Основы_акустики_Гринченко_Вовк

11.2. Нелинейный осциллятор

Понимая тесную связь в природе между колебательными и волновыми процессами, в начале книги мы исследовали гармониче- ские осцилляторы и линейный осциллятор с демпфированием. Есте- ственное обобщение этих линейных моделей — это модель нелинейно- го осциллятора. Примером нелинейного осциллятора является колеба- тельная система, динамика которой описывается дифференциальным уравнением второго порядка: для консервативной системы — x + f (x) = 0 , а для системы с демпфированием — x + 2δx + f (x) = 0.

Понятно, что модель нелинейного осциллятора описывает колебатель- ные явления в системах разной физической природы. Поэтому x — это динамическая переменная, о которой говорят как об обобщенной координате, f(x) — некоторая нелинейная функция, 2δ — параметр демпфирования.

Рассмотрим механический осциллятор, в котором частица массой m может свободно двигаться вдоль оси Ох, причем трение отсутству- ет. В процессе движения на частицу действует сила F(x), которая в данный момент времени зависит от координаты массы m. В соответ-

Тогда производная V′ (x) = –F(x), и уравнение движения mx = F(x) при- нимает вид mx = −V ′(x) . Напомним физический смысл функции V(x).

Итак, производная по времени равна нулю, следовательно, выраже- ние, стоящее в скобках, в процессе динамики системы остается по- стоянным:

Понятно, что это соотношение представляет собой закон сохранения механической энергии. Первый член определяет кинетическую энер- гию частицы массой m, а второй V(x) — потенциальную энергию.

701

Пусть теперь уравнение

определяет консервативный нелинейный осциллятор любой физиче- ской природы. Аналогично (11.1) введем функцию

которую называют потенциальной функцией. Используя эту функ- цию, уравнение (11.4) представим в виде

Если потенциальная функция имеет минимум, то в его окрестности система может осуществлять колебания. Пусть потенциальная функ- ция гладкая и минимум существует в точке x = 0. Тогда разложение в ряд Тейлора вблизи этой точки имеет вид (учитываем, что U′ (0) = 0):

Соответствующее разложение в ряд Тейлора функции f(x), описы- вающей восстанавливающую силу (в общем случае, различной физи- ческой природы), будет иметь вид

здесь учтено, что f(0) = 0.

Поскольку в точке х = 0 согласно предположению находится ми- нимум потенциальной функции, то U″ (0) = f′ (0) > 0. Поэтому посто- янную f′ (0) обозначим как квадрат некоторой величины, а именно:

f ′(0) = ω20 . Кроме того, введем обозначение f″ (0)/2 = α и f″′ (0)/6 = β;

эти величины могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Если в разложении (11.8) учесть только первый член, то получим уравнение линейного гармонического осциллятора x + ω20x = 0 . Эта

модель описывает в линейном приближении консервативные колеба- ния систем различной физической природы (см. рис. 2.1). Это обу- словлено тем, что ситуация, когда разложение гладкой функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности нуля начинается с члена первого порядка по x, является типичной. При этом в разложении потенциальной функции U(x) вблизи минимума первым отличным от постоянной ве- личины является квадратичный член по х, а именно:

702

U ′′(0)x2 2 = ω20x2 2 (пусть U(0) = 0). Ситуация, отличная от указан-

ной, является очень специфической в природе.

Учитывая два члена в разложении Тейлора, получим уравнение

осциллятора с квадратичной нелинейностью:

разложение потенциальной функции, которого имеет члены второй и третьей степени по х:

Понятно, что модель (11.9) описывает консервативные колебания в системе, когда амплитуда колебаний уже не настолько мала, чтобы можно было бы ограничиться линейным приближением в разложении функции f(x), и в то же время не настолько велика, чтобы были суще- ственными следующие члены ряда Тейлора. В этом случае говорят о

слабой нелинейности.

Модель с квадратичной нелинейностью (11.9) неприемлема в си- туации, когда потенциальная функция является симметричной. Если U(–x) = U(x) и, соответственно, f(–x) = –f(x), то коэффициент α = 0. По- этому для учета нелинейных эффектов необходимо принять во вни- мание следующий, кубический, член в ряде (11.8). Получим другую универсальную модель — осциллятор с кубической нелинейностью:

x + ω20x + βx3 = 0. (11.10)

Его потенциальная функция имеет в разложении члены второй и чет- вертой степени по х: U (x) = ω20x 2 + βx4 4 и является четной функци- ей.

11.3. Период колебаний нелинейного осциллятора

Выведем общую формулу для периода колебаний нелиней- ного консервативного осциллятора. Для уравнения осциллятора в ви- де (11.4) закон сохранения энергии (11.3) можно записать следующим образом:

Знак плюс соответствует движению системы в течение полупериода, когда направление скорости совпадает с направлением оси Ох, а знак минус — когда направление движения противоположное. Разделяя переменные в (11.12), получаем

Понятно, что движение является периодическим, когда U(x) ≤ E, при- чем точки поворота при движении системы xmin и xmax представляют собой корни уравнения E = U(x). Итак, период колебаний определяет- ся формулой

Для линейного осциллятора U (x) = ω20x2 2 , поэтому уравнение (11.14) примет вид

где a = 2E ω0 . В таком случае интеграл легко определить:

т.е. получаем известный результат для периода гармонических коле- баний. Поскольку зависимость от энергии Е в формуле (11.16) отсут- ствует, колебания являются изохронными, т.е. период Т не зависит от амплитуды колебаний.

В общем случае (см. формулу (11.14)) период колебаний зависит от энергии осциллятора. Итак, неизохронность, т.е. зависимость перио- да от амплитуды колебаний, — это один из фундаментальных нели- нейных эффектов.

11.4. Фазовое пространство

При исследовании нелинейных колебаний широко исполь- зуют метод фазового пространства. Возьмем, например, колебатель- ную систему, которая описывается дифференциальным уравнением второго порядка типа (11.4). Обозначив первую производную dx/dt = υ (в механических системах это скорость частицы), можно

704

свести описание динамики нелинейного осциллятора (11.4) к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:

x = υ,

Из курса математики известно, что согласно теореме существования и единственности, решение этой системы однозначно определяется, если в качестве начальных условий заданы значения двух перемен- ных х и υ = x . Тогда решение системы (11.17) в виде двух перемен- ных x(t) и x(t) полностью описывает состояние осциллятора. Функции

x(t) и x (t) можно рассматривать как независимые координаты дву- мерного пространства — фазового пространства. О таком простран- стве принято говорить как о фазовой плоскости. Понятно, если бы уравнение движения системы имело вид дифференциального уравне- ния N-го порядка, то с помощью соответствующей замены перемен- ных его можно было бы свести к системе N дифференциальных урав- нений первого порядка. При решении такой системы получаем N пе- ременных, совокупность которых образует N-мерное фазовое про- странство. Точку в фазовом пространстве, которая определяет со- стояние системы в определенный момент времени, называют фазо- вой точкой. Изменение состояния системы во времени соответствует движению фазовой точки вдоль некоторой ориентированной траек- тории, которую называют фазовой траекторией.

Согласно теореме о существовании и единственности фазовые траектории не могут пересекаться. В противоположном случае это бы означало, что для одного и того же состояния, которое соответствует одной точке в фазовом пространстве, система имела бы разные ва- рианты эволюции во времени, что не имеет физического смысла для системы, в которой отсутствуют любые случайные параметры.

Осциллятор как физическая колебательная система является сис- темой с одной степенью свободы. Он описывается дифференциаль- ным уравнением второго порядка, которое эквивалентно двум урав- нениям первого порядка. Поэтому одному дифференциальному урав- нению первого порядка удобно поставить в соответствие половину степени свободы. Итак, система, которая определяется N уравнения- ми первого порядка, имеет N/2 степеней свободы. Например, система имеет полторы степени свободы, если она описывается тремя обык- новенными дифференциальными уравнениями первого порядка.

11.5. Особые точки и их классификация

Оставим на некоторое время нелинейный осциллятор и рассмотрим систему, которая эволюционирует во времени и описыва-

705

ется двумя дифференциальными уравнениями первого порядка обще- го вида:

Особый интерес вызывают решения системы (11.18), не зависящие от времени, в этом случае производные dx/dt и dy/dt равны нулю. Для таких решений получаем систему уравнений:

Это алгебраическая система двух уравнений с двумя неизвестными, в типичном случае такая система имеет корни. Каждая пара (x0, y0), удов- летворяющая системе (11.19), соответствует некоторой точке на фазо- вой плоскости. Эти точки называют особыми или недвижимыми точ- ками. С физической точки зрения особые точки соответствуют со- стояниям равновесия системы. С помощью достаточно простого ана- лиза можно исследовать поведение фазовых траекторий в окрестности особой точки, и на его основе провести классификацию особых точек. Обладая знаниями о свойствах особых точек и их расположении на фазовой плоскости, можно сделать выводы относительно структуры фазового пространства и характера возможных колебательных про- цессов в системе.

Итак, пусть (x0, y0) — особая точка системы (11.18). Будем искать близкое к особой точке решение в виде

Подставим эти выражения в (11.18) и разложим функции в правых частях обеих уравнений в ряды Тейлора по малым величинам x и y ,

пренебрегая при этом членами второго и высших порядков малости.

При этом учтем, что h(x0, y0) = 0 и g(x0, y0) = 0, ведь (x0, y0) — особая точка. Как следствие, получим

где нижние индексы означают частные производные функций h(x, y) и g(x, y) по соответствующему аргументу.

Система (11.21) представляет собой систему линейных дифферен- циальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициен- тами. Для ее решения традиционно рекомендуется искать решение в

виде x(t) = a exp(λt ), y(t) = b exp(λt ). Тогда величины a и b должны удовлетворять линейной системе уравнений:

706

Она имеет решение, если

(hx(x0, y0) – λ)(gy(x0, y0) – λ) – gx(x0, y0)hy(x0, y0) = 0,

Последовательно подставляя в (11.22) корни λ1 и λ2, определяем ре- шения системы (11.22) относительно неизвестных a и b. Для корня λ1 находим числа a1 и b1, а для λ2 — a2 и b2, соответственно. Итак, част- ные решения системы (11.21) имеют вид

Эти решения характеризуют поведение фазовых траекторий вблизи особой точки (x0, y0): в направлении вектора с координатами {a1, b1} поведение фазовой траектории определяется экспоненциальной за- висимостью exp(λ1t), а в направлении вектора с координатами {a2, b2} — экспоненциальной зависимостью exp(λ2t).

Общее решение системы (11.21) определяется суперпозицией ча-

где c1 и c2 — постоянные, которые находят из начальных условий в момент времени t = 0: x(0) = x0, y(0) = y0. Эти условия соответствуют

на фазовой плоскости координатам точки, из которой начинается фазовая траектория (она расположена вблизи особой точки (x0, y0),

см. (11.20)).

Итак, характер фазовых траекторий в окрестности особой точки определяется корнями λ1, λ2 (рис. 11.1):

1)λ1 < 0, λ2 < 0, здесь начальное возмущение со временем затухает

истремится к нулю, т.е. система приближается к особой точке. О та-

707

кой особой точке говорят, что она устойчивая. В данном случае ее называют устойчивый узел.

Рис. 11.1. Области значений корней λ1 и λ2 на плоскости параметров (S, D), которые соответствуют разным типам особых точек [26, с. 67]:

втемной области корни λ1 и λ2 являются комплексно сопряженными; на графиках показаны фазовые траектории в окрестности особых точек

2)λ1 > 0, λ2 > 0, здесь начальное возмущение возрастает, и система удаляется от особой точки. О такой точке говорят, что она неустой-

чивая. Имеем неустойчивый узел.

3)λ1 > 0, λ2 < 0, здесь наблюдается экспоненциальное уменьшение

водном направлении и экспоненциальное увеличение в другом; такая особая точка неустойчивая, ведь со временем система удаляется от нее. Такую особую точку называют седло. Фазовые траектории, кото- рые идут в седловую точку и уходят от нее, называются сепаратри- сами (от латинского слова separatio — разделение). Как мы убедимся ниже, сепаратрисы действительно разделяют области фазовой плос- кости, где наблюдается движение разного характера. Графически на рис. 11.1 сепаратрисы пересекаются в седловой точке, что противо- речит, как уже отмечалось, математическим условиям и физическому смыслу. Однако фактически пересечения нет (об этом см. п. 11.6.1).

4)λ1,2 = λ′ ± иλ″, здесь согласно (11.26) зависимость возмущения во времени определяется выражением exp(λ′t)cos(λ″t + ψ ). Если λ′ > 0, то

708

особая точка неустойчивая, ее называют неустойчивый фокус; в ее окрестности фазовые траектории раскручиваются по спирали от осо- бой точки;

5) λ1,2 = λ′ ± иλ″, причем λ′ < 0, здесь имеем устойчивую особую точку, которую называют устойчивый фокус; в ее окрестности фазо- вые траектории закручиваются по спирали по направлению к особой точке.

Все другие ситуации соответствуют положению системы на плос- кости параметров (S, D) (рис. 11.1) на границах между рассмотрен- ными областями. Они неинтересны с физической точки зрения, ведь любое малое изменение параметров системы смещает ее в одну из об- ластей, тем самым, изменяя природу особой точки и характер фазо- вых траекторий в ее окрестности. Такое резкое изменение динамики системы называется бифуркацией (от латинского слова bifurcus — раздвоение), а значение параметра, при котором бифуркация имеет место, — бифуркационным параметром.

Исключение составляет случай, когда S = 0, D > 0. Дело в том, что на этой границе “живут” консервативные системы. Для нее согласно

(11.24) λ1,2 = ±i D , поэтому зависимость возмущения от времени яв-

ляется гармонической, т.е. cos (λt + ψ ). Такую особую точку называют центром. В окрестности особой точки типа центр фазовые траекто- рии имеют вид вложенных одна в одну замкнутых кривых, что ха- рактеризует периодическое движение колебательной системы. По- нятно, что выбор конкретной фазовой траектории обусловливается начальным возмущением.

Перечисленные выше типы особых точек определяют динамику ко- лебательной системы на фазовой плоскости и характеризуют природу состояния равновесия колебательной системы. Фактически особые точ- ки являются организующими центрами динамики колебательной систе- мы. Их расположение на фазовой плоскости в совокупности с типич-

ными траекториями называют фазовым портретом динамической системы (словосочетание “динамическая система” указывает на то, что исследуется математическая модель любой по природе физической сис- темы). Фазовый портрет позволяет единым взглядом оценить характер движения (в общем случае, динамики) в системе.

11.6. Фазовый портрет динамической системы

Рассмотрим основные положения процесса построения фа- зового портрета динамической системы. Для этого проведем более де- тальное исследование вида фазовых траекторий в окрестности осо- бых точек.

709

11.6.1. Консервативная система

Пусть для консервативного осциллятора x + f (x) = 0 функ-

ции f(x) соответствует потенциальная функция U(x) (см. (11.4), (11.5)). Точки, в которых функция f(x) равна нулю, являются точками состоя- ния равновесия. Действительно, в состоянии равновесия система может находиться неограниченное время; этой ситуации соответст- вует решение уравнения в виде постоянной x(t) = x0, υ(t) = x(t) = 0 . По-

скольку f(x) = U′ (x), то состояние равновесия — это точки, где потен- циальная функция имеет локальные максимумы или минимумы. Ми- нимум U(x) определяет устойчивое состояние равновесия, а максимум U(x) — неустойчивое. В первом случае смещение частицы из точки равновесия приводит к появлению восстанавливающей силы, кото- рая стремится возвратить систему в состояние равновесия, а во вто- ром — к появлению силы, которая способствует дальнейшему ее дви- жению от состояния равновесия. В точках равновесия скорость ос-

циллятора равна нулю, поэтому на фазовой плоскости (x,x ) эти точ-

ки расположены на оси абсцисс. Это особые точки на фазовой плос- кости осциллятора.

В типичном случае локальные максимумы и минимумы гладкой потенциальной функции — это квадратичные экстремумы, т.е. в ок- рестности точки экстремума график функции аппроксимируется па- раболой (см. формулу (11.7)). Случай квадратичного экстремума охва- тывает большинство практически интересных ситуаций, тогда как иной вид потенциальной функции характеризует очень специфиче- скую ситуацию.

Чтобы определить вид фазовых траекторий, обратимся к закону сохранения энергии (11.11). Постоянная Е — это полная энергия ос- циллятора, которую определяют в соответствии с начальными усло- виями, подставляя в левую часть уравнения (11.11) значение x(0) и x(0) для момента t = 0. Тогда при t > 0, т.е. в процессе колебаний ос-

циллятора, фазовая точка на плоскости (x,x ) будет вычерчивать ли-

нию, которая соответствует данному значению постоянной Е, т.е. по- лучаем конкретную фазовую траекторию. При других начальных ус- ловиях получим другое значение постоянной Е, и ему будет соответ- ствовать другая кривая. Итак, полагая для постоянной Е разные зна- чения, можем построить совокупность фазовых кривых на фазовой плоскости.

На рис. 11.1 представлен вид фазовых траекторий вблизи особых точек. Определим более детально их структуру для случаев, показан- ных на рис. 11.2. В окрестности точки локального минимума х1 (рис. 11.2, а) представление потенциальной функции в виде ряда Тейлора

710