Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Приравнивая в (11.45) к нулю выражения при соответствующих сте- пенях ε (ведь величины разных порядков малости не могут уравнове- сить одна другую), получаем систему уравнений:

Уравнение нулевого приближения (11.46) является уравнением гар- монического осциллятора, решение которого имеет вид

где амплитуда a и начальная фаза ϕ — постоянные, которые опреде- ляются из начальных условий

Подставляя решение (11.48) в (11.47), определяем уравнение для θ(1):

Это уравнение формально совпадает с уравнением консервативного линейного осциллятора под внешним воздействием. Его решение за- писываем в виде:

где первое слагаемое в (11.51) определяет решение соответствующего однородного уравнения, описывающего собственные колебания ос- циллятора. Его амплитуда а1 и начальная фаза ϕ1 снова определяются из начальных условий (11.49). Второе слагаемое — это частное реше- ние неоднородного уравнения (11.50), описывающего вынужденные колебания осциллятора, т.е. отклик на внешнее воздействие. В соот- ветствии с теорией линейных колебаний в спектре вынужденных ко- лебаний будут присутствовать те же частоты, что и в спектре внеш- ней силы. В данном случае это первая и третья гармоники. Действи-

721

Вследствие линейности уравнения (11.52) его частное решение можно представить в виде суммы двух решений, которые удовлетворяют уравнениям

Решение уравнения (11.53) легко находится и имеет вид гармониче- ских колебаний с частотой внешней силы:

В уравнении (11.54) внешнее воздействие имеет частоту, равную час- тоте собственных колебаний осциллятора. В этом случае согласно тео- рии линейных колебаний (п. 2.2.2) возникает резонанс, который при- водит к неограниченному росту амплитуды колебаний по линейному закону. Соответствующее решение имеет вид

постоянные а, ϕ, а1, ϕ1, для определения которых имеем только два на- чальных условия (11.49). При решении подобных задач существует два варианта: первое [36, с. 120] — постоянные а, ϕ, а1, ϕ1 связаны между собой, поэтому для их нахождения достаточно двух начальных усло- вий (11.49). Однако обычно выбирают другой вариант. Поскольку по- стоянных четыре, а условий два, то можно две постоянные выбрать произвольно. Наиболее удобно положить а1 = 0. Физически это озна- чает, что во всех составляющих решения, выше нулевого, слагаемые, которые определяют собственные колебания, равны нулю. В даль- нейшем именно так будем делать.

Таким образом, решение с точностью до членов порядка ε2 имеет

Обратим внимание на то, что каким бы малым не был параметр ε второй член в решении (11.58) неограниченно растает со временем. Поэтому, справедливость разложения (11.43) при значительных про- межутках времени нарушается или, как говорят, разложение не яв-

ляется равномерно пригодным по t. Это явно не физический резуль-

тат.

В чем причина возникшей ситуации? Ответ на этот вопрос следу- ет искать в таком свойстве нелинейной системы, как зависимость периода колебаний системы от амплитуды. Действительно, выбран- ная форма решения обусловливает движение с постоянным периодом 2π/ω0, т.е. периодом колебаний в нулевом приближении. Это и явля- ется причиной такого противоречия, которого можно избежать толь- ко при условии поиска решения с периодом, отличным от периода колебаний в линейном приближении.

Поскольку отличие периода искомого решения от периода T0 = 2π/ω0 должно существенно зависеть от меры нелинейности сис- темы, которая определяется параметром ε, то естественно ввести в

рассмотрение новую частоту, которая записывается в виде ряда по степеням параметра ε:

где поправки q,q1,… описывают эффекты неизохронности. Ограни- чимся в (11.59), как и ранее, первым приближением ω = ω0 + εq; от-

сюда ω0 = ω – εq, а ω02 в рамках первого приближения определяется формулой

Теперь, подставляя выражение (11.44) в (11.61) и пренебрегая сла- гаемыми с ε2, приходим к уравнению

Тогда уравнение в первом приближении

θ(1) +ω2θ(1) = 2qωθ(0) −ω2 (θ(0) )3

перепишем в виде

723

Первое слагаемое в правой части (11.64) вносит в решение состав- ляющую вида (11.56), что не соответствует реальной ситуации. Но те- перь мы имеем возможность, благодаря выбору величины q, освобо- диться от первого слагаемого в правой части, который приводит к решению, не имеющему физического смысла. Таким образом, опре- делим величину q так, чтобы

Его решение (напомним, что решение соответствующего однородного уравнения не пишем) представим в виде

Таким образом, имеем следующее решение в первом приближении:

и, как следует из выражения (11.70), зависит от амплитуды колеба- ний а.

Остается определить a и ϕ в соответствии с начальными условиями (11.49). Очевидно, что из условия θ (0) = 0 имеем ϕ = 0. Тогда из усло-

вия θ(0) = θ0 получим a + εa3/32= θ0, откуда, отбрасывая малые сла- гаемые, получаем a = θ0.

724

Как видим, решение (11.69) несколько отличается от гармониче- ского закона за счет присутствия колебаний с частотой 3ω. Если бы мы искали решение во втором, третьем и следующих приближениях, то оно содержало бы в себе и более высокие гармоники, однако, оче- видно, с еще меньшими амплитудами.

Положив в формуле (11.70) ε = –1/6 и a2 = θ02 , определим период колебаний маятника T = 2π/ω :

данное соотношение совпадает с формулой (11.38), полученной на ос- нове аналитического подхода к исследованию колебаний маятника.

11.8. Осциллятор с квадратичной нелинейностью, как математическая модель теплового расширения кристалла

Рассмотрим интересный пример, который показывает, как механизм нелинейных колебаний позволяет понять хорошо из- вестное физическое явление. Речь идет о тепловом расширении кри- сталлического вещества, такого, как хлористый калий (KCl). Потен- циальная энергия взаимодействия двух соседних ионов противопо- ложного знака в кристаллической решетке KCl определяется соот-

ношением [39, с. 330]:

где α и β — положительные константы; е — заряд электрона; r — рас- стояние между ионами; для KCl α ≈ 0,3. Первое слагаемое в (11.72) определяет потенциальную энергию кулоновского притяжения, а вто- рое слагаемое — потенциальную энергию взаимного отталкивания. График функции V(r) показан на рис. 11.8. Постоянную β можно оп- ределить через α и расстояние r0, соответствующее положению рав- новесия, при котором имеет место равенство сил отталкивания и притяжение. Согласно рентгеноструктурному анализу для KCl

Тогда силу взаимодействия между ионами можно определить сле- дующим образом:

Первое слагаемое для V(x) представляет собой квадратичную зависи- мость потенциальной энергии от величины x = r – r0, что характерно для линейной колебательной системы; это слагаемое обусловливает линейную составляющую в выражении для силы (11.78). Коэффици- ент В характеризует нелинейную составляющую в восстанавливаю- щей силе F(x).

Если колебания ионов настолько малы, что вторыми слагаемыми в выражениях (11.77) и (11.78) можно пренебречь, то это приводит к тому, что нижняя часть кривой потенциальной энергии на рис. 11.8 является параболической и ионы в кристаллической решетке выпол- няют гармонические колебания относительно положения равновесия x = 0 (т.е. r = r0). Возникает вопрос, что же произойдет при дальней- шем увеличении энергии ионов (например, за счет нагревания), когда следует учитывать и второе слагаемое в выражениях (11.77) и (11.78). Запишем уравнение движения ионов в решетке:

mx = −Kx + B2 x2

или

где ω02 = K m — собственная частота колебаний ионов в линейном

приближении.

Представим уравнение (11.79) в безразмерном виде. Для этого введем безразмерные время и координату:

где b — характерный масштаб колебаний. Тогда, поделив уравнение (11.79) на ω02 и используя новые переменные, получим

где ε = Bb(2mω02 ) = Bb/(2K ) =13b/(2r0 ) (см. (11.76)) — параметр нели-

нейности. Рассмотрим случай слабой нелинейности, когда ε << 1, т.е. уравнение (11.81) имеет малый параметр.

Как и в предыдущем параграфе, будем искать решение диффе- ренциального уравнения (11.81) в первом приближения, т.е. в виде ξ = ξ(0) + εξ(1). Подставляя выражение ξ = ξ(0) + εξ(1) в уравнение (11.81) и отбрасывая слагаемые, содержащие в себе ε2 и ε3, получим следую- щее уравнение:

Решение первого уравнения (11.83) запишем в виде ξ(0) = a cosτ (в нашей задаче начальная фаза не важна). Подставив его во второе уравнение (11.83), с учетом тригонометрического равенства cos2τ = (1 + cos(2τ))/2 запишем

решение с точностью до членов порядка ε2 имеет вид (учтем, что

τ = ω0t):

Впредыдущем параграфе был рассмотрен маятник как система

скубической нелинейностью (см. (11.41)), а в данной задаче о коле- баниях ионов в решетке кристалла речь идет о системе с квадра- тичной нелинейностью (см. (11.79)). Интересно отметить, что в рамках первого приближения при исследовании колебаний маят- ника мы вынуждены были учитывать его неизохронность, а в сис- теме с квадратичной нелинейностью (11.81) частота колебаний не зависит от амплитуды колебаний а. Здесь нет противоречия. Если бы рассматривалось колебание ионов в рамках второго приближе-

ния, т.е. когда ξ = ξ(0) + εξ(1) + ε2ξ(2), то в решении было бы получено

бесконечно возрастающее во времени слагаемое. А это свидетельст- вовало бы о том, что следует учитывать неизохронность колебаний.

728

Вернемся к решению (11.85). Напомним, что ξ = x/b = (r – r0)/b оп- ределяет безразмерную величину отклонения ионов от положения равновесия в решетке кристалла. Определим среднее за период T0 = 2π/ω0 значение решения (11.85):

Величина ξ > 0 , она пропорциональна квадрату амплитуды коле-

баний а2, т.е. энергии. Это означает, что с ростом энергии колебаний ионов увеличивается не только амплитуда колебаний, но и расстоя- ние между ионами. Из курса физики известно, что энергия таких ко- лебаний определяется произведением kT(абс), где k — постоянная Больцмана , Т(абс) — абсолютная температура вещества. Отсюда, по- лучаем следующее приближенное соотношение: ξ а2 Т(абс). Таким

образом, проведенный анализ нелинейной колебательной системы по- зволил понять причины теплового расширения твердого вещества.

11.9. Собственные колебания газового пузырька в жидкости

Еще в 1917 г. в связи с проблемой кавитации (от латин- ского слова cavitas — полость) Рэлей вывел уравнение колебаний сфе- рического пузырька газа, расположенного в идеальной несжимаемой жидкости. Это уравнение представляет собой уравнение нелинейного осциллятора. Конечно, нас интересуют его решения, описывающие пульсации пузырька. Но помимо этого, уравнение Рэлея является за- мечательной иллюстрацией построения математической модели фи- зического явления. Поэтому выведем уравнение Рэлея.

Пусть пузырек выполняет пульсирующие колебания. Поместим на- чало сферической системы координат в центре пузырька. Понятно, что вследствие симметрии задачи все характеристики движения жидкости вокруг пузырька зависят лишь от радиальной координаты r. Учитывая этот факт, запишем исходные уравнения движения иде- альной несжимаемой жидкости. В сферической системе координат для скорости жидкости υr можно записать одномерное уравнение

Эйлера (см. п. 4.1.2):

Больцман (Boltzmann) Людвиг (1844—1906) — австрийский физик.

Мощное звуковое поле в жидкости порождает маленькие парогазовые пузырьки, которые под действием этого поля могут расти, захлопываться и вызывать такие эффекты, как химические реакции, эрозия, излучение звука в широком диапазоне частот [23].

729