Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Рис. 11.12. Элементы конструкции маятниковых часов: 1 — анкер; 2 — ходовое колесо; 3 — палеты

Еще раз подчеркнем, что момент, который действует на анкер со стороны ходового колеса, не является внешним воздействием и не является определенной функцией времени. Он определяется конст- рукцией часов, внутренним механизмом взаимодействия колебатель- ной части системы (маятник с анкером) и источником (поднятой ги- рей). Таким образом, этот момент М — функция не времени, а поло-

жения маятника θ и его скорости θ, т.е. M = M (θ,θ). Понятно, что для

данной конструкции М — нелинейная функция, М ≠ 0 только в малой окрестности точки θ = 0.

Нетрудно выделить в описанном устройстве основные части авто- колебательной системы:

-источник энергии — потенциальная энергия гири;

-колебательная система — маятник;

-обратная связь между источником энергии и колебательной сис- темой обусловливается контактом палетт с зубьями ходового колеса (этот процесс описан выше). Звену обратной связи свойственна нели- нейность.

Такие маятниковые часы являются автоколебательной системой с жестким возбуждением, поскольку начальный толчок для ее запуска должен иметь определенное конечное значение.

11.10.4.Свойство фазы на предельном цикле автоколебаний

Здесь рассмотрим важное отличие автоколебаний от вы- нужденных колебаний. Как автоколебания, так и вынужденные коле- бания системы описываются замкнутой кривой в фазовом простран-

741

стве, которая притягивает траектории со своего бассейна. Вместе с тем эти кривые существенным образом различаются [40, с. 60]: фаза на предельном цикле автоколебаний свободная, тогда как фаза на устойчивой замкнутой кривой, соответствующей вынужденным ко- лебаниям, однозначно определяется фазой внешней силы.

Рис. 11.13. Пример автоколебательной системы — человек на качелях (а); качели под действием внешней силы (б)

Например, рассмотрим всем знакомую систему — качели (рис. 11.13, а). Как раскачать качели известно каждому: после того, как качели некоторым образом отклонены от положения равновесия, человек должен приседать, когда они приближаются к одной из точек максимального отклонения, и подниматься, когда они проходит через положение равновесия. Перемещая свой центр масс, человек переда- ет энергию системе; эта энергия компенсирует потери за счет сил трения и, как следствие, поддерживает стационарные колебания. Понятно, что источником энергии в данном случае есть энергия мышц, колебательной системой - маятник переменной длины, обрат- ная связь осуществляется человеком, который перемещает центр масс (и, соответственно, длину маятника) в благоприятный момент времени. Наиболее важно здесь то, что эти движения осуществляются не в соответствии с некоторым заданным периодическим ритмом, а в соответствии с положением качели. Действительно, период свобод- ных колебаний маятника изменяется с амплитудой, поэтому и период движений человека также должен изменяться с амплитудой. Это свойство и определяет автоколебательный характер системы — чело- век на качелях.

Во многих учебниках по теории колебаний качели рассматривают- ся как классический пример параметрического возбуждения колеба- тельной системы (см. параграф 11.14). Однако качели целесообразно считать автоколебательной системой, поскольку частота изменения положения центра масс человека не является постоянной, а все время приспосабливается к частоте колебаний самих качелей.

742

Теперь рассмотрим другие качели, которые имеют устройство, пе- риодически изменяющее длину каната (рис. 11.13, б). Тогда, если каче- ли несколько отклонятся от вертикали, то возникнут колебания значи- тельной амплитуды (это хорошо известный эффект параметрического возбуждения, о котором будет идти речь в параграфе 11.14). При этом маятник имеет максимальную длину, когда находится в вертикальном положении, и минимальную — в крайних положениях отклонения.

На первый взгляд обе системы — автоколебательные качели (рис. 11.13, а) и качели, которые колеблется под действием внешней силы (рис. 11.13, б), — кажутся очень похожими. Обе они демонстри- руют возбуждение колебаний, но между ними есть существенное раз- личие, которое можно увидеть, если возмущать движение системы, например, подталкивать или затормаживать маятники и наблюдать за их движениями достаточно долго. В результате возмущения маятник качелей, которые выполняет вынужденные колебания (рис. 11.13, б), стремится к положению, которое бы он занимал в отсутствии возму- щения, тогда как автоколебательные качели (рис. 11.13, а) могут быть определены в произвольном положении, которое зависит от возмуще- ния. Другими словами, фаза обычных качелей (рис. 11.13, а) свобод- ная, а фаза качелей на рис. 11.13, б определяется фазой внешней си- лы.

11.11. Автоколебательные системы с нелинейной силой трения

Как отмечалось выше, автоколебания являются типичным природным явлением. При исследовании реальной системы возможно использование различных математических моделей в виде систем с сосредоточенными параметрами, систем с распределенными пара- метрами, сплошной среды. При этом анализ математической модели автоколебаний может быть очень сложным. Нашей задачей является усвоение основных закономерностей этого интересного явления на примере системы с малым числом степеней свободы.

11.11.1. Отрицательное трение как механизм возбуждения автоколебаний

Наиболее известным механизмом возбуждения автоколе- баний является так называемое отрицательное трение (отрица- тельное сопротивление). Это действительно очень распространенный механизм возбуждения автоколебаний в системах различной физиче- ской природы. Так, звучание смычковых инструментов объясняется именно природой сил трения между смычком и струной.

743

В начале запишем уравнение энергетического баланса. Напомним, что для консервативной системы колебательная энергия Е = const, поэтому dE / dt = 0. Для диссипативных систем dE / dt = –P (t) <0, причем мощность потерь в системе P (t) > 0. Для автоколебательной системы в установившемся режиме изменение колебательной энергии Е за период Т равно нулю, т.е. уравнение энергетического баланса имеет вид E(t + T) – E(t) = 0. Очевидно, что такое равенство возможно, если вместе с уменьшением колебательной энергии, которое происхо- дит в течение некоторой части периода, в течение другой часть пе- риода происходит пополнение колебательной энергии. Первая ситуа- ция возникает, когда мощность силы трения P(t) > 0, а вторая — ко- гда P(t) < 0. Только при условии, что функция P(t) будет знакопере- менной, возможно уравнение энергетического баланса автоколеба- тельной системы, т.е. работа силы трения за период Т равна нулю:

Рис. 11.14. Пример автоколебательной системы (а) и зависимость силы су- хого трения Fт от относительной скорости движения v (б)

Чтобы понять природу такого явления, когда силы трения являют- ся причиной нарастающих колебаний, рассмотрим устройство, пред- ставленное на рис. 11.14, а. Это устройство состоит из двух вращаю- щихся с одинаковыми угловыми скоростями барабанов, которые приводят в движение бесконечную ленту, скорость которой υ0 счита-

ем постоянной. На ленте лежит масса m, движение которой ограни- чивается пружиной с коэффициентом жесткости K.

Вспомним некоторые сведения из курса физики [46]. Трение меж- ду поверхностями двух твердых тел, при отсутствии смазки между ними, называется сухим, а между твердым телом и жидкой или газо- образной средой, а также между слоями таких сред, называют вяз- ким. Силы трения направлены по касательной к скользящим поверх- ностям (или слоям), причем так, что они противодействуют их отно-

744

сительному смещению. В случае сухого трения сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности относительно другой, но и при попытке вызвать такое скольжение. Поэтому в последнем случае ее называют силой трения покоя; она приобретает значение, равное внешней силе и изменяется в интервале от нуля до некоторой Fтmax, которое определяет минимальное значение внешней силы, при которой удается сдвинуть тело с места (под внешней силой понимаем ее проекцию на направление, параллельное касательной к скользя- щим поверхностям).

Если внешняя сила превысит Fтmax, то тело начнет скользить, при- чем его ускорение будет определяться результирующей двух сил: внешней силы и силы трения скольжения Fт. Сила трения Fт зависит от относительной скорости поверхностей v (скорости скольжения). Характер этой зависимости определяется природой и состоянием скользящих поверхностей. Характерная зависимость силы Fт от ско- рости скольжения v представлена на рис. 11.14, б. Как видим, сила трения покоя может изменяться от нуля до некоторой максимальной величины Fт max. Характеристика силы трения скольжения состоит из двух участков: с увеличением скорости v она сначала уменьшается (спадающий участок), а затем увеличивается (восходящий участок).

Рассмотрим устройство, представленное на рис. 11.14, а. Если масса m находится в состоянии равновесия, то сила упругости пру- жины Кх0 = Fт0, где Fт0 — сила трения скольжения, действует на массу со стороны ленты. При этом статическое смещение массы х0 = Fт0/К. Пусть в момент времени t = 0 вследствие некоторого возмущения масса m выведена из состояния равновесия, в произвольный момент времени t > 0 дополнительное смещение массы будет x. Тогда ее ско- рость равна x , а скорость скольжения массы относительно ленты — υ = υ0 − x (считаем |x |< υ0 ). В процессе движения на массу m дейст-

вуют три силы: реакция пружины –K (x + x0), сила трения скольжения Fт(υ) и сила внешнего сопротивления −Rsx , которую можно считать

пропорциональной скорости x (например, сила сопротивления воз- душной среды). Соответствующее дифференциальное уравнение движения массы имеет вид

т.е., разложив функцию Fт(υ0 − x) в ряд Тейлора в окрестности точки υ = υ0 по степеням малой величины x , оставляем два слагаемых;

745

трения (рис. 11.14, б) в точке с координатами (v0, Fт0). Подставляя в (11.97) выражения (11.98) и Кх0 = Fт0, получаем такое уравнение дви- жения:

Сравнивая уравнение (11.99) с уравнением линейного осциллятора с демпфированием (2.26), отмечаем, что сумма (R′ + Rs) представляет собой эффективный коэффициент трения. Если (R′ + Rs) > 0, то со временем колебания постепенно затухают. Это происходит, когда точка ( υ0, Fт0) находится на восходящем участке характеристики тре-

ния, где R′ > 0.

На спадающем участке характеристики силы трения величина R′ становится отрицательной, и если сумма (R′ + Rs) равна нулю, то в уравнении (11.99) пропадает слагаемое, которое определяет демпфи- рование, и возбужденное движение будет представлять собой гармо- нические колебания. Если сумма (R′ + Rs) будет отрицательной, то ко- лебания вблизи положения равновесия со временем будут нарастать.

Природу отрицательного коэффициента трения на спадающем участке характеристики силы трения можно объяснить, исходя из следующих соображений. Когда масса перемещается в направлении движения ленты (вправо), относительная скорость ее скольжения по ленте будет уменьшаться; когда же масса перемещается против на- правления движения ленты (влево), относительная скорость скольже- ния массы по ленте будет увеличиваться. При этом если масса двига- ется в направлении движения ленты, то сила трения, действующая со стороны ленты на массу, выполняет положительную работу, посколь- ку направления силы трения и движения массы совпадают. Наобо- рот, когда масса двигается против движения ленты, то сила трения выполняет отрицательную работу, поскольку направления движения массы и силы трения противоположны. Поведение массы будет зави- сеть от того, как зависит сила трения скольжения от скорости сколь- жения.

Если сила трения возрастает со скоростью v, то при движении массы вправо сила трения уменьшается, и сила упругости пружины будет больше, чем сила трения, — масса вернется в положение рав- новесия; то же самое происходит при движении массы влево, когда скорость скольжения увеличивается, а значит, возрастает и сила тре- ния, которая снова вернет массу в положение равновесия, поскольку она стала больше силы упругости. Иными словами, положительная работа силы трения будет меньше, чем отрицательная работа, т.е. си-

746

ла трения больше мешает движению массы, чем помогает ей. Таким образом, когда сила трения возрастает при увеличении скорости скольжения, то положение равновесия массы на ленте соответствует устойчивому состоянию равновесия.

Совсем иначе будет вести себя масса, если сила трения уменьша- ется с увеличением скорости скольжения. Когда масса двигается вправо, т.е. в сторону движения ленты, то относительная скорость движения v уменьшается, а сила трения увеличивается и ее прира- щение направлено вправо, т.е. в сторону движения. Масса будет рас- тягивать пружину, и двигаться вправо. Это движение закончится, когда сила упругости пружины станет больше, чем сила трения, кото- рая не может быть превысить силу трения покоя. Тогда масса начнет перемещаться навстречу движению ленты, т.е. возвращаться к поло- жению равновесия. Когда масса двигается влево, то сила трения уменьшается вследствие увеличения скорости скольжения v. Здесь положительная работа силы трения доминирует над отрицательной работой, и сила больше помогает, чем препятствует движению массы. Таким образом, если точка (v0, Fт0) лежит на спадающем участке ха- рактеристики силы трения Fт, то силы, которые возникают при слу- чайном движении массы в одну или другую сторону от положения равновесия, выводят массу далеко от положения равновесия, т.е. со- стояние равновесия оказывается неустойчивым. Масса не возвраща- ется к положению равновесия, а выполняет колебания. В целом за период колебаний сила трения скольжения, действующая со стороны ленты на массу, выполняет положительную работу. Вначале эта рабо- та идет на увеличение энергии колебаний массы (пока колебания на- растают), а потом компенсирует те потери энергии, которые возни- кают вследствие того, что при больших амплитудах колебаний массы скорость скольжения выходит за пределы спадающего участка кри- вой Fт (v). Устанавливается такая амплитуда колебаний массы, при которой поступление энергии за часть периода, в течение которого скорость скольжения массы лежит в пределах спадающего участка кривой Fт (v), в точности компенсирует те потери энергии, которые происходят в течение другой часть периода, когда скорость скольже- ния массы выходит за пределы спадающего участка кривой Fт (v). С данной стационарной амплитудой и будут происходить автоколеба- ния массы.

Проведенный анализ линеаризованного уравнения движения (11.99) позволил определить устойчивость положения равновесия, вблизи которого система осуществляет малые колебания. В общем случае такой анализ позволяет понять начальный этап возбуждаемых колебаний. Но в случае неустойчивости анализ не дает возможность проследить дальнейшее развитие процесса колебаний. Понятно, что здесь следует учитывать нелинейные члены уравнения движения, ко-

747

торые начинают играть более весомую роль при увеличении амплиту- ды колебаний. При этом тип нелинейности существенным влияет на развитие процесса.

дифференциальное уравнение движения, которое называется урав-

нением Рэлея, имеет вид

При малых отклонениях от состояния равновесия основное значе- ние имеет линейное слагаемое силы трения, которое в данном случае определяет дестабилизирующее действие. Поэтому состояние равно- весия является неустойчивым, и малые начальные возмущения будут вызывать постепенный рост колебаний. Но при этом будет увеличи- ваться демпфирующее влияние кубического слагаемого, так, что на- растание колебаний замедлится, и движение будет стремиться к ре- жиму автоколебаний, для которого характерно постоянное значение амплитуды.

При немалых начальных возбуждениях системы демпфирующее действие кубического слагаемого вначале будет более весомым, чем дестабилизирующее действие линейного слагаемого, т.е. колебания в начале процесса будут затухать. Но с уменьшением колебаний влия- ние кубического слагаемого также будет уменьшаться, и движение будет стремиться к такому же стационарному режиму, который ха- рактеризуется балансом противоположных воздействий.

Для дальнейшего анализа автоколебаний в системе уравнение Рэ- лея (11.100) целесообразно привести к безразмерному виду. Такой вид уравнения является очень удобным при исследовании нелиней- ных систем, поскольку естественно возникают характеристические параметры системы. Введем следующие безразмерные переменные:

τ = ω0t , ξ = xx0 ( ω0 = Km — собственная частота соответствующе-

го консервативного линейного осциллятора, х0 — статическое смеще- ние массы m). Итак, уравнение (11.100) будет иметь вид

748

будет иметь один безразмерный параметр μ. Запишем уравнение (11.102) в виде системы дифференциальных уравнений первого по- рядка, которая определяет фазовое пространство осциллятора. Введя фазовые переменные x1 = ξ и x2 = dξ/dτ, получим

Рекомендуем читателю, согласно параграфу 11.4, определить осо- бые точки системы уравнений (11.103) и классифицировать их. В хо- де такого исследования нетрудно убедиться в том, что уравнение Рэ- лея имеет одну особую точку х1 = х2 = 0, которая является устойчивым узлом при μ < –2, устойчивым фокусом при –2 < μ < 0, неустойчивым фокусом — при 0 < μ < 2 и неустойчивым узлом при μ > 2. Итак, если выполняется условие самовозбуждения μ > 0, то на фазовой плоско- сти образуется предельный цикл, который соответствует режиму пе- риодических автоколебаний.

На рис. 11.15 приведены фазовые портреты (слева) и временные зависимости скорости х2 (справа, на оси абсцисс отложено нормиро- ванное время t/T0, T0 = 2π/ω0) при разных значениях параметра μ (ре- зультаты получены путем численного решения на ЭВМ системы урав- нений (11.103)). На фазовом портрете представлены две траектории, которые соответствуют разным начальным условиям, а именно: если начальная точка находится внутри и снаружи предельного цикла:

Временные зависимости скорости приведены для первого варианта начальных условий.

749

Рис. 11.15. Фазовые портреты (слева) и временные зависимости скорости колебаний (справа) осциллятора Рэлея, μ:

а — 0,1; б — 1; в — 10

При μ = 0,1 (рис. 11.15, а) автоколебания являются квазигармони- ческими. До выхода на предельный цикл имеем длинный (по сравне- нию с периодом колебаний) переходной процесс. Соответственно, на фазовой плоскости фазовая точка выполняет много оборотов вокруг начала координат. При μ << 1 период автоколебаний практически не зависит от μ и примерно равен периоду собственных колебаний Т0 = 2π/ω0. При μ ≈ 1 (рис. 11.15, б) колебания уже существенно не гармонические. На фазовой плоскости предельный цикл в виде эл- липса сменяется другой замкнутой кривой, причем выход фазовой точки на предельный цикл происходит в течение несколько периодов.

750