Основы_акустики_Гринченко_Вовк

то она снова вернется в режим постоянных автоколебаний с той же амплитудой, но, в общем случае, с другой фазой. Если существует пе- риодическое внешнее воздействие, то даже при его малой амплитуде появившийся сдвиг фазы постепенно будет накапливаться, и за не- которое время фаза окажется существенно сдвинутой. В итоге это может привести к режиму синхронизации.

Следует подчеркнуть существенное отличие между вынужденны- ми колебаниями и явлением синхронизации. Магнитный маятник в переменном поле электромагнита колеблется с частотой магнитного поля. Если эта частота изменится, то изменится и частота колебаний маятника. Однако этот случай не может быть назван синхронизаци- ей, поскольку одна из двух взаимодействующих систем, а именно: маятник, не имеет собственного ритма. Действительно, если мы раз- рушим связь между системами, например, расположим металличе- скую пластину между электромагнитом и маятником, то со временем маятник остановится. Итак, не бывает синхронизации без наличия автоколебаний в системе.

Если мы имеем две слабо связанные автоколебательные системы, то можно говорить, что каждая из них осуществляет внешнее воздей- ствие на другую. Как следствие, может возникнуть такой установив- шийся режим, в котором колебания в обеих системах происходят синхронно с одной и той частотой. Это эффект взаимной синхрониза-

ции связанных систем.

Здесь следует особенно подчеркнуть, что речь идет именно о сла- бой связи между автоколебательными системами. Если связь не сла- бая, то она накладывает сильные ограничения на движение двух сис- тем и естественно рассматривать всю систему как единое целое, на- пример, два маятника часов, соединенных жесткой связью. Понятно, что достаточно сложно определить границу между слабой и сильной связями. Скажем так: введение связи не должно качественно изме- нять поведение каждой из взаимодействующих систем и не должно лишать систему ее индивидуальности. В частном случае, если одна система перестает колебаться, то это не должно помешать другой системе поддерживать свой собственный ритм.

Поэтому, если в некотором эксперименте мы имеем переменные, изменяющиеся во времени синхронно, то это не обязательно означа- ет, что мы наблюдаем синхронизацию.

Таким образом, одного наблюдения недостаточно, чтобы сделать вывод о наличии синхронизации. Синхронизация — это сложный ди-

намический процесс, а не состояние [40, с. 38]. В обоих случаях син-

хронизации (внешняя и взаимная) проявляются одинаковые эффек- ты синхронизации, которые определяются двумя механизмами: за- хватом собственных частот (и соответственно фаз) или же подавлени- ем одной из собственных частот взаимодействующих систем.

791

Впервые эффект синхронизации был описан в XVII столетии Гюй- генсом для механических автоколебательных систем — маятниковых часов. О своем открытии он писал в письме к отцу от 26 февраля 1665 года (см. эпиграф к данному разделу). Как следует из этого письма, от- крытие синхронизации было сделано в то время, когда Гюйгенс был болен и, вынужденный оставаться несколько дней в постели, наблюдал за двумя часами, висевшими на стене. Гюйгенс не только описал сам эксперимент, но и дал замечательное качественное объяснение эффек- та взаимной синхронизации [40, с. 19-20].

Рис. 11.35. Оригинальный рисунок Христиана Гюйгенса, иллюстрирующий его эксперименты с двумя маятниковыми часами, подвешенными к общей балке [40, с. 20]

“Очень важно отметить, что когда мы подвесили двое ... часов к одной и той же деревянной балке (рис. 11.35), оба маятника двига- лись всегда в противоположные стороны, и колебания так точно сов- падали, что никогда ни на сколько не расходились. Тиканье обоих часов было слышно в одно и то же мгновение. Если это совпадение искусственно нарушалось, то оно само восстанавливалось в короткое время. Сначала я был поражен этим странным явлением, но, нако- нец, после внимательного исследования нашел, что причина лежит в незаметном движении самой балки. Колебания маятника сообщают некоторое движение и самым часам, как бы тяжелы они ни были. А это движение передается балке, и, если маятники сами не двигались в противоположных направлениях, то теперь это произойдет с необ- ходимостью, и только тогда движение балки прекратится. Но эта причина не была бы достаточно эффективна, если бы ход обоих ча- сов не был с самого начала очень однороден и согласован между со- бой”.

Таким образом, Гюйгенс понял, что согласованность ритма двух часов была вызвана невозможными для восприятия глазом движе- ниями балки. В современной терминологии это означает, что часы были синхронизированы в противофазе за счет связи через балку.

792

Всередине XIX столетия Рэлей описал интересное явление синхро- низации в акустических системах [50, т. 2, с. 216].

“Когда две органные трубы с одинаковой высотой звука распо- ложены рядом, возникают последствия, которые изредка приводят

кпрактическим проблемам. В экстремальных случаях трубы могут заставить друг друга почти замолчать. Даже если взаимное влия- ние не столь сильно, то оно может, тем не менее, быть причиной того, что трубы будут звучать в унисон, несмотря на неизбежные малые различия”.

Итак, Рэлей наблюдал не только взаимную синхронизацию, когда разные, но схожие, органные трубы начинают звучать в унисон, но и эффект гашения колебаний, когда связь приводит к подавлению ко- лебаний во взаимодействующих системах.

На сегодня эффект синхронизации исследован в разных устройст- вах: от маятниковых часов до музыкальных инструментов, электрон- ных генераторов, силовых электрических устройств и лазерах; вооб- ще, для него найдено много применений в инженерном деле. Большое значение имеет исследование синхронизации в биологических систе- мах, где она встречается на различных уровнях. Представление о синхронизации позволяет объяснить совсем нетривиальные и не- обычные явления, такие как подстройка биологических ритмов жи- вых существ под внешнее воздействие (например, суточный цикл), синхронизация свечения скопления светлячков, игра в унисон ан- самбля скрипачей, синхронизация аплодисментов в театре и т.п.

Всовременной нелинейной динамике определился более широкий взгляд на синхронизацию, чем в классической теории колебаний. Здесь мы рассматриваем только периодические автоколебания. Но выяснилось, что возможны и более сложные режимы автоколебаний, в том числе квазипериодические и даже хаотические. Понятно, что возможно возникновение разных ситуаций. Так при однонаправлен- ной связи систем можно говорить о синхронизации систем внешним сигналом — регулярным или хаотическим. При наличии взаимного влияния двух систем могут возникнуть разнообразные режимы вза- имной синхронизации. Но эти вопросы выходят за рамки нашей кни- ги.

11.15.2. Синхронизация периодических автоколебаний внешним воздействием

В этом пункте, в общих чертах, рассмотрим простейший случай синхронизации — захват частоты периодических автоколеба- ний внешней силой. Такая однонаправленная связь между автоколе- бательной системой и внешним воздействием — это не только упро- щение, позволяющее дать наиболее ясное описание эффекта синхро-

793

низации, но и модель, которая соответствует многим реальным си- туациям. В качестве примера можно привести биологические часы, которые задают циркадный (от латинских слов circa — близко, dies — день, т.е. близкий к суточному) ритм клеток и организмов. Этот ритм управляется периодическим влиянием, которое возникает вследствие вращения Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца. Понятно, что та- кое влияние — однонаправленное.

В параграфе 11.11 было рассмотрено уравнение Рэлея (11.102), представляющее модель автоколебательной системы с нелинейной си- лой трения. В нем положительное нелинейное сопротивление зависит от скорости x . Если теперь определить эту составляющую как функ- цию обобщенной координаты х, то получим уравнение Ван дер Поля :

Модели Рэлея (11.102) и Ван дер Поля (11.152) — это базовые (т.е. наиболее простые) модели автоколебательных систем, генерирующих квазигармонические колебания. Кроме того, они описывают целый ряд механических, электронных и биологических систем, в которых наблюдаются автоколебания. Они также являются базовыми моделя- ми для исследования эффектов синхронизации как при действии внешней периодической силы (вынужденная синхронизация), так и при взаимодействии двух связанных генераторов (взаимная синхро- низация).

Для исследования вынужденной синхронизации введем в уравне- ние (11.152) гармоническую внешнюю силу и рассмотрим динамику периодически возбуждаемого осциллятора Ван дер Поля:

где a и ω — амплитуда и частота внешней силы; ω0 — собственная частота осциллятора; ε — параметр, который определяет степень не- линейности и глубину обратной связи в системе.

Пусть нелинейность в системе слабая, т.е. 0 < ε << 1. В этом случае при a = 0 автоколебания в системе близки к гармоническим. Пусть также амплитуда a внешней силы есть малая величина и частоты ω0 и ω близки друг другу. Указанные условия позволяют применить для исследования осциллятора (11.153) метод Ван дер Поля [26, 36, 38].

Согласно методу Ван дер Поля будем находить решение уравнения (11.153) в виде квазигармонического колебания:

Ван дер Поль (Van der Pol) Балтазар (1889—1959) — голландский физик.

794

где звездочка обозначает комплексное сопряжение; A(t) — комплекс- ная амплитуда, которая изменяется медленно, в сравнении с функ-

цией exp(iωt ). Модуль и аргумент функции A(t) определяют медлен-

ные изменения амплитуды и фазы колебаний. В связи с этим этот ме-

тод называют также методом медленного изменения амплитуды.

Далее нетрудно определить, что

x (t ) = 12 A (t )exp(iωt )+ i2ω A (t )exp(iωt )+

Отметим, что вместо одной зависимой переменной по сути введено

две: A и A . Поэтому между этими величинами можно ввести допол- нительную связь. Пусть

Подставляя (11.254), (11.157), (11.158) в исходное уравнение (11.153)

и разделив его на exp (iωt), после ряда преобразований будем иметь следующее уравнение:

Теперь усредним уравнение (11.159) по периоду внешней силы T = = 2π/ω:

795

Поскольку A(t) — функция, которая изменяется медленно на протя- жении периода T , то при усреднении ее можно вынести за знак ин- теграла. Тогда быстро осциллирующие составляющие (т.е. слагаемые, которые имеют комплексные экспоненты) в уравнении (11.159) пре- вратятся в нули, и в результате получим уравнение

Чтобы уменьшить количество параметров введем следующие обозна- чения:

Умножив (11.164) на exp (–iϕ) и выделив действительную и мнимую части, получим уравнение для мгновенной амплитуды B(t) и мгновен- ной фазы ϕ (t):

Отметим, что полученная в приближении медленного изменения амплитуды и фазы система уравнений (11.165), (11.166) может опи- сывать колебательный процесс в исходном уравнении (11.153) при условии, что b ≤ 0,05 [3, с. 97].

Уравнения (11.165), (11.166) по смыслу представляют собой усред- ненные по времени уравнения (см. (11.160)). Поэтому неподвижной

точке (состоянию равновесия) системы (11.165), (11.166) ( B = 0, ϕ = 0 )

796

будет отвечать периодическое решение исходного уравнения (11.153), а периодическому решению (11.165), (11.166) — двухчастотное ква- зипериодическое решение (11.153).

Предположим, что решением системы (11.165), (11.166) является неподвижная точка B = 0, ϕ = 0 и она устойчива. Условие B = 0 озна-

чает постоянное во времени значения амплитуды (B(t) = const), а ус- ловие ϕ = 0 — постоянное значение фазы (ϕ(t) = const) комплексной

амплитуды A (t ) = B (t )exp(iϕ(t )). Тогда, согласно (11.154), решением уравнения (11.153) будет x (t ) = B0 cos (ωt + ϕ0 ), где B0 и ϕ0 — посто-

янные. Таким образом, частота автоколебаний осциллятора (11.152) изменится и будет равна частоте внешней силы ω. При этом ампли- туда колебаний во времени изменяться не будет. Автоколебательная система “подстроиться” по частоте, т. е. будет иметь место эффект вынужденной синхронизации.

Рис. 11.36. Область синхронизации, или язык Арнольда (серый цвет), на плоскости параметров (b, )

Расчеты показывают [26, 40], что на плоскости параметров (b, ) (pис. 11.36) существует область значений (область синхронизации), в которой неподвижная точка системы (11.165), (11.166) является ус- тойчивой, что соответствует, как мы уже знаем, периодическому ре- шению исходного уравнения (11.153). На границе этой области не- подвижная точка теряет устойчивость, и из неподвижной точки рож- дается предельный цикл, т.е. имеем периодическое решение системы (11.165), (11.166). Это означает, что на плоскости параметров мы вышли из области устойчивости, и исходное уравнение (11.153) будет иметь двухчастотное решение. Соотношение этих частот может быть произ- вольным, в том числе и иррациональным. В таком случае имеем дело не с периодическим, а с квазипериодическим колебательным процессом, который называют режимом биений (см. параграф 2.7). На рис. 11.36

797

область синхронизации выделена серым цветом, ее называют языком Арнольда (по форме напоминает язык).

Рассмотрим возможность дальнейшего упрощения анализа нашей задачи. Как отмечалось, параметр нелинейности ε является малой ве- личиной (ε << 1). Пусть амплитуда внешнего воздействия b также ма- лая величина, причем b << ε << 1. Тогда в нулевом приближении по b (т.е., отбрасывая второе слагаемое в правой части уравнения (11.165)) определяем амплитуду установившихся (B = 0) колебаний B = 2 и

подставляем ее в уравнение (11.166). Такую подстановку можно осу- ществить, поскольку соответствующий член в уравнении (11.166) имеет множитель b. Как следствие, получим уравнение для одной пе- ременной — фазы комплексной амплитуды колебаний:

Такое упрощение дает возможность, в рамках указанных предпо- ложений, легко определить область устойчивости (ϕ = 0) на плоскости

параметров (b, ). Понятно, что данная область определяется условием

< b/2 . Если зафиксировать амплитуду воздействия b и изменять

его частоту (т.е. параметр ), то синхронизация будет существовать в интервале значений отклонений частот < b/2 , который называют

полосой синхронизации. Ее ширина, в рамках принятых приближе- ний, увеличивается прямо пропорционально амплитуде воздействия

(см. рис. 11.36).

С целью иллюстрации правомерности проведенного приближенно- го анализа, приведем некоторые результаты численного решения на ЭВМ исходного уравнения (11.153). На рис. 11.37 представлены ре-

зультаты такого решения при ε = 0,1, ω20 =1, b = a /(2ω) = 0,04 и раз-

ных частотах внешнего воздействия ω, а именно, рис. 11.37, а —

ω/ω0 =1,015 ; б — ω/ω0 =1,025 ; в — ω/ω0 =1,035 .

Как видим, рис. 11.37, а соответствует режиму синхронизации, а 11.37, б, в — режиму биений. На рис. 11.37, б, в, где имеет место ре- жим биений, можно наблюдать постепенное уменьшение периода биений при увеличении отклонения . Согласно рис. 11.36 числен- ные значения параметров b и , соответствующие расчетам на рис. 11.37, а, находятся внутри языка Арнольда, а для других расчетов — вне области синхронизации.

Очевидно фазовые портреты осциллятора (11.153) при указанных на рис. 11.37 параметрах будут разными. В этом не трудно убедить- ся. Представим уравнение (11.153) в виде системы дифференциаль-

798

ных уравнений первого порядка, введя фазовые переменные x1 = x , x2 = x , x3 = ωt :

Рис. 11.37. Численное решение уравнения Ван дер Поля (11.153) при ε = 0,1; ω20 =1; b = 0,04 и разных частотах внешнего влияния ω/ω0:

а — 1,015; б — 1,025; в — 1,035. На оси абсцисс отложено нормированное время t/T, T = 2π/ω; (начальные скорость и смещение осциллятора равны

нулю)

799

Численное решение системы (11.168) показано на рис. 11.38. Здесь представлены проекции фазового портрета на плоскость фазо- вых переменных x1 = x , x2 = x для двух значений частоты внешнего

воздействия рис. 11.38, а — ω/ω0 =1,015 ; б — ω/ω0 =1,035 (началь-

ный участок колебательного процесса отброшен). Рис. 11.38, а соот- ветствует рис. 11.37, а, здесь наблюдается режим синхронизации, при котором частота автоколебаний становится равной частоте внешнего воздействия. Рис. 11.38, б соответствует рис. 11.37, в, тут в отклике системы присутствуют две частоты, что определяет возник- новение биений. Проекция фазового портрета на рис. 11.38, б пред- ставляет собой двумерный тор, “толщина” тора определяется глубиной

амплитудной модуляции в зависимости x (t ) на рис. 11.37, в. На рис.

11.38, б расчеты намеренно представлены для относительно неболь- шого интервала времени, чтобы показать, как фазовая траектория заполняет поверхность тора. При увеличении промежутка времени поверхность тора на рисунке полностью окрасится в черный цвет.

Рис. 11.38. Численное решение системы уравнений (11.168) при ε = 0,1; ω20 =1; b = 0,04 и разных частотах внешнего влияния ω/ω0:

а— 1,015; б — 1,035

11.16.Задачи

11.1. Масса m колеблется на пружине, для которой зави-

симость упругой силы от деформации имеет вид F = kx +cx3 , где k и c — положительные коэффициенты. Постройте фазовый портрет сис- темы. В чем его отличие от фазового портрета соответствующей ли- нейной системы? Укажите область на фазовой плоскости, в пределах которой систему можно считать линейной.

800