Основы_акустики_Гринченко_Вовк

После подстановки выражений (10.144)—(10.146) в систему (10.147)— (10.149), с учетом ортогональности соответствующих наборов функций, проводим стандартную процедуру алгебраизации функциональных соотношений (10.147)—(10.149), которая приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода относи- тельно неизвестных коэффициентов An, Bn, Cn. Отметим, что когда основной интерес представляют характеристики поля в точках про- странства, удаленных от угловых (так и есть в нашей задаче), то, дос- таточную точность результатов можно обеспечить с помощью метода простой редукции, удерживая в системе определенное количество уравнений. Именно так и будем делать, поскольку нашей целью явля- ется анализ звукового поля, рассеянного барьером. Далее, как обыч- но, исследуется отклонение при выполнении условий сопряжения на границе раздела частичных областей. Опуская этот типичный анализ, отметим, что целиком удовлетворительные для практики результаты можно получить, если общее количество неизвестных комплексных коэффициентов составляет приблизительно 120-240.

Рассмотрим пространственное распределение уровня амплитуды звукового давления Np как наглядной и информативной характери- стики поля. Эта характеристика определяется таким образом: Np = 20lg (| p |/| p0 |), где давление p определяется одной из формул (10.144)—(10.146) в зависимости от положения точки наблюдения M, а p0 — давление источника в точке наблюдения при отсутствии экра- на. На рис. 10.42 приведены данные, рассчитанные для разных час- тот при высоте барьера h = 4 м и расстоянии от источника до барьера b = 6 м.

Оттенки от черного до белого цветов на рис. 10.42 позволяют представить интерференционную картину звукового поля, которая образуется вследствие суперпозиции волны р0 от источника и волн, рассеянных барьером. Как видим, с ростом частоты увеличивается общая глубина звуковой тени за барьером, этого и следовало ожидать, учитывая рост волновой высоты барьера. Также с ростом частоты возрастает неравномерность поля за и перед барьером. Построенное решение дает возможность провести оценку шумозащитных свойств барьера для широкого диапазона частот и при разных положениях источника относительно барьера.

Рис. 10.42. Распределение звукового поля вокруг четырехметрового барьера (рисунок размещен на стр. 683), b = 6 м:

а — f = 34 Гц, б — f = 85 Гц, в — f = 850 Гц

682

683

10.10. Излучение звука системой соосных пьезокерамических колец

В классической постановке задачи об излучении звука считают заданной колебательную скорость на поверхности излучаю- щих тел [31, 41]. Такой подход является в значительной мере оправ- данным, когда рассматриваются одиночные источники звука. Одна- ко, при изучении излучающих систем, состоящих из нескольких излу- чателей с автономными источниками питания, важными являются вопросы акустического взаимодействия (в параграфе 7.11 мы рас- сматривали этот вопрос на примере простейшей ситуации взаимо- действия пары точечных источников).

Рис. 10.43. Пример системы соосных колец: 1-5 — кольца, 6, 7 — экраны

Для исследования свойств одной из практически интересных сис- тем такого типа рассмотрим осесимметричную задачу об излучении звука соосным набором тонких упругих цилиндрических колец, осу- ществляющих только радиальные колебания (рис. 10.43). Будем счи- тать, что торцы этой конструкции закрыты акустически жесткими экранами, во внутреннем объеме — вакуум, щели между кольцами отсутствуют, однако на их взаимные смещения ограничения не на- кладываются. На электроды каждого кольца подается электрическое

684

напряжение, которое гармонически изменяется во времени с часто- той ω и в общем случае различается как по амплитуде, так и по фазе. Данная система колец находится в идеальной сжимаемой среде с плотностью ρ и скоростью звука с.

В общих чертах опишем схему построения решения поставленной задачи с использованием метода частичных областей. Для этого вве- дем сферическую (r, θ) и цилиндрическую (R, z) системы координат с общим центром O, а всю область существования звукового поля раз- делим на две области (рис. 10.43):

I — r ≥ r0, 0 ≤ θ ≤ π; II — r ≤ r0, θ0 ≤ θ ≤ π – θ0, R ≥ R0, |z| ≤ H.

Звуковое давление в области I, которая представляет собой внеш- ность сферы радиуса r0, запишем в виде (см. п. 7.12.2):

∞ (1)

p1 = ∑ Anhn (kr )Pn (cos θ), (10.150) n =0

где k = ω /c. Давление в области II представим в виде суммы двух ря- дов:

(удобно выбрать именно такое условие, ведь экраны 6,7 на рис. 10.43

— акустически жесткие), т.е. αn = nπ/H. Выбор функций cos(αnz) в формуле (10.151) обусловлен симметрией задачи относительно плос- кости z = 0, поэтому достаточно использовать только четные функ-

ются через соответствующие модифицированные функции Бесселя [49, 52]. Сферические функции Бесселя первого рода нецелого поряд-

ка обозначены jqn (kr ) [49, 52]. В выражении (10.151) введено еще

такое обозначение:

Tqn (cos θ) = Pqn (cos θ)+ LnQqn (cos θ),

где Pqn (cos θ), Qqn (cos θ) — функции Лежандра первого и второго

рода. Величины qn и Ln для случая жестких границ определяются из системы уравнений: dTqn /dθ = 0 при θ = θ0 и θ = π − θ0 .

Выражение (10.151) является общим решением уравнения Гельм- гольца в области II, которая ограничена, с одной стороны, цилиндри- ческой поверхностью R = R0, |z | ≤ H, а с другой — поверхностью сферического пояса r = r0, θ0 ≤ θ ≤ π – θ0. Действительно, первый ряд в

685

свойства на поверхности сферического пояса, разделяющего области

II и III.

При определении радиальных колебаний тонкого пьезокерамиче- ского кольца полагаем, что:

1)толщина кольца δ значительно меньше, чем радиус R0 его сре- динной поверхности, что позволяет пренебречь изменением механи- ческих и электрических величин в радиальном направлении и, следо- вательно, рассматривать колебание срединной поверхности кольца;

2)высота кольца h настолько меньше его радиуса R0, что можно пренебречь энергией деформаций изгиба и считать, что в пределах одного кольца смещение его срединной поверхности не изменяется вдоль координаты z.

Тогда, определяя гармоническую зависимость напряженности

электрического поля, можно, как это сделано в работе [ ], перейти от дифференциального уравнения колебаний тонких колец к уравнению вида (считаем источник электрического напряжения идеальным):

где j = 1, 2, …, M—номер кольца, υj — колебательная скорость j-го коль- ца, Uj — электрическое напряжение на j-м кольце, Fj = ∫ p2dS — сила,

S j

действующая на внешнюю поверхность j-го кольца, Zj — собственное механическое сопротивление кольца, Nj — коэффициент электромеха- нической трансформации. С учетом сил вязкого трения в материале кольца запишем соотношения:

ω0 j — собственная частота j-го кольца в вакууме.

Сформулируем систему функциональных уравнений, которая объ- единяет условия непрерывности поля на границах раздела областей:

Басовский В.Г. Излучение звука конечной решеткой из открытых пье- зокерамических колец // Акуст. вісн. — 1998. — 1, № 2. — С. 3—20.

686

и уравнение колебаний j-го (j = 1, 2, …, M) кольца (10.152).

Далее, о чем уже не раз говорилось, определенная система функ- циональных уравнений превращается в систему линейных алгебраиче- ских уравнений второго рода относительно неизвестных An, Bn, Cn, υj, численное решение которой дает возможность определить параметры акустического поля и колебательные скорости колец.

Рис. 10.44. Частотные зависимости модулей колебательных скоростей колец (а) и мощностей (б) в ближнем (кривые 1—3) и дальнем (кривая 4) полях; (номера кривых соответствуют номерам колец)

Расчеты были проведены для набора из пяти идентичных колец, изготовленных из пьезокерамики ЦТБС-3; величины H/R0, h/R0, δ/R0,

Q, ρc были равны 1,67; 0,67; 0,11; 21,0; 1,5 106 кг/(м2с), соответст-

венно. Сначала рассмотрим случай, когда электрическое напряжение

687

подается только на среднее кольцо, т.е. U3 =U0 ; Uj = 0, j = 1,2,4,5. На

рис. 10.44 представлены частотные зависимости модулей колебатель- ной скорости и мощности излучения колец, определенные по отноше- нию к напряжению U0 =1 В. По сути эти характеристики определяют

чувствительность данной антенны в режиме излучения. Заметим, что в соответствии с симметрией задачи (рис. 10.43) относительно плос- кости z = 0 справедливы равенства υ1 = υ5, υ2 = υ4, поэтому количест- венные данные на рис. 10.44 приведены для первых трех колец.

Общий ход кривых на рис. 10.44 имеет типичный вид, характер- ный для большинства механических систем, которые колеблются в жидкости. Однако более важным и интересным является тот факт, что колебания среднего (“активного”) кольца в окружающей среде вы- зывают колебания остальных (“пассивных”) колец (номера кривых на рис. 10.44 соответствуют номерам колец).

Этот интересный факт указывает на проявление эффекта акусти- ческого взаимодействия, вследствие чего “пассивные” кольца начи- нают поглощать энергию из ближнего поля, которая излучается “ак- тивным” кольцом (см. кривые 1, 2, рис. 10.44, б). Как следствие этих сложных процессов, возникает значительная разница между акусти- ческой энергией в дальнем поле (кривая 4) и энергией на поверхности “активного” кольца (кривая 3, рис. 10.44, б). (На рис. 10.44, б энергия излучения имеет положительный знак, а поглощение — отрицатель- ный.) Проведенный анализ позволяет убедиться в том, что различные конструктивные элементы, расположенные вблизи источников звука, могут существенным образом влиять на энергетическую эффектив- ность последних.

Теперь сделаем “активными” все кольца, причем подадим на все кольца одинаковый электрический сигнал. На рис. 10.45 представле- ны частотные зависимости модуля и фазы колебательных скоростей колец (рис. 10.45, а) и их излучаемых мощностей (рис. 10.45, б). В приведенных зависимостях естественно выделить три зоны, а имен- но, первую (низкочастотную) ω /ω 0 < 0,6, вторую (резонансную) 0,6 < ω /ω 0 < 1,1 и третью (высокочастотную) ω /ω 0 > 1,1. Из рисунка следует, что в первой зоне колебательная скорость колец и их излу- чаемая мощность достаточно быстро уменьшаются с понижением частоты и, что самое главное, эти параметры становятся одинаковы- ми для всех колец. Этот факт не является неожиданным, он связан с тем, что с понижением частоты быстро возрастает механическое со- противление колец (в этой зоне оно имеет упругий характер), в то время как сопротивление излучения падает, поэтому роль взаимодей- ствия колец через поле незначительна, и колебательные скорости полностью определяются собственным механическим сопротивлением колец. На высоких частотах (в третьей зоне) уменьшение колебатель-

688

ных скоростей и мощностей, но уже с ростом частоты, также обуслов- лено увеличениям собственного сопротивления колец, которое в этой зоне имеет инерционный характер. Здесь также наблюдается тенден- ция к выравниванию скоростей и мощностей колец, хотя и не так быстро, как в первой зоне, поскольку действительная часть сопро- тивления излучения возрастает с частотой, и акустическое взаимо- действие играет более весомую роль, чем в первой зоне.

Рис. 10.45. Частотные зависимости модуля и фазы колебательных скоростей колец (а) и мощностей в ближнем поле (б); (номера кривых соответствуют номерам колец)

Рассмотрим резонансную зону, где собственные механические сопротивления колец сравнимы с сопротивлением излучения, и важную роль начинают играть реакция среды и обмен энергией ме- жду кольцами через поле. Действительно, в этой зоне характеристи- ки каждого кольца существенно отличаются от аналогичных харак- теристик других колец. Например, модули колебательных скоростей на одной и той же частоте могут различаться в 5...8 раз; значения частот, где фазовые кривые приобретает нулевое значение, различ- ны для всех колец. Кроме того, фазовая кривая третьего (централь- ного) кольца три раза пересекает ось частот, что указывает на мно- гократное изменение полного механического сопротивления кольца (с упругого на инерционный). Поскольку частоты, на которых фазо- вая кривая пересекает ось абсцисс, есть собственные частоты сис- темы “ кольцо-окружающая среда”, можно утверждать, что акусти-

689

ческое взаимодействие приводит к расширению и обогащению спектра собственных частот данного источника звука. Расчеты пока- зывают, что увеличение добротности колец и уменьшение их толщины (при сохранении остальных параметров) приводит к увеличению коли- чества точек, где фазовые кривые приобретают нулевые значения, и для других колец.

Теперь обратим внимание на один интересный эффект, который на первый взгляд кажется парадоксальным. Как видно, в резонанс- ной зоне в окрестности частоты ω /ω 0 = 0,85 фаза скорости цен- тральной оболочки становится меньше –90°, т.е. вектор скорости пе- реходит в левую полуплоскость комплексной плоскости. Это означает, что действительная часть полного механического импеданса стано- вится отрицательной, и оболочка из излучателя энергии превращает- ся в потребителя (поглотителя) энергии поля. Этот факт хорошо под- тверждается ходом частотной зависимости излучаемой мощности (на указанной частоте мощность приобретает отрицательное значение). Появление такого эффекта вызвано сильным взаимодействием край- них и центрального колец. Это становится более понятным, если учесть, что на частоте ω /ω 0 = 0,85 волновая высота всего набора ко- лец 2Н/λ = 1,0 и, соответственно, расстояние между центральным кольцом и крайними кольцами становится равным половине длины волны в окружающей среде. Если, кроме того, учесть, что суммарная мощность двух крайних колец превышает мощность центрального кольца, то станет очевидным появление возможности не только за- тормозить колебание центрального кольца, но и заставить его коле- баться с фазой, меньшей, чем –π/2. Расчеты показывают, что при увеличении добротности колец до 80 поглощение энергии из среды начинает наблюдаться также у второго и четвертого колец, но на бо- лее высокой частоте ω /ω 0 = 0,93.

Чтобы более наглядно представить суть волновых процессов, кото- рые происходят в резонансной области частот, исследовали ближнее поле набора колец. На рис. 10.46, а представлено ближнее поле век- тора интенсивности I на частоте ω /ω0 = 1,0, когда эффект взаимодей- ствия колец сравнительно мал и колебательные скорости колец несуще- ственно различаются между собой как по модулю, так и по фазе. На- помним, что благодаря симметрии задачи относительно оси Oz и плос- кости z = 0, закономерности поведения потока излучаемой звуковой энергии достаточно рассмотреть лишь в одной четверти плоскости ROz. Как видим, поток энергии ориентирован строго в радиальном направлении. Дополнительный анализ ближнего поля звукового дав- ления показал, что на этой частоте модуль давления и его фаза изме- няются незначительно вдоль поверхности колец. Можно лишь отме- тить, что относительно небольшой максимум давления наблюдается

690