска υ1 = υ0 , а на левой стороне соответственно υ2 = υ0ξexp(−iα), см. рис. 10.35. Здесь коэффициент ξ определяет соотношение ампли- туд скоростей ξ =|υ2 |/|υ1| по обе стороны диска, а параметр α ука- зывает на запаздывание (α ≥ 0) по фазе колебаний левой стороны диска относительно правой стороны. Очевидно, что если ξ =1 и

α = 0 , то имеем задачу об излучении звука пульсирующим диском; если ξ =1 и α = π, то имеем задачу об излучении звука осциллирую-

щим диском.

Разобьем всю область существования звукового поля на три час-

где n – внешняя нормаль к поверхности диска (рис. 10.35). С учетом граничных условий (10.135) и (10.136) выражения для давления в каждой из частичных областей запишутся в виде

∞

pII = ∑ Bn j2n (kr )P2n (cos θ)+ρcυ0ξexp(−iα)exp(−ikr cos θ), (10.138)

n =0

Следует отметить, что плоские волны в выражениях (10.137) и (10.138) представляют собой волны, распространяющиеся от поверх- ности диска.

Для рассматриваемой задачи возможны два равноправных вари- анта условий сопряжения звуковых полей на границах частичных об- ластей: в одном из них на всей поверхности сферы радиуса a (рис. 10.35) сопрягаем давление по обе стороны от этой поверхности, а в другом – колебательную скорость. Выберем второй вариант, т. е. на

Алгебраизация функциональных уравнений (10.140) и (10.141)

Выше мы уже достаточно много внимания уделили таким важным характеристикам пульсирующего и осциллирующего дисков, как им- педанс излучения и диаграмма направленности. Теперь остановимся подробнее на характере распределения векторов колебательных ско-

ростей V = (VR ,Vz ) и интенсивностей I = (IR ,Iz ) звукового поля вбли-

зи поверхностей диска.

Проекции указанных векторов на оси координат определялись как

после чего вычислялись сами вектора V = (VR ,Vz ) и I = (IR ,Iz ).

673

Рис. 10.36. Поле векторов амплитуды колебательной скорости (а) и векторов интенсивности (б) в окрестности пульсирующего диска при ka = 2 , ξ =1, α = 0

Рис. 10.37. Поле векторов амплитуды колебательной скорости (а) и векторов интенсивности (б) в окрестности осциллирующего диска при ka = 2 , ξ =1, α = π

На рис. 10.36 показано поля колебательной скорости и интенсив- ности вблизи диска при волновом радиусе ka = 2 и значении пара- метров ξ =1, α = 0 , что соответствует пульсирующему диску. Для

сравнения на рис. 10.37 представлены аналогичные поля для осцил- лирующего диска (здесь ka = 2 , ξ =1, α = π). Отметим, что начало ка-

ждой стрелочки соответствует точке, в которой определена векторная величина, а длина стрелочки пропорциональна модулю вектора.

674

Вследствие симметрии звукового поля относительно оси z на рисун- ках показано только полупространство R ≥ 0 и половина диска. Как видно, для пульсирующего диска (рис. 10.36) векторы скорости и ин- тенсивности полностью симметричны относительно плоскости z = 0 , что говорит об отсутствии взаимодействия между звуковыми полями левого и правого полупространств. Это абсолютно правильный ре- зультат, поскольку задача о пульсирующем диске в свободном про- странстве полностью эквивалентна задаче о колебании диска в плос- ком жестком бесконечном экране, о чем мы уже говорили выше. Ха- рактерной особенностью, представленных на рис. 10.36 полей, явля- ется то, что векторы в области центра диска направлены вдоль оси Oz , а по мере приближения к краю диска они постепенно развора- чиваются в направлении оси R . При этом амплитуда скоростей и уровни интенсивностей весьма мало изменяются при переходе от центра диска к его краю.

Совершенно иная картина наблюдается у осциллирующего диска, см. рис. 10.37, а. Здесь, как и следовало ожидать, поле колебательной скорости становится антисимметричным относительно плоскости z = 0 . При этом, по мере движения от центра диска к его краю, ам- плитуда векторов колебательной скорости нарастает, а сами векторы разворачиваются в сторону оси R . Наиболее драматическая ситуа- ция наблюдается в области края диска. Здесь хорошо видно, как ок- ружающая среда “перекачивается” с одной поверхности диска на другую, что является прямым следствием осциллирующего характера движения диска, которое создает на его поверхностях давления про- тивоположного знака. Именно это явление и составляет суть эффекта акустического короткого замыкания, о чем мы уже говорили выше. Что касается поля интенсивности осциллирующего диска (см. рис. 10.37, б), то оно так же, как и пульсирующего диска, полностью сим- метрично относительно плоскости z = 0 , однако здесь уровень интен- сивности плавно спадает при движении от центра диска к его краю. И на краю диска он становится практически равным нулю. Этот факт указывает на то, что вся энергия колебаний края диска расхо- дуется на “перекачку” среды с одной его поверхности на другую, а не на излучение акустической энергии в окружающую среду. Вот поче- му, при прочих равных параметрах, осциллирующий диск менее эф- фективен, чем пульсирующий диск. Однако с ростом волнового раз- мера осциллирующего диска негативная роль эффекта короткого аку- стического замыкания естественно ослабляется и уже при ka ≥ 2 по эффективности осциллирующий диск становится сравнимым с пуль- сирующим диском, что хорошо иллюстрируется ходом кривых импе- данса излучения на рис. 10.32.

Рассмотрим еще один интересный вариант движения диска, когда одна сторона его колеблется, а другая полностью заторможена (т.е.,

675

когда ξ = 0 ). Такой диск называют односторонним, интерес к такому

диску обусловлен практической потребностью – иметь однонаправ- ленный излучатель для использования в различных акустических приборах.

Рис. 10.38. Поле векторов амплитуды колебательной скорости (а) и векторов интенсивности (б) в окрестности одностороннего диска при ka = 2 и ξ = 0

Нас будут интересовать поля колебательной скорости и интенсив- ности в окрестности такого диска. Обратимся к рис. 10.38. Как вид- но, по мере движения от центра диска к его краю, амплитуда векто- ров колебательной скорости заметно увеличивается, сами вектора разворачиваются в сторону оси R и на краю диска образуют своеоб- разный “веер”. На тыльной стороне диска, как и положено по усло- вию, колебательная скорость равна нулю. Что касается интенсивно- сти, то она заметно спадает, по мере движения к краю диска, и неко- торая ее часть “затекает” за край диска в тыльное пространство. Можно предположить, что, несмотря на отсутствие колебаний тыль- ной стороны диска, эти два фактора – “веер” колебательных скоро- стей и “затекание” звуковой энергии должны привести к заметному излучению звука диском в тыльном направлении. Если обратиться к диаграмме направленности такого одностороннего диска (см. рис. 10.39, а), то можно убедиться, что относительный уровень тыльного излучения действительно высок и составляет почти 0,45. Таким обра- зом, в области малых и умеренных значений ka односторонний диск в строгом смысле не является однонаправленным излучателем (заме- тим, что при дальнейшем росте ka уровень тыльного излучения сни- жается и его действительно можно считать практически однонаправ- ленным).

676

Рис. 10.39. Диаграммы направленности диска при ka = 2 :

а – односторонний диск, ξ = 0 ; б – диск со сложным амплитудно-фазовым распределением скорости, ξ = 0,45 , α = 0,4π ; штриховая линия – кардиоида

Возникает естественный вопрос – можно ли путем надлежащего выбора параметров ξ и α сделать диск (при умеренных ka ) однона-

правленным? Мы провели ряд численных экспериментов и убедились, что, по крайней мере, теоретически это реализуемо. В качестве при- мера на рис. 10.39, б приведена диаграмма направленности для слу- чая, когда ξ = 0,45 , а α = 0,4π . Здесь же для сравнения представлена

также типичная кардиоидная диаграмма направленности. Как мож- но убедиться, диск с таким амплитудно-фазовым распределением ко- лебательной скорости по его поверхностям действительно становится однонаправленным излучателем звука с диаграммой направленности похожей на кардиоиду, но значительно более узкой.

В заключение рассмотрим частотные зависимости полной норми- рованной мощности ( υ0 =1), излучаемой диском, и величины его ко-

эффициента осевой концентрации Ω , рис. 10.40. Кривые на рис. 10.40, а нормированы к полной мощности, которую излучает диск в бесконечной трубе с жесткими стенками. Как следует из рис. 10.40, а, при ka ≥ 2 пульсирующий 1 и осциллирующий диски 2 превосхо- дят по мощности односторонний диск 3 в два раза. Этого и следовало ожидать, поскольку пульсирующий и осциллирующий диски излучают звук с обеих своих поверхностей, а односторонний только с одной по- верхности. Несколько бóльшую мощность, чем односторонний диск, излучает диск 4, поскольку колеблются у него все же обе поверхности, хотя и не с одинаковой эффективностью. Иначе обстоит дело в облас- ти ka ≤ 2 . Здесь излучаемая мощность осциллирующего диска стре- мительно падает и уже при ka ≤1,5 ее уровень оказывается самым

677

низким. И причина этого, как мы уже говорили выше, обусловлена акустическим коротким замыканием. Что касается пульсирующего и одностороннего дисков, то соотношение их мощностей остается та- ким же, как и при больших значениях ka .

Рис. 10.40. Полная излучаемая диском мощность (а), υ0 =1 и коэффи- циент концентрации (б):

1– пульсирующий диск, 2 – осциллирующий диск, 3 – односторонний диск, 4

–диск при ξ = 0,45 и α = 0,4π

Перейдем к анализу частотной зависимости коэффициента кон- центрации Ω (рис. 10.40, б). Здесь, как и полагается, при ka → 0 ко- эффициент концентрации осциллирующего диска стремится к трем (убедитесь в этом самостоятельно, см. параграф 7.10), а коэффициент концентрации остальных дисков – к единице. При больших же значе- ниях ka коэффициенты концентрации пульсирующего 1 и осцилли- рующего 2 дисков растут и становятся практически равными, а ко- эффициенты концентрации одностороннего диска 3 и диска 4 также становятся равными, но превосходят их ровно в два раза.

10.9. Шумозащитные барьеры

Для последних десятилетий ХХ и начала ХХI века харак- терна небывалая динамика научно-технического развития. Однако вместе с положительными явлениями этого процесса, к величайшему сожалению, наблюдаются отрицательные последствия. К таким при- мерам можно отнести и шумовое загрязнение среды, обусловленное, прежде всего, увеличением плотности и скорости потоков транспор- та, ростом интенсивности работы различных промышленных меха- низмов и т.д. Хорошо известно, что действие шума с уровнем, больше 65 дБ, может приводить к полной или частичной потере слуха чело- века. Вот почему в развитых странах большое внимание уделяется

678

научным программам, направленным на изучение шумового загряз- нения городов и разработку мероприятий по его снижению.

Особенно интересным является метод шумозащиты с помощью

барьеров (акустических экранов), которые размещают между источ-

никами шума и зоной, которую нужно защитить от их действия. Та- кими зонами могут быть жилые дома, тротуары вблизи транспортных магистралей, рабочие места на производстве. Причина популярности акустических экранов связана с их относительной дешевизной и про- стотой в использовании. Вместе с тем, оценка эффективности барье- ров оказалась непростым делом, поскольку получение достоверных оценок распределения звуковых полей в защитных зонах приводит к необходимости решения соответствующих дифракционных задач в строгой постановке. Дело в том, что в большинстве практических случаев основная часть звуковой энергии транспортных и производ- ственных шумов лежит в области относительно низких частот: это об- ласть 50…200Гц (т.е. длина звуковых волн составляет 1,5...6 м). По- скольку реальная высота шумозащитных барьеров, которые строятся рядом с транспортными магистралями, колеблется от 3 до 8 м, то не- трудно убедиться, что их волновой размер будет составлять прибли- зительно от 0,5 до 5λ. Как мы знаем, при исследовании рассеяния звука на телах, размеры которых сравнимы с длиной звуковой волны, необходимо использовать точные методы при постановке и решении соответствующих задач дифракции. В противном случае результаты оценок рассеянного поля могут оказаться далекими от истины.

В данном параграфе на базе метода частичных областей рассмот- рены дифракционные задачи, связанные с акустическими экранами. В качестве результата получены эффективные решения, позволяю- щие проводить исчерпывающий анализ рассеянных барьерами зву- ковых полей во всем диапазоне частот, представляющем интерес с практической точки зрения.

Рассмотрим следующую идеализированную физическую модель барьера. Будем считать, что на бесконечной акустически жесткой по- верхности, моделирующей поверхность земли, в точке О установлен бесконечный (вдоль направления, перпендикулярного к плоскости рисунка) акустически жесткий тонкий барьер высотой h (рис. 10.41). Справа параллельно барьеру на расстоянии b от него на поверхности земли (y = 0) находится линейный гармонический источник звука Q в виде бесконечной пульсирующей нити, моделирующий звук, созда- ваемый транспортным потоком; буквой М обозначена точка наблю- дения. Все полупространство, где может существовать поле, возбуж- даемое источником, заполнено идеальной средой плотностью ρ, со скоростью звука с. В дальнейшем будем считать, что этой средой яв- ляется воздух.

679

Рис. 10.41. Геометрия задачи

Описанная физическая модель с точки зрения математики экви- валентна плоской задаче, когда звуковая волна не зависит от одной из координат (в нашем случае от координаты, перпендикулярной к плоскости рисунка). Принятые акустические свойства поверхности означают, что нормальная составляющая колебательной скорости звукового поля на них равна нулю. Такая модель, с одной стороны, в общих чертах целиком адекватна ситуациям, встречающимся на практике, а с другой (как будет показано ниже), - позволяет постро- ить аналитическое решение о рассеянии звука на таком препятствии, как барьер.

Для построения решения поставленной задачи введем полярную систему координат (r, θ ) с центром в точке O (рис. 10.41). Согласно идее метода частичных областей все пространство существования звукового поля естественным образом разобьем на три области: об- ласть I есть внешность полукруга радиусом h, т.е. r > h, 0 ≤ θ ≤ π; об- ласть II занимает четверть круга радиусом h, т.е. r < h, 0 ≤ θ ≤ π/2; область III определяется другой четвертью круга r < h, π/2 ≤ θ ≤ π.

Поместим в точку расположения источника Q центр O1 второй по- лярной системы (r1, θ1) (рис. 10.41). Поле давления элементарного ли-

то источник звука расположен в области I, а если b < h — то в области II; пусть для определенности b > h. Тогда звуковое поле в области I следует записать в виде

где угловые функции cos(nθ) выбраны так, что решение автоматиче- ски удовлетворяет граничным условиям на жесткой поверхности при

θ = 0 и θ = π. Поскольку поле источника p0 = H0(1) (kr1) представлено в координатах (r1,θ1), его нужно записать в координатах (r,θ). Для это-

680